概率公式
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如图是超市的两个摇奖转盘，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获一等奖，则摇奖人中一等奖的概率是
A.
B.
C.
D.
一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是
A.
B.
C.
D.
如图，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的概率是
A.
B.
C.
D.
将三粒均匀的分别标有：1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是
A.
B.
C.
D.
一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是
A.
第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B.
第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球
C.
第一次摸出的球是红球的概率是
D.
两次摸出的球都是红球的概率是
小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：
抛出两个正面小明赢1分；抛出其他结果小刚赢1分；谁先得到10分，谁就获胜．
这是个不公平的游戏，要使该游戏公平，下列做法中错误的是???
A.
把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”
B.
把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”
C.
把“小明赢1分”改为“小明赢3分”
D.
把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”
国家出台全面二孩政策，自2016年1月1日起家庭生育第二个孩子无须审批．一个家庭已有一个孩子，如果再生一个孩子，如图给出了这个家庭生育的两个孩子性别的所有可能情况，那么两个孩子都是女孩的概率是
A.
B.
C.
D.
无法确定
如图，桌面上有A，B两球，若要将B球射向桌面任意一边的黑点，则B球一次反弹后击中A球的概率是?
?
A.
B.
C.
D.
已知，，则的概率为
A.
0
B.
C.
D.
如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
有两个不透明的盒子，第一个盒子中有3张卡片，上面的数字分别为1，2，2；第二个盒子中有5张卡片，上面的数字分别为1，2，2，3，这些卡片除了数字不同外，其它都相同，从每个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是2的概率为______．
抛掷两枚均匀的硬币，硬币落地后，朝上一面恰好出现一正一反的概率是______．
如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A、B、C、D着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色．满足恰好A涂蓝色的概率为______．
如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平形四边形．一只小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在5号板区域的概率是______．
某校初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室．为了解初三年级学生的答疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为______．
在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数是______．
有四张正面分别标有数字，，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为______．
九年一班共35名同学，其中女生有17人，现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率为______．
甲、乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分．连下三盘，得分多者为胜．则甲取胜的概率是______．
李老师上班途中要经过一个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒、绿灯亮25秒，李老师到达路口恰好遇到绿灯的概率是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由图可得，
摇奖人中一等奖的概率是：，
故选：B．
根据题意和图形，可以求得摇奖人中一等奖的概率，本题得以解决．
本题主要考查概率问题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了列表法与树状图法有关知识，概率公式．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】
解：一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
它有6种路径，
获得食物的有2种路径，
获得食物的概率是，
故选：C．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
根据题意，涂黑一个格共6种等可能情况，结合轴对称的意义，可得到轴对称图形的情况数目，结合概率的计算公式，计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，涂黑每一个格都会出现一种等可能情况，共出现6种等可能情况，
而当涂黑左上角和右下角的黑块时，不会是轴对称图形，其余的4种情况均可以，
故其概率为；
故选：D．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率边长为3，4，5的三角形组成直角三角形．
三粒均匀的正六面体骰子同时掷出共出现216种情况，而边长能构成直角三角形的数字为3、4、5，含这三个数字的情况有6种，故由概率公式计算即可．
【解答】
解：因为将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，按出现数字的不同共种情况，其中数字分别为3，4，5，是直角三角形三边长时，有6种情况，
