2020-2021学年人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步练习（word版含答案）

17.1勾股定理 同步练习
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a：b＝3：4，c＝10，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则a的长为（　　）
A．3 B．6 C．8 D．12
2．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（　　）
A．121 B．120 C．132 D．不能确定
3．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则a：b：c＝（　　）
A．1：2：3 B．1：2： C．1：：2 D．：1：2
4．以一直角三角形三边为直径所作的半圆面积，由小到大依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（　　）
A．S1+S2＞S3 B．S1+S2＜S3
C．S1+S2＝S3 D．S12+S22＝S32
5．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，则CD等于（　　）
A．4.8 B．14 C．10 D．2.4
6．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，面积分别为225、400、S，则S为（　　）
A．175 B．600 C．25 D．625
7．在如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　）
A．AB＝ B．∠BAC＝90°
C．S△ABC＝10 D．点A到直线BC的距离是2
8．如图数轴上的点O表示的数是0，点A表示的数是2，OB⊥OA，垂足为O，且OB＝1，以A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（　　）
A．﹣ B．﹣2+ C．2﹣ D．﹣2﹣
9．如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，D为AC一点，AB＝，BD＝3，AD＝1，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BDA＝90°，∠CBE＝30°，∠CEB＝45°，AE＝4EC，BC＝4，则CD的长为（　　）
A．6 B．2 C．2 D．6
二．填空题
11．如果一个直角三角形的两条直角边的长分别是5和12，那么这个直角三角形斜边长是　 　．
12．如图，在△ABC中，点D边BC上一点，∠DAC＝∠B＝45°，AB＝6，BC＝，则△ABD的面积是　 　．
13．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝，BC＝3，则AB2+CD2＝　 　．
14．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．AC＝17，AD＝15，BC＝28，则AE的长等于　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点P在BC上；若BC边上有2018不同的点P1，P2，…P2018且相应的有m1＝AP12+BP1?P1C，m2＝AP22+BP2?P2C，…，m2018＝AP20182+BP2018?P2018C，则m1+m2+…+m2018＝　 　．
三．解答题
16．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC上，DA⊥CA于A．
求：BD的长．
17．2个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，请利用这个图形证明勾股定理．
18．如图①，在Rt△ABC中∠C＝90°，两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．如图②，现将与Rt△ABC全等的四个直角三角形拼成一个正方形EFMN．
（1）根据勾股定理的知识，请直接写出a，b，c之间的数量关系；
（2）若正方形EFMN的面积为64，Rt△ABC的周长为18，求Rt△ABC的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：由a：b＝3：4，设a＝3k，b＝4k，
在Rt△ABC中，a＝3k，b＝4k，c＝10，
根据勾股定理得：a2+b2＝c2，即9k2+16k2＝100，
解得：k＝2或k＝﹣2（舍去），
则a＝3k＝6．
故选：B．
2．解：设另一直角边为x，斜边为y．
根据勾股定理得：
y2＝x2+121，即y2﹣x2＝121，
（y+x）（y﹣x）＝121＝121×1，
∵x，y为自然数，
∴x+y＝121，y﹣x＝1，
∴x＝60，y＝61，
∴周长为：11+61+60＝132．
故选：C．
3．解：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．
设a＝k，则c＝2k，
根据勾股定理，得
b＝k．
则a：b：c＝1：：2．
故选：C．
4．解：设直角三角形三边分别为a，b，c，则a2+b2＝c2
以一直角三角形三边为直径所作的半圆面积，由小到大依次为S1，S2，S3，则分别是，，，
