第一章《算法初步》1.3 算法案例（提高练，含解析）—2020-2021学年人教A版必修三同步必刷题

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2020-2021学年人教A版必修三同步必刷题提高练
第一章《算法初步》
1.3
算法案例
一．选择题
1．（2019秋?长治月考）秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法．其大大简化了计算过程，即便在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算祛依然是最优的算法．用秦九韶算法计算当x＝0.6时函数f（x）＝x4+2x3+3x2+4的值时，需要进行加法运算的次数及函数值分别为（　　）
A．3，5.6426
B．4，5.6426
C．3，5.6416
D．4，5.6416
2．（2019春?红岗区校级月考）已知一个k进制的数123与十进制的数38相等，那么k＝（　　）
A．7或5
B．﹣7
C．5
D．都不对
3．（2019春?兴庆区校级月考）用秦九韶算法求多项式f（x）＝12+35x+9x3+5x5+3x6当x＝﹣1时的值，有如下说法：①要用到6次乘法；②要用到6次加法和15次乘法；③v0＝12；④v3＝11．其中说法正确的是（　　）
A．①③
B．①④
C．②④
D．①③④
4．（2018秋?金安区校级期末）秦九韶算法是将求n次多项式a1x+a0的值转化为求n个一次多项式的值．已知f（x）＝x7﹣2x6+3x3﹣4x2+1，求f（2），那么V4＝（　　）
A．0
B．5
C．4
D．3
5．（2018春?武威期末）已知f（x）＝x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x＝2时的值时，v3的值为（　　）
A．15
B．6
C．2
D．63
6．（2017秋?孝感期中）用秦九韶算法计算多项式f（x）＝x4+4x3+3x2+x+1当x＝2时的值时，则V2＝（　　）
A．6
B．15
C．31
D．63
7．（2020?陕西模拟）“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号：“─”和“﹣﹣”，其中“─”在二进制中记作“1”，“﹣﹣”在二进制中记作“0”．如符号“?”对应的二进制数011（2）化为十进制的计算如下：011（2）＝0×22+1×21+1×20＝3（10）．若从两类符号中任取2个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
8．（2019秋?南关区校级月考）98与63的最大公约数为a，二进制数110011（2）化为十进制数为b，则a+b＝　
　
9．（2019春?红岗区校级月考）用秦九韶算法计算多项式f（x）＝7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x的值，当x＝3时，V4的值为　
　
10．（2018秋?襄阳期末）用秦九韶算法计算函数f（x）＝7x7+5x5+4x4+2x2+x+2当x＝1时的值，则v3＝　
　．
11．（2019春?金凤区校级期末）根据秦九韶算法求x＝﹣1时f（x）＝4x4+3x3﹣6x2+x﹣1的值，则v2为　
　．
12．（2020?湖北模拟）已知方程2x6+3x5+2x4+553x3+3048x2+5616x+3456＝0仅有两个整数实根，这两根满足其绝对值均小于5，则这两根的和为　
　．
13．（2018秋?贵港期中）用秦九韶算法求多项式f（x）＝x4+2x3﹣3x2+x+5求x＝2的值时，v3的值为　
　．
14．（2016秋?河津市校级月考）多项式f（x）＝4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，用秦九韶算法计算当x＝2时的值时，V2＝　
　．
15．（2016秋?裕安区校级期中）用秦九韶算法求多项式f（x）＝1﹣5x﹣8x2+10x3+6x4+12x5+3x6当x＝﹣4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是　
　．
三．解答题
16．（2016春?南宁校级月考）用秦九韶算法求函数f（x）＝x5+x3+x2+x+1，当x＝3时的函数值．
17．（2016春?娄底期中）若二进制数100y011和八进制数x03相等，求x+y的值．
18．（2015秋?武昌区校级期末）①用辗转相除法或更相减损术求228与1995的最大公约数
②将104转化为三进制数．
19．（2015秋?孝感期末）（1）用辗转相除法求228与1995的最大公约数．
（2）用秦九韶算法求多项式f（x）＝3x5+2x3﹣8x+5在x＝2时的值．
20．（2018春?福州期中）（1）用辗转相除法或者更相减损术求459和357的最大公约数．（写出求解过程）
（2）用秦九韶算法写出当x＝3时f（x）＝2x5﹣4x3+3x2﹣5x+1的值．（写出步骤过程）