所以其概率为．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；
B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；
C、不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，第一次摸出的球是红球的概率是，故本选项正确；
D、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是，故本选项正确；
故选：A．
根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案．
此题考查了概率的求法，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
画树状图，表示出所有的结果．求两个正面发生的概率，判断公平性；修改规则的依据是使两个事件发生的概率相等即可．
【解答】
解：画树状图如下：
因为正，正，所以出现其他结果的概率为?．
A项，抛出两个同面的概率为?，
把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”可使游戏公平，
故此选项做法正确，不符合题意
B项，把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”时，两人获胜概率都为?，
故此时游戏公平，故此选项做法正确，不符合题意
C项，小明获胜概率为?，小刚获胜概率为?，
把“小明赢1分”改为“小明赢3分”可使游戏公平，
故此选项做法正确，不符合题意
D项，把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”，此时游戏不公平，
故此选项做法错误，符合题意．
故选D．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了用树状图求事件的概率，解题关键是能用树状图求出所有等可能的结果数与符合条件的结果数．
解题时，根据题中的树状图可知：共有4种等可能的结果，其中两个孩子都是女孩的结果有1种，然后根据概率公式计算即可得出答案．
【解答】
解：由题中的树状图可知：共有4种等可能的结果，其中两个孩子都是女孩结果的有1种，
两个孩子都是女孩的概率是．
故选C．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了生活中的轴对称现象以及概率公式，解题关键是找出能使入射角和反射角相等的点．要使反弹后击中A球，则应该使入射角等于反射角，据此画图求解即可．
【解答】
解：如图，
将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，可以瞄准的点只有两个：C点和D点，
故B球一次反弹后击中A球的概率是：．
故选B．
9.【答案】B
【解析】解：，，
，，
有，，，四种情况，
的概率为．
故选：B．
由，，可求得，，继而求得的值，则可直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列举法求概率的知识以及绝对值的定义．注意求得a，b的值是关键．
10.【答案】B
【解析】解：小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口出来共有3种等可能结果，其中从C出口出来是其中一种结果，
恰好在C出口出来的概率为，
故选：B．
直接利用概率公式可得答案．
本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
11.【答案】
【解析】解：从第一个盒子抽到卡片数字是2的概率为，从第二个盒子抽到卡片数字是2的概率为，所以从每个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是2的概率为．
故答案为：．
分别求得第一个盒子抽到卡片数字是2的概率为，从第二个盒子抽到卡片数字是2的概率为，于是得到结论．
此题考查了概率公式．准确的求出概率是解题的关键．
12.【答案】
【解析】朝上一面发生的结果总数有4种，即正，正、反，反正，反、反，正，所以朝上一面恰好出现一正一反的概率是．
依据题意分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】
【解析】解：要使有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色，
则当A涂红时，可有A红、B蓝、C黄、D红；A红、B蓝、C黄、D蓝；A红、B黄、C蓝、D红；A红、B黄、C蓝、D黄共4种情况，；当A涂蓝时，同理也有4种情况；
当A涂黄时也有4种情况．
恰好A涂蓝色的概率为．
故答案为．
首先分析出所有满足条件的涂法，然后找出恰好A涂蓝色的涂法，它们的比值即为所求的概率．
本题考查的是几何概率，关键是不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】
【解析】解：设4号板正方形的边长为1，则5号板直角边长为1，3号板斜边长为，7号板斜边长为2，
直角边长为，则大正方形边长为，
大正方形的面积为，5号板的面积为，
从这个正方形内任取一点，则刚好停在5号板区域的概率是，
故答案为：．
设4号板正方形的边长为1，则5号板直角边长为1，3号板斜边长为，7号板斜边长为2，直角边长为，则大正方形边长为，据此知大正方形的面积为，5号板的面积为，再根据概率公式求解可得．
本题考查几何概型概率的求法，考查学生的读图视图能力，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意可知：
共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室，
管理人员随机进入一个网络教室，
则该教室是数学答疑教室的概率为．
故答案为：．
根据概率公式即可求出该教室是数学答疑教室的概率．
本题考查了列表法与树状图法，解决本题的关键是掌握概率公式．
16.【答案】22
【解析】解：设袋中黑球的个数为x，
根据题意得，
解得，
即袋中黑球的个数为22个．
故答案为：22．
设袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到方程，解方程即可．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
17.【答案】
【解析】解：根据题意列出树状图得：
则的等可能结果有：，，，，，
，，，，，，共12种；
，
解得：，
当，
解得：，
根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，
则时符合要求，
故，
即，符合要求，
当，
解得：，