∴它们之间的关系为S1+S2＝S3
故选：C．
5．解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC?BC＝AB?CD，即6×8＝10×CD，
解得，CD＝4.8，
故选：A．
6．解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，
则S＝25+400＝625，
故选：D．
7．解：由题意可得，
AB＝＝2，故选项A正确；
AC＝＝，
BC＝＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，故选项B正确；
∴S△ABC＝＝5，故选项C错误；
作AD⊥BC于点D，
则＝5，
即＝5，
解得，AD＝2，
即点A到直线BC的距离是2，故选项D正确；
故选：C．
8．解：在Rt△AOB中，AB＝＝＝，
∴AB＝AC＝，
∴OC＝AC﹣OA＝﹣2，
∵C点在x轴负半轴，
∴点C表示的数为2﹣．
故选：C．
9．解：设CD＝x，则AC＝x+1，
∵∠C＝90°，
∴BC2＝BD2﹣CD2＝AB2﹣AC2，
∴32﹣x2＝13﹣（x+1）2，
∴x＝，
∴CD＝，
故选：D．
10．解：如图，过点C作CH⊥BD于点H．
∵∠CBE＝30°，BC＝4，
∴CH＝BC＝2，
又∵∠CEB＝45°，
∴EH＝CH＝2，则CE＝2，
∵AE＝4EC＝8．
在直角△ADE中，∠EDA＝90°，∠AED＝∠CEB＝45°，则AD＝DE＝AE＝8，
∴DH＝DE+EH＝10，
在直角△DCH中，根据勾股定理得到CD＝＝＝2．
故选：B．
二．填空题
11．解：∵两条直角边的长分别是5和12，
∴斜边＝，
故答案为：13．
12．解：如图，过点A作EA⊥AB交BC的延长线于E，过点C作CF⊥AE于点F，过点A作AG⊥BC于G，
∵∠B＝45°，
∴∠E＝90°﹣45°＝45°，
∴AE＝AB＝6，
由勾股定理得BE＝＝6，
∴AG＝3，CE＝BE﹣BC＝2，
∵EF⊥AE，∠E＝45°，
∴△CFE为等腰直角三角形，
∴CF＝FE＝CE＝2，
∴AF＝AE﹣EF＝4，
在Rt△ACF中，
AC＝＝2，
∵∠DAC＝∠B＝45°，∠ACB＝∠ACB，
∴△ACB∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
∴DC＝，
∴BD＝BC﹣DC＝，
∴△ABD的面积＝×BD×AG＝××3＝．
故答案为：．
13．解：∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝∠AOB＝90°，
∴OB2+OC2＝BC2，OA2+OD2＝AD2，OB2+OA2＝AB2，OC2+OD2＝CD2，
∴AB2+CD2＝OB2+OA2+OC2+OD2＝BC2+AD2，
∵AD＝，BC＝3，
∴BC2+AD2＝（3）2+（）2＝18+5＝23，
∴AB2+CD2＝23，
故答案为：23．
14．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵AD＝15，AC＝17，
∴DC＝，
∵BC＝28，
∴BD＝28﹣8＝20，
由勾股定理得：AB＝，
过点E作EG⊥AB于G，
∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，
∴EG＝ED，
在Rt△BDE和Rt△BGE中，
∵，
∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），
∴BG＝BD＝20，
∴AG＝25﹣20＝5，
设AE＝x，则ED＝15﹣x，
∴EG＝15﹣x，
Rt△AGE中，x2＝52+（15﹣x）2，
x＝，
∴AE＝．
故答案为：．
15．解：如图所示：
过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2①，
在Rt△APD中，AP12＝AD2+P1D2②，
①﹣②得：AB2﹣AP12＝BD2﹣P1D2＝（BD+P1D）（BD﹣P1D）＝P1C?BP1，
∴m1＝AB2＝AP12+BP1?P1C＝4，
同理：m2＝AB2＝AP22+BP2?P2C＝4，
m3＝AB2＝AP32+BP3?P3C，
…
m1+m2+…+m2018＝4×2018＝8072，
故答案为：8072．
三．解答题
16．解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，
∴BE＝CE＝8，
在Rt△ACE中，利用勾股定理可知：AE＝＝＝6，
设BD＝x，则DE＝8﹣x，DC＝16﹣x，
又DA⊥CA，
在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝DC2﹣AC2，
代入为：62+（8﹣x）2＝（16﹣x）2﹣102，解得：x＝．
即BD＝．
17．证明：∵四边形ABCD是梯形，
∴梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，
即（a2+2ab+b2）＝ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
18．解：（1）由勾股定理得，a2+b2＝c2；
（2）∵正方形EFMN的面积为64，
∴c2＝64，即c＝8，
∵Rt△ABC的周长为18，
∴a+b+c＝18，
∴a+b＝10，
则Rt△ABC的面积＝ab
＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]
＝9．