【课时作业】2.5.1二次函数与一元二次方程的关系(含答案)

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2020-2021学年九年级数学下册课时作业(北师版)
第二章　二次函数
5　二次函数与一元二次方程
第1课时　二次函数与一元二次方程的关系
一、选择题
1．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是(　　)
A．2和－3 B．－2和3 C．2和3 D．－2和－3
2．若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的解为(　　)
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝，x2＝ D．x1＝－4，x2＝0
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和正比例函数y＝x的图象如图所示，则方程ax2＋(b－)x＋c＝0(a≠0)的两根之和(　　)
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
4．二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
5．函数y＝mx2＋x－2m(m是常数)的图象与x轴的交点个数为(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
6．关于x的一元二次方程x2－2x＋n＝0没有实数根，则抛物线的顶点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
7．已知抛物线y＝－x2＋(m－1)与y轴交于(0，3)点．则它与x轴的交点是______________________，x取________________时，抛物线在x轴上方．
8．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为__________________.
9．若二次函数y＝2x2－4x－1的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则＋的值为_______.
10．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c，关于x的一元二次方程－x2＋bx
＋c＝0的两个实数根是－1和－5，则这个二次函数的表达式为_______________________.
11．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是__________________.
12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是____________.
三、解答题
13．如图，二次函数y＝(k－8)x2－6x＋k的图象与x轴只有一个公共点，求该公共点的坐标．
14．已知二次函数y＝2x2－mx－m2.
(1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；
(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A，B，且A点的坐标为(1，0)，求B点坐标．
15．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根．
(2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集．
(3)写出y随x的增大而减小的自变量的取值范围．
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
16．已知关于x的函数y＝(a2＋3a＋2)x2＋(a＋1)x＋的图象与x轴总有交点．
(1)求a的取值范围；
(2)设函数的图象与x轴有两个不同的交点A(x1，0)，B(x2，0)，当＋＝a2－3时，求a的值．
17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)(x1(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC∶S△ACD的值；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的表达式．
参 考 答 案
1. A 2. A 3. A 4. D 5. D 6. A
7. (－，0)，(，0) －8. x1＝－1，x2＝3
9. －4
10. y＝－x2－3x－
11. x1＝－2，x2＝5
12. (－2，0)
13. 解：∵二次函数y＝(k－8)x2－6x＋k的图象与x轴只有一个公共点，∴方程(k－8)x2－6x＋k＝0有两个相等的实数根，∴(－6)2－4(k－8)·k＝0，∴k1＝9，k2＝－1.又∵图象的开口向下，∴k－8<0，当k＝9时，k－8＝1>0，不合题意，应舍去，∴k＝－1.∴原方程为(－1－8)x2－6x－1＝0，解得x1＝x2＝－，∴函数y＝(k－8)x2－6x＋k的图象与x轴的交点坐标为(－，0).
14. 解：(1)∵不论m取何值，都有Δ＝b2－4ac＝(－m)2－4×2×(－m2)＝9m2≥0，∴对于任意的实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点．　
(2)∵(1，0)是抛物线y＝2x2－mx－m2上的点，∴0＝2×12－m×1－m2，∴m1＝1，m2＝－2.当m1＝1时，函数表达式为y＝2x2－x－1，由2x2－x－1＝0，得x1＝1，x2＝－，∴B点的坐标为(－，0)；当m2＝－2时，函数表达式为y＝2x2＋2x－4，由2x2＋2x－4＝0，得x1＝1，x2＝－2，∴B点的坐标为(－2，0)．
15. 解：(1)x1＝1，x2＝3　(2)12　(4)k<2
16. 解：(1)当a2＋3a＋2＝0时，a＝－1或a＝－2.当a＝－1时，y＝，与x轴无交点；当a＝－2时，y＝－x＋与x轴有一个交点．当a2＋3a＋2≠0，即a≠－1且a≠－2时，函数y＝(a2＋3a＋2)x2＋(a＋1)x＋为二次函数．要使函数图象与x轴有交点，则Δ＝(a＋1)2－4(a2＋3a＋2)×≥0，解得a≤－1.又a≠－1且a≠－2.故当a<－1且a≠－2时，二次函数的图象与x轴有两个交点．综上所述，当 a<－1时，此函数的图象与x轴总有交点．　
(2)∵x1＋x2＝－，x1·x2＝，∴＋＝＝－4(a＋1)＝a2－3，∴a2＋4a＋1＝0，解得a1＝－2－，a2＝－2＋.∵当a＝－2＋>－1时，二次函数的图象与x轴无交点．∴a＝－2－.
17. 解：(1)解方程x2＋4x－5＝0得x1＝－5，x2＝1.∴A点的坐标为(－5，0)，B点的坐标为(1，0)，则抛物线对应的函数表达式为y＝a(x＋5)(x－1)＝ax2＋4ax－5a，则D点的坐标为(－2，－9a)，C点的坐标为(0，－5a)．依题意画出图形，如图所示，则OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE＝2，OE＝9a，CE＝OE－OC＝4a. S△ACD＝S梯形ADEO－S△CDE－S△AOC＝(DE＋OA)·OE－DE·CE－OA·OC＝(2＋5)×9a－×2×4a－×5×5a＝15a.而S△ABC＝×6×5a＝15a，∴S△ABC∶S△ACD＝1∶1.　
(2)∵∠ADC＝90°，∴AC2＝AD2＋CD2，即(－5)2＋(－5a)2＝(－5＋2)2＋(－9a)2＋(－2)2＋(－9a＋5a)2，即72a2＝12.解得a＝±.∵a>0，∴a＝，故二次函数的表达式为y＝(x＋5)(x－1)，即y＝x2＋x－.
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