根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，
则时符合要求，
故，
即，符合要求，
故所有组合中只有2种情况符合要求，
故使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为：．
故答案为：．
首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法．注意概率所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的点是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：九年一班共35名同学，其中女生有17人，
现随机抽取一名同学参加朗诵比赛，则恰好抽中女同学的概率，
故答案为：．
根据概率的求法，求出女生的人数与总人数的比值就是其发生的概率．
此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
19.【答案】
【解析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是下三局，每一局都有三种可能，得到共有种结果，
甲取胜分为三种情况：胜一局和两局有3种结果，
胜两局，另一局输和均可，有6种结果，
胜三局，有1种结果，
共有种结果
所求的概率是．
故答案为．
本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是下三局，每一局都有三种可能，甲取胜分为三种情况：胜一局和两局有3种结果，胜两局，另一局输和均可，有6种结果，胜三局，有1种结果，得到共有结果数，得到概率．
本题考查等可能事件的概率，考查利用组合数表示试验发生的事件数，本题是一个基础题，这种题目一般不会单独考查，而是和其他的知识点结合来考．
20.【答案】
【解析】解：李老师到达路口恰好遇到绿灯的概率．
故答案为．
利用概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了概率公式．
第2页，共2页
第1页，共1页几何概率
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在黑色区域的概率是
A.
B.
C.
D.
如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是
A.
B.
C.
D.
如图，半圆的直径为AB，圆心为点O，C、D是半圆的3等分点，在该半圆内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是
A.
B.
C.
D.
在如图的四个转盘中，C，D转盘被分成8等份，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是
A.
B.
C.
D.
如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为
A.
B.
C.
D.
如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成。向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是
A.
B.
C.
D.
如图，AB是半圆O的直径，点C、D是半圆O的三等分点，弦现将一飞镖掷向该图，则飞镖落在阴影区域的概率为
A.
B.
C.
D.
如图是一个边长为a的正方形及其内切圆，若随机地向正方形内投掷一粒细沙，则细沙落在圆内的概率是
A.
B.
C.
D.
某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸九个小正方形面积相等上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为
A.
B.
C.
D.
如图，半圆的直径为AB，圆心为点O，C、D是半圆的3等分点，在该半圆内任取一点，则该点取自阴影部分的概率是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）
如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．
如图，在矩形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为______．
如图，在半径为3的中，的长为，若随意向圆内投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率为______．
往如图所示的地板中随意抛一颗石子石子看作一个点，石子落在阴影区域的概率为______．
如图是三个完全相同的正方形，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是________．
如图，在半径为3的中，随意向圆内投掷一个小球，经过大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的概率稳定在，则的长约为______结果保留
在一块边长为30cm的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10cm的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为______．
如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖飞镖每次都落在游戏板上，击中黑色区域的概率是______．
如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【试题解析】
【分析】
此题主要考查了几何概率问题．
根据几何概率?的求法，可得：小球最终停在黑色区域的概率等于黑色区域的面积与总面积的比值．
【解答】
解：根据图示，
黑色区域的面积等于6块方砖的面积，总面积等于16块方砖的面积，
小球最终停留在黑色区域的概率是：．
故选：D．
2.【答案】C
【解析】解：黑色区域的面积，
所以击中黑色区域的概率．
故选：C．
利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了几何概型公式的运用，关键是明确几何测度．由几何概型，根据C、D是半圆的3等分点求概率即可．
【解答】
解：，由图可知：圆心为点O，C、D是半圆的3等分点，
由几何概型公式可得该点取自阴影部分的概率是．
故选：D．
4.【答案】A
【解析】解：让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率分别是，，，，
则指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是A．
