2020--2021学年人教版 九年级数学下册 第27章 相似 选择方案 同步课时训练（word版含答案）

人教版 九年级数学下册 第27章 相似 选择方案 同步课时训练
一、选择题
1. 2020·绍兴如图，三角尺在灯光照射下形成投影，三角尺与其投影的相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8 cm，则投影三角尺的对应边长为(　　)
A．20 cm B．10 cm C．8 cm D．3.2 cm　
2. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )
A. (，2) B. (2，2) C. (，2) D. (4，2)
3. (2019?重庆)下列命题是真命题的是
A．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为2∶3
B．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9
C．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为2∶3
D．如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为4∶9
4. (2019?贵港)如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为
A． B．
C． D．5
5. 如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB.过点D作DE⊥AD，交AC于点E.若DE＝1，则△ABC的面积为(　　)
图27－Y－3
A．4 B．4
C．2 D．8
6. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
二、填空题
7. (2019?郴州)若，则__________．
8. （2020·吉林）如图，．若，，则______．
9. 在由边长均为1的小正方形组成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图27－Y－7，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是________．
　
10. (2019?台州)如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为__________．
11. （2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是　　．
12. （2020·长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M,N不重合）PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F.
(1) ＝____________．
(2)若,则＝____________．
三、解答题
13. 已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．
(1)求证：△DFB是等腰三角形；
(2)若DA＝AF，求证CF⊥AB.
14. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；
(2)求BP∶PQ∶QR.

15. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
16. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G.
(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；
(2)请连接FG，如果α＝45°，AB＝4，AF＝3，求FG的长．

17. （2020·南京）如图，在△ABC和△A’B’C’中，D、D’分别是AB、A’B’上一点，＝.
(1)当＝＝时，求证：△ABC∽△A’B’C’.
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.
(2)当＝＝时，判断△ABC与△A’B’C’是否相似，并说明理由.
18. 如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.
(1)若c＝a1，求证：a＝kc；
(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；
(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．