21．（2018春?福建期中）（1）已知一个5次多项式为f（x）＝4x5﹣3x3+2x2+5x+1，用秦九韶算法求这个多项式当x＝﹣3时v4的值．
（2）将五进制数443（（5）转化为二进制数．
22．（2017秋?云岩区校级月考）用秦九韶算法求函数f（x）＝x5+x3+x2+x+1，当x＝3时的函数值．
23．（2017秋?梁子湖区校级月考）用秦九韶算法求多项式f（x）＝7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x，当x＝2时的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：f（x）＝x4+2x3+3x2+4＝（（（x+2）x+3）x）x+4．
当x＝0.6时函数f（x）＝x4+2x3+3x2+4＝（（（0.6+2）×0.6+3）×0.6）×0.6+4＝5.6416．
∴当x＝0.6时函数f（x）＝x4+2x3+3x2+4的值时，需要进行加法运算的次数及函数值分别为3，5.6416．
故选：C．
2．【解答】解：，
所以k2+2k+3＝38，
即k2+2k﹣35＝0，
解得k＝5或k＝﹣7（舍去）．
故选：C．
3．【解答】解：f（x）＝12+35x+9x3+5x5+3x6＝（（（（（3x+5）x）x+9）x）x+35）x+12，
x＝﹣1时的值，有如下说法：①要用到6次乘法，正确；
②要用到6次乘法和4次加法，因此不正确；
③v0＝3，因此不正确；
④v0＝3，v1＝3×（﹣1）+5＝2，v2＝2×（﹣1）+0＝﹣2，v3＝﹣1×（﹣2）+9＝11，正确．
其中说法正确的是①④．
故选：B．
4．【解答】解：f（x）＝x7﹣2x6+3x3﹣4x2+1＝（（（（（（x﹣2）x+0）x+0）x+3）x﹣4）x+0）x+1，
∴当x＝2时，v0＝1，v1＝1×2﹣2＝0，v2＝0×2+0＝0，v3＝0×2+0＝0，v4＝0×2+3＝3．
故选：D．
5．【解答】解：函数f（x）＝x5+2x3+3x2+x+1＝（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，
当x＝2时，分别算出v0＝1，
v1＝1×2+0＝2，
v2＝4+2＝6，
v3＝2×6+3＝15，
故选：A．
6．【解答】解：函数f（x）＝x4+4x3+3x2+x+1＝（（（x+4）x+3）x+1）x+1，
当x＝2时，分别算出v0＝1，
v1＝6×2+3＝15，
v2＝15×2+1＝31，
故选：C．
7．【解答】解：根据题意，不同符号可分为三类：
第一类：由两个“─”组成，其二进制为：11（2）＝3（10）；
第二类：由两个“﹣﹣“组成，其二进制为：00（2）＝0（10）；
第三类：由一个“─”和一个“﹣﹣”组成，其二进制为：10（2）＝2（10），01（2）＝1（10），
所以从两类符号中任取2个符号排列，则组成不同的十进制数为0，1，2，3，
则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率P．
故选：D．
二．填空题
8．【解答】解：98＝63+35，63＝35+28，35＝28+7，28＝7×4．∴98与63的最大公约数a＝7．
二进制数110011（2）化为十进制数b＝25×1+24×1+23×0+22×0+21×1+20×1＝51．
∴a+b＝58．
故答案为：58．
9．【解答】解：根据题意，V0＝7
V1＝7×3+6＝27
V2＝27×3+5＝86
V3＝86×3+4＝262
V4＝262×3+3＝789
故答案为789．
10．【解答】解：由秦九韶算法可得：f（x）＝7x7+5x5+4x4+2x2+x+2＝（（（（（（7x）x+5）x+4）x）x+2）x+1）x+2．
当x＝1时的值，则v0＝7，v1＝7×1＝7，v2＝7×7×1+5＝12，v3＝12×1+4＝16．
故答案为：16．
11．【解答】解：函数f（x）＝4x4+3x3﹣6x2+x﹣1＝（（（4x+3）x﹣6）x+1）x﹣1，
当x＝1时，分别算出v0＝4，
v1＝4×1+3＝7，
v2＝7×1﹣6＝1，
故答案为：1．
12．【解答】解：设方程2x6+3x5+2x4+553x3+3048x2+5616x+3456＝0的整数根是k，
由秦九韶算法可得2x6+3x5+2x4+553x3+3048x2+5616x+3456
＝（（（（（2x+3）x+2）x+553）x+3048）x+5616）x+3456，
∴v0＝2，v1＝v0x+3，v2＝v1x+2，v3＝v2x+553，v4＝v3x+3048，v5＝v4x+5616，v6＝v5x+3456，且v6＝0．
所以该方程的根k一定是3456的约数．
由|k|＜5，且3456的约数中小于5的约数为1，2，3，4，所以k的可能取值为﹣1，﹣2，﹣3，﹣4．
将上述可能值分别代入原方程可知，原方程的两个整数根为﹣3，﹣4．
故两根和为﹣7．
故答案为：﹣7．
13．【解答】解：∵f（x）＝（（（x+2）x﹣3）x+1）x+5，
∴v0＝1，
v1＝1×2+2＝4，
v2＝4×2﹣3＝5
v3＝5×2+1＝11