故选A
分别求出阴影部分面积占整个圆面积的百分比，比较即可．
此题考查了几何概率，正确求出阴影部分面积占整个圆面积的几分之几是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：设正方形ABCD的边长为2a，
针尖落在黑色区域内的概率．
故选：C．
用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．
本题考查了几何概率：某事件的概率某事件所占有的面积与总面积之比．
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线之间的距离，三角形的面积，弧、圆心角、弦之间的关系，概率的意义及求法首先连接OC、OD、BD，然后根据平行线之间的距离相等，三角形的面积公式、弧、圆心角、弦之间的关系，得出阴影部分的面积等于扇形COD的面积，再利用概率公式进行解答，即可求解．
【解答】
解：连接OC、OD、BD，如图：
点C、D是半圆O的三等分点，
，以BD为弦的弓形面积等于以CD为弦的弓形面积，
又，
是等边三角形，，
，
的面积等于的面积，
阴影部分的面积等于扇形COD的面积，
阴影部分的面积等于半圆面积的三分之一，
现将一飞镖掷向该图，则飞镖落在阴影区域的概率为．
故选A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查几何概率，熟知正方形和圆的面积公式是解题的关键用内切圆的面积除以正方形的面积即可得解．
【解析】
解：正方形的面积为，内切圆的面积为，
细沙落在圆内的概率是．
故选B．
9.【答案】D
【解析】解：整个正方形被分成了9个小正方形，黑色正方形有5个，
落在黑色区域即获得笔记本的概率为，
故选：D．
击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比．
考查了几何概率计算公式以及其简单应用．注意面积之比几何概率．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了几何概型公式的运用，关键是明确几何测度．由几何概型，根据C、D是半圆的3等分点求概率即可．
【解答】
解：由图可知：圆心为点O，C、D是半圆的3等分点，
由几何概型公式可得该点取自阴影部分的概率是．
故选：D．
11.【答案】
【解析】解：黑色区域的面积，
所以击中黑色区域的概率．
故答案为：．
利用黑色区域的面积除以游戏板的面积即可．
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
12.【答案】
【解析】解：观察发现：图中阴影部分面积，
针头扎在阴影区域内的概率为；
故答案为：．
用阴影区域所占的面积除以总面积即可得出答案．
此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
13.【答案】
【解析】解：圆的面积是：，
扇形的面积是，
小球落在阴影部分的概率为；
故答案为：．
根据圆的面积公式和扇形的面积公式分别求出各自的面积，再根据概率公式即可得出答案．
此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
14.【答案】
【解析】解：设最小正方形的边长为1，则小正方形边长为2，
阴影部分面积，
白色部分面积，
故石子落在阴影区域的概率为．
故答案为．
求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
本题考查了概率，正确运用概率公式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一股用阴影区域表示所求事件然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．先设一个阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是10x，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【解答】
解：设一个阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是10x，
则这个点取在阴影部分的概率是：．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：圆的半径为3，
面积为，
大量重复投掷后发现，小球落在阴影部分的概率稳定在，
扇形的面积为，
设扇形的弧长为l，则，
解得：，
的长约为，
故答案为：．
首先利用概率公式求得阴影扇形的面积，然后利用扇形面积公式求解．
此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．
17.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
用圆的面积除以正方形的面积即可求得答案．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
18.【答案】
【解析】
【分析】
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
【解答】
解：总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积
飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
19.【答案】
【解析】解：指针停止后指向图中阴影的概率是：；
故答案为：．
根据几何概率的定义，分别求出两圆中阴影部分所占的面积，即可求出停止后指针都落在阴影区域内的概率．
此题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．两步完成的事件的概率第一步事件的概率与第二步事件的概率的积．
第2页，共2页
第1页，共1页用列举法求概率（列表法和树状图法）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
将分别标有“停”“课”“不”“停”“学”汉字的五个小球装在一个不透明口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是
A.
B.
C.
D.
疫情防控，我们一直在坚守，某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查．若这两个检查组在辖区内的某三个小区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是
A.
B.
C.
D.
现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是
A.