人教版 九年级数学下册 第27章 相似 选择方案 同步课时训练-答案
一、选择题
1. 【答案】A　
2. 【答案】B
【解析】∵点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，
∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与轴的两个交点分别为G、F，∵EF⊥轴，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E两点的纵坐标均为2，
∴，即，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D点的横坐标为2，∴点D的坐标为 (2，2)．
3. 【答案】B
【解析】A、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是假命题；
B、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的周长比为4∶9，是真命题；
C、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题；
D、如果两个三角形相似，相似比为4∶9，那么这两个三角形的面积比为16∶81，是假命题，
故选B．
4. 【答案】C
【解析】设，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，
设，，∴，
∴，∴，∴，
故选C．
5. 【答案】B　[解析] 依题意可知S△ADE＝1，S△ABD＝2，
∴S四边形ABDE＝3.
∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴DE∥AB，
∴△EDC∽△ABC，∴＝()2，即＝()2，解得S△ABC＝4.故选B.
6. 【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：
因此本题选A．
二、填空题
7. 【答案】
【解析】∵，∴，
故2y=x，则，故答案为：．
8. 【答案】10
【解析】∵，∴，
又∵，，∴，∴，故答案为：10．
9. 【答案】5 　[解析] ∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，AC∶BC＝1∶2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1∶2.
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6 ，∴画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4.在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2 ，DF＝5 的格点三角形．
∵＝＝＝，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为×2 ÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为5 .
10. 【答案】
【解析】如图，过作于，延长交于，过作于，过作于，
设，，，，
∵，∴，，
∵，
∴，
∴，∴，
∴，即，∴，
∵，∴，
∴，即，
∴，
∵，∴，
∴，
∴当最大时，，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的最大值为．故答案为：．
11. 【答案】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE，EF＝2，DF＝5的三角形，
∵，∴△ABC∽△DEF，∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为：22＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．故答案为：5．
12. 【答案】1；
【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质，
（1）作EH⊥MN，又∵MN是直径，NE平分∠MNP，PQ⊥MN，∴易证出PE＝EH＝HF＝PF，EH∥PQ，∴△EMH∽△PMQ，∴，∴；
（2）由相似基本图射影型得：解得又∵，∴QN＝PM，设QN＝PM＝a，MQ＝b，由相似基本图射影型得：解得，∴解得或（舍去）∴；
因此本题答案为1；．
三、解答题
13. 【答案】
(1)证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝∠EFA＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)
∴∠ABC＝∠FDB，
∴FB＝FD，
∴△BDF是等腰三角形．(3分)
(2)解：设AF＝a，则AD＝a，
解图
如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形，
由(1)得，BF＝2－a＝DF，
∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，
在Rt△ADC中，DC＝＝，
在Rt△DCE中，tan30°＝＝＝，
解得a＝－2(舍去)或a＝，(5分)
∴AF＝，
在△CAF和△BAC中，
＝＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，
∴△CAF∽△BAC，
∴∠CFA＝∠ACB＝90°，
即CF⊥AB.(6分)
14. 【答案】
解：(1)△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ.
(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，∴PB＝PR，＝.
又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ.
∵点R是DE的中点，∴DR＝RE.
∴＝＝＝，∴QR＝2PQ.
又∵BP＝PR＝PQ＋QR＝3PQ，
∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2.
15. 【答案】
【思维教练】(1)要证△ADE∽△ABC，现已知∠EAD＝∠CAB，故只需找另一组对角相等或夹角的两边对应成比例．由题干条件易知∠EAF＝∠GAC，∠AFE＝∠AGC，故△AEF∽△ACG，∠AEF＝∠C，由两角对应相等即可得证；(2)由(1)中的结论，利用相似三角形的性质求解即可．
(1)证明：在△ABC中，∵AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
在△AEF和△ACG中，
∵∠AFE＝∠AGC，∠EAF＝∠GAC，
∴△AEF∽△ACG，∴∠AEF＝∠C.(2分)
在△ADE和△ABC中，
∵∠AED＝∠C，∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC；(4分)
(2)解：由(1)知△ADE∽△ABC，
∴＝＝，(6分)
又∵△AEF∽△ACG，∴＝＝.(8分)
16. 【答案】
解：(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM等．(写出两对即可)
以下证明△AMF∽△BGM.
由题知∠A＝∠B＝∠DME＝α，而∠AFM＝∠DME＋∠E，
∠BMG＝∠A＋∠E，∴∠AFM＝∠BMG，∴△AMF∽△BGM.
(2)当α＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC，∵M为AB中点，
∴AM＝BM＝2.
由△AMF∽△BGM得，AF·BG＝AM·BM，∴BG＝.
又AC＝BC＝4cos45°＝4，∴CG＝4－＝，CF＝4－3＝1，∴FG＝＝.
17. 【答案】
解：(1) ＝＝ ∠A＝∠A’.
(2)如图，过点D、D’分别作DE∥BC，D’E’∥B’C’,DE交AC于点E，D’E’交A’C’于点E’.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝＝.
同理＝＝.
又＝，
∴＝，
∴＝.
同理 ＝.
∴＝，即＝.
∴＝.
又＝＝，
∴＝＝，
∴△DCE∽△D’C’E’.
∴∠CED＝∠C’E’D’.
∵DE∥BC，
∴∠CED＋∠ACB＝180°.
同理 ∠C’E’D’＋∠A’C’B’＝180°.
∴∠ACB＝∠A’C’B’.
又＝
∴△ABC∽△A’B’C’.
18. 【答案】
(1)证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k(k>1)，
∴＝k.∴a＝ka1，又∵c＝a1，∴a＝kc.
(2)解：取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2.
此时＝＝＝2，∴△ABC∽△A1B1C1且c＝a1.
(3)解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1.理由如下：
若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1.
又∵b＝a1，c＝b1，
∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c，
∴b＝2c.(12分)
∴b＋c＝2c＋c＜4c＝a，与b＋c>a矛盾，
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k＝2.