故答案为：11
14．【解答】解：f（x）＝4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1，
∴f（x）＝4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1＝（（（（4x+5）x+6）x+7）x﹣8）x+1，
当x＝2时，分别算出v0＝4，
v1＝4×2+5＝13，
v2＝13×2+6＝32．
故答案为：32．
15．【解答】解：∵f（x）＝1﹣5x﹣8x2+10x3+6x4+12x5+3x6＝（（（（（3x+12）x+6）x+10）x﹣8）x﹣5）x+1，
∴v0＝a6＝3，x＝﹣4时，
v1＝v0x+a5＝3×（﹣4）+12＝0，
v2＝v1x+a4＝0×（﹣4）+6＝6，
v3＝v2x+a3＝6×（﹣4）+10＝﹣14，
v4＝v3x+a4＝（﹣14）×（﹣4）﹣8＝48
∴v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是62；
故答案为：62．
三．解答题
16．【解答】解：f（x）＝x5+x3+x2+x+1＝（（（（x+0）x+1）x+1）x+1）x+1，
当x＝3时，v0＝1，
v1＝v0×3+0＝3；
v2＝v1×3+1＝10；
v3＝v2×3+1＝31；
v4＝v3×3+1＝94；
v5＝v4×3+1＝283，
即x＝3时的函数值这283．
17．【解答】解：100y011＝1×26+y×23+1×2+1＝67+8y，
x03＝x×82+3＝64x+3，
∴67+8y＝64x+3，
∵y＝0或1，x可以取1、2、3、4、5、6、7，
y＝0时，x＝1；y＝1时，64x＝72，无解；
∴x+y＝1．
18．【解答】解：①辗转相除法：∵1995÷228＝8…171
228÷171＝1…57
171÷57＝3
∴228与1995的最大公约数是57．
②104÷3＝34…2
34÷3＝11…1
11÷3＝3…2
3÷3＝1…0
1÷3＝0…1
故102（10）＝10212（3）．
19．【解答】（1）解：1995＝228×8+171，
228＝171×1+57，
171＝57×3
因此57是1995与228的最大公约数．﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）解：f（x）＝3x5+2x3﹣8x+5＝（（（（3x+0）x+2）x+0）x﹣8）x+5﹣﹣﹣（1分）
当x＝2时，
v0＝3，
v1＝3×2＝6，
v2＝6×2+2＝14，
v3＝14×2＝28，
v4＝28×2﹣8＝48，
v5＝48×2+5＝101﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
所以，当x＝2时，多项式的值是101．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
20．【解答】解：（1）解：
所以459和357的最大公约数是51．
或者
所以459和357的最大公约数是51．
（2）解：函数f（x）＝2x5﹣4x3+3x2﹣5x+1
＝（（（（2x+0）x﹣4）x+3）x﹣5）x+1，当x＝3时，分别算出
所以f（3）＝391．
21．【解答】解（1）由于函数f（x）＝f（x）＝4x5﹣3x3+2x2+5x+1＝（（（4x+0）x﹣3）x+2）x+5）x+1，
当x＝﹣3时，可得v1＝（﹣3×4+0）＝﹣12
∴v2＝﹣12×（﹣3）﹣3＝33
∴v3＝﹣3×33+2＝﹣97
∴v4＝﹣97×（﹣3）+5＝296
故得v4的值为296．
（2）由五进制数443（（5）转化为十进制数，可得4×52+4×51+3×50＝123
那么123转化为二进制数：
可得123＝61×2+1．……1
61＝30×2．……1
30＝15×2．……0
15＝7×2．……1
7＝3×2．……1
3＝1×2．……1
1＝0×2．……1
二进制数为：1111011
五进制数443（（5）转化为二进制数为：1111011．
22．【解答】解：函数f（x）＝x5+x3+x2+x+1＝（（（（x+0）x+1）x+1）x+1，
当x＝3时，分别算出v0＝1，
v1＝3×3＝9，
v2＝30，
v3＝93，
v4＝282+1＝283．
即当x＝3时的函数值
则f（3）＝283．
23．【解答】解：f（x）＝7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x＝（（（（（（7x+6）x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x，
当x＝2时，v0＝7，v1＝7×2+6＝20，v2＝20×2+5＝45，v3＝45×2+4＝94，v4＝94×2+3＝191，
v5＝191×2+2＝384，v6＝384×2+1＝769，v7＝769×2＝1538＝f（2）．
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