B.
C.
D.
用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是
A.
B.
C.
D.
从有理数，0，1，2中任选两个数作为点的坐标，满足点在直线上的概率的是?
?
A.
B.
C.
D.
小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是
A.
B.
C.
D.
有四张正面分别标有数字，，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后小李从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为x，则小李得到的x值使分式的值为0的概率是
A.
B.
C.
D.
一个不透明的布袋里装有2个白球，3个黄球，它们除颜色外其他完全相同，将球摇匀后，从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，两次摸到的球颜色相同的概率是
A.
B.
C.
D.
某班计划选2名女生班委主持2020年元旦联欢会，把班委会5名成员名男生和3名女生的名字写在卡片上，放入盒子中，然后从中一次性随机摸出2张卡片，都是女生的概率是
A.
B.
C.
D.
5月12日为母亲节，小志和小达为各自的母亲买一束鲜花，现有两种不同类型的鲜花可供选择：康乃馨和百合，两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）
两个人做游戏：每个人都从，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所写整数的绝对值相等的概率为______．
有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为______．
任意写出一个偶数和一个奇数．两数之和是奇数的概率是______．
在一个不透明袋子中装有除颜色外无其他差别的红球2个，绿球3个，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球中“有一个红球，一个绿球”的概率是________．
一个不透明的箱子里装有三个完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，随机摸出一个，记下数字后放回，再从中随机摸出一个，则两次摸出的小球数字相同的概率为_______．
在，，1，2四个数中，随机取两个数分别作为函数中a，b的值，则该一次函数图象经过第一、二、四象限的概率为______．
从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是_______．
为庆祝新中国成立70周年，河南省实验中学开展了以“我和我亲爱的祖国”为主题的“快闪”活动，九年级准备从两名男生和两名女生中选出两名同学领唱，如果每一位同学被选中的机会均等，则选出的恰为一位男生一位女生的概率是_____．
两个同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，平局的概率是_____________；
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】
解：根据题意画图如下：
共有20种等情况数，其中两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的有4种，
则随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是；
故选：D．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】
解：将三个小区分别记为A、B、C，根据题意列表如下：
A
B
C
A
B
C
由表可知，共有9种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况，
所以他们恰好抽到同一个小区的概率为；
故选：A．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
画出树状图，找出所有的可能情况数以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】
解：画树状图如图：
共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，
能构成三角形的概率为，
故选：B．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查列表法与树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
将转盘中蓝色划分为圆心角为120度的两部分，将转盘中红色也划分为圆心角为120度的两部分，画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解即可．
【解答】
解：根据题意画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果，
那么可配成紫色的概率是；
故选：C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据一次函数图象上点的坐标特征，找出点刚好在一次函数图象上的结果数，再利用概率公式计算．
【解答】
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中点刚好在一次函数图象上的结果数为4，
所以满足点在直线上的概率的是：；
故选：D．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．
【解答】
解：设小明为A，爸爸为B，妈妈为C，
则所有的可能性是：，，，，，，共6种，
爸爸妈妈相邻的情况有4种，
他的爸爸妈妈相邻的概率是：，
故选：D．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法、分式的值以及概率公式；熟练掌握树状图法是解题的关键．
当时，分式的值是0，利用树状图法表示出洗匀后小李从中任取两张时出现的所有情况，然后利用概率公式即可求解．
【解答】
解：当时，分式的值为0．
画树状图如图所示：
共有12个等可能的结果，小李得到的x值使分式的值为0的结果有2个，
小李得到的x值使分式的值为0的概率为；
故选：A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了概率的概念和求法，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
依据题意先用画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【解答】
解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中两次摸到的球颜色相同的结果数为8，
所以两次都摸到同种颜色的概率．
故选：B．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查列表法与树状图法求概率如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率列举出所有情况，看恰为两女的情况占总情况的多少即可．
【解答】
解：列表如下：
男1
男2
女1
女2
女3
男1
男2
女1
女2
女3
共有20种等可能的结果，两女．
故选A．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择到同种类型鲜花的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：将康乃馨和百合分别记为A、B，
画树状图得：
共有4种等可能的结果，其中两人恰好选择到同种类型鲜花的有2种结果，
两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为，
故选：B．
11.【答案】
【解析】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两数的绝对值相等的结果数为5，
所以两人所写整数的绝对值相等的概率．
故答案为．
画树状图展示所有9种等可能的结果，找出其中两数的绝对值相等的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
12.【答案】
【解析】解：设其中一双鞋分别为a，；
画树状图得：
共有12种情况，能配成一双的有8种情况，
取出两只刚好配一双鞋的概率是：．
故答案为：．
设其中一双鞋分别为a，；画出树状图，可知共有12种情况，能配成一双的有8种情况，根据概率公式计算即可；
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】1
【解析】解：一个奇数与一个偶数的和为奇数，
所以任意写出一个偶数和一个奇数，两数之和是奇数的概率是1，
故答案为：1．
利用不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1求解．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了确定事件的概率．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了树状图法与列表法求概率，首先列出表格，列举出所有情况，然后再找出两次摸出的小球有一个红球，一个绿球的情况，最后根据概率公式求解即可．
【解答】
解：列表如下：
红
红
绿
绿
绿
红
红，红
红，红
红，绿
红，绿
红，绿
红
红，红
红，红
红，绿
红，绿
红，绿
绿
绿，红
绿，红
绿，绿
绿，绿
绿，绿
绿
绿，红
绿，红
绿，绿
绿，绿
绿，绿
绿
绿，红
绿，红
绿，绿
绿，绿
绿，绿
共有25种结果，其中有一个红球，一个绿球的情况有12种，
两次摸出的球中“有一个红球，一个绿球”的概率．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有3种结果，
所以两次摸出的小球标号相同的概率是，
故答案为：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】
【解析】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，满足，的结果数为4，
该一次函数图象经过第一、二、四象限的概率为，
故答案为：．
画树状图展示所有12种等可能的结果数，根据一次函数的性质，找出满足，的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了一次函数的性质．
17.【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率的应用，解题的关键是熟练掌握列表法与树状图法求概率的计算，
根据已知及列表法与树状图法求概率的计算，求出这个两位数能被3整除的概率．
【解答】
解：画树状图如图：
抽取两个不同数字组成一个两位数共有6种等可能的结果，这个两位数能被3整除的有24，42，共两种情况，
组成的两位数能被3整除的概率是．
18.【答案】
【解析】
【分析】
列表得出所有等可能的情况数，找出刚好所选出的两名同学恰好是一名男生一名女生的情况数，即可求出所求的概率．
本题考查了列表法与树状图法求概率，正确画出图形，同时熟悉概率公式是解题的关键．
【解答】
设男生标记为A、女生标记为1、2，可能出现的所有结果列表如下：
共有12种可能的结果，且每种的可能性相同，其中刚好所选出的两名同学恰好是一名男生一名女生的结果有8种，
则一男一女．
故答案为．
19.【答案】
【解析】略
第2页，共2页
第1页，共1页游戏公平性
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，小明、小刚利用两个转盘进行游戏，规则为：小明将两个转盘各转一次，如果两次转得的颜色能配成紫色红与蓝，小明胜，否则小刚胜．此规则
A.
公平
B.
对小明有利
C.
对小刚有利
D.
公平性不可预测
甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之积为偶数，甲得1分；如果两者之积为奇数，乙得1分，此游戏
A.
对甲有利
B.
对乙有利
C.
是公平的
D.
以上都有不对
小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：
抛出两个正面小明赢1分；抛出其他结果小刚赢1分；谁先得到10分，谁就获胜．
这是个不公平的游戏，要使该游戏公平，下列做法中错误的是???
A.
把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”
B.
把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”
C.
把“小明赢1分”改为“小明赢3分”
D.
把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”
下列说法中正确的是
A.
一个事件发生的机会是，所以我们说这个事件必然会发生
B.
抛一枚硬币，出现正面朝上的机会是，所以连续抛2次，则必定有一次正面朝上
C.
甲、乙两人掷一枚正六面体骰子做游戏，规则是：出现1点时甲赢，出现2点时乙赢，出现其它点数时大家不分输赢，这个游戏对两人来说是公平的
D.
在牌面是的九张牌中随机地抽出一张，抽到牌面是奇数和偶数的机会是一样的
如图，小明、小刚利用两个转盘进行游戏，规则为：小明将两个转盘各转一次，如果两次转得的颜色能配成紫色红与蓝，小明胜，否则小刚胜．此规则
A.
公平
B.
对小明有利
C.
对小刚有利
D.
公平性不可预测
小晶和小红玩掷骰子游戏，每人将一个各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：若点数之和等于6，则小晶赢；若点数之和等于7，则小红赢；若点数之和是其他数，则两人不分胜负．那么
A.
小晶赢的机会大
B.
小红赢的机会大
C.
小晶、小红赢的机会一样大
D.
不能确定
一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出黑色小球为赢，这个游戏是
A.
公平的
B.
不公平的
C.
先摸者赢的可能性大
D.
后摸者赢的可能性大
下列说法错误的是
A.
袋中装有一个红球和两个白球，它们除颜色外都相同，从中随机地摸出一个球，记下颜色后放回，充分摇动后，再从中随机地摸出一个球，两次摸到不同颜色球的概率是
B.
甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：如果两人的手势相同，那么第三人丙获胜，如果两人手势不同，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲、乙的获胜者．这个游戏规则对于甲、乙、丙三人是公平的
C.
连续抛两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”、“两枚反面朝上”和“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，这三种结果发生的概率是相同的
D.
一个小组的八名同学通过依次抽签卡片外观一样，抽到不放回决定一名同学获得元旦奖品，先抽和后抽的同学获得奖品的概率是相同的，抽签的先后不影响公平
小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个不大于100的正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏
A.
对小明有利
B.
对小亮有利
C.
是公平的
D.
无法确定对谁有利
小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规则：抛出两个正面，小明赢1分；抛出其他结果，小刚赢1分；谁先到10分，谁就获胜．这是个不公平的游戏规则，要把它修改成公平的游戏，下列做法中错误的是
A.
把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”
B.
把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”
C.
把“小明赢1分”改为“小明赢3分”
D.
把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了游戏的公平性，列表法和树状图法求概率，解决本题的关键是画树状图求出两人获胜的概率分别是多少，再作比较．根据题意画树状图即可判断．
【解答】
解：如图：
根据树形图可知：
所有等可能的情况有8种，
其中配成紫色红与蓝的有3种，
所以，．
所以此规则对小刚有利．
故选C．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
把所有可能出现的情况列出来，分别求出它们的概率即可解答．
【解答】
解：甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，可出现两者之积为偶数和奇数的情况如下表：
出现奇数为9次，概率为；
出现偶数为27次，概率为；
故此游戏对甲有利．
故选A．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
画树状图，表示出所有的结果．求两个正面发生的概率，判断公平性；修改规则的依据是使两个事件发生的概率相等即可．
【解答】
解：画树状图如下：
因为正，正，所以出现其他结果的概率为?．
A项，抛出两个同面的概率为?，
把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”可使游戏公平，
故此选项做法正确，不符合题意
B项，把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”时，两人获胜概率都为?，
故此时游戏公平，故此选项做法正确，不符合题意
C项，小明获胜概率为?，小刚获胜概率为?，
把“小明赢1分”改为“小明赢3分”可使游戏公平，
故此选项做法正确，不符合题意
D项，把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分”，此时游戏不公平，
故此选项做法错误，符合题意．
故选D．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查概率的意义以及运用：游戏公不公平，要看它们的概率相不相等．分别根据随机事件、概率的概念进行判断即可．
【解答】
解：一个事件发生的机会是，我们只能说这个事件发生的机会很大，而不是必然会发生，故本选项错误；
B.抛一枚硬币，出现正面朝上的机会是，连续抛2次，可能有一次正面朝上，也可能两次正面朝上，也有可能没有，故本选项错误；
C.甲、乙两人掷一枚正六面体骰子做游戏，规则是：出现1点时甲赢，出现2点时乙赢，出现其它点数时大家不分输赢，则这个游戏对两人来说是公平的，故本选项正确；
D.在牌面是的九张牌中随机地抽出一张，奇数有5张，偶数有4张，则抽到牌面是奇数和偶数的机会不是一样的，故本选项错误．
故选C．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了游戏的公平性，列表法和树状图法求概率，解决本题的关键是画树状图求出两人获胜的概率分别是多少，再作比较．根据题意画树状图即可判断．
【解答】
解：如图：
根据树形图可知：
所有等可能的情况有8种，
其中配成紫色红与蓝的有3种，
所以，．
所以此规则对小刚有利．
故选C．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查游戏公平性问题：先利用列表或树状图法展示所有等可能的结果数，然后找出两个事件所发生的结果数，
根据概率的定义计算出它们的概率，然后通过概率的大小判断游戏是否公平．
【解答】
解：列表如下：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
共有36种等可能的结果，其中点数之和等于6的占5种，点数之和等于7的占6种，
，，即，
小红赢的机会大．
故选B．
7.【答案】A
【解析】解：一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，
三个人摸到每种球的概率均相等，每个人摸到黑球的概率均为，故这个游戏是公平的．
故选A．
根据题意，即可得解．
本题考查的是游戏公平性的判断，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：A、袋中装有一个红球和两个白球，它们除颜色外都相同，从中随机地摸出一个球，记下颜色后放回，充分摇动后，再从中随机地摸出一个球，两次摸到不同颜色球的概率是，正确；
B、甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：如果两人的手势相同，那么第三人丙获胜，如果两人手势不同，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则决定甲、乙的获胜者．这个游戏规则对于甲、乙、丙三人是公平的，正确；
C、连续抛两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上”、“两枚反面朝上”和“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，这三种结果发生的概率是不同的，错误；
D、小组的八名同学通过依次抽签卡片外观一样，抽到不放回决定一名同学获得元旦奖品，先抽和后抽的同学获得奖品的概率是相同的，抽签的先后不影响公平，正确；
故选：C．
根据概率的意义和游戏的公平性进行判断即可．
本题考查了概率的意义，考查游戏的公平性．根据概率所求情况数与总情况数之比解答是关键．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据游戏规则：总共结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇；由此可得：两人获胜的概率相等；故游戏公平．
【解答】
解：两人写得数字共有奇偶、偶奇、偶偶、奇奇四种情况，因此同为奇数或同为偶数概率为；
一奇一偶概率也为，所以公平．
故选C．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画树形图，表示出所有的结果．求两个正面发生的概率，判断公平性；修改规则的依据是使两个事件发生的概率相等即可．
【解答】
解：
因为，则出现其他结果的概率为：，
A.根据出现抛出两个相同面的概率为：，则把“抛出两个正面”改为“抛出两个同面”正确，故此选项正确，不符合题意；
B.把“抛出其他结果”改为“抛出两个反面”时，两人获胜概率都为：，此时公平，故此选项正确，不符合题意；
C.小明获胜概率为：，小刚获胜概率为：，把“小明赢1分”改为“小明赢3分”，此时公平，故此选项正确，不符合题意；
D.把“小刚赢1分”改为“小刚赢3分，此时不公平，故此选项错误，符合题意；
故选D．
第2页，共2页
第1页，共1页
