第二章《统计》2.3 变量间的相关关系（基础练，含解析）—2020-2021学年人教A版必修三同步必刷题

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2020-2021学年人教A版必修三同步必刷题基础练
第二章《统计》
2.3
变量间的相关关系
一．选择题
1．（2020秋?南关区校级期末）已知如表为x与y之间的一组数据，若y与x线性相关，则y与x的回归直线x
必过点（　　）
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
A．（2，2）
B．（1.5，0）
C．（1，2）
D．（1.5，4）
2．（2020秋?渝中区校级月考）用最小二乘法得到一组数据（xi，yi）其中i＝1，2，3，4，5的线性回归方程为x+3，若xi＝25，yi＝65，则当x＝8时，y的预报值为（　　）
A．18
B．19
C．20
D．21
3．（2020秋?安徽期中）已知x，y的取值如表所示：
x
2
3
4
5
y
2.2
3.8
5.5
m
若y与x线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数m的值为（　　）
A．6.5
B．6.69
C．7.5
D．7.69
4．（2020春?集宁区校级月考）根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
y
4.0
2.5
﹣0.5
0.5
﹣2.0
得到的回归方程为．若a＝7.9，b＝﹣1.4，则x每增加1个单位，y就（　　）
A．增加1.4个单位
B．减少1.4个单位
C．增加7.9个单位
D．减少7.9个单位
5．（2020秋?香坊区校级期末）已知x与y之间的几组数据如表：
x
1
2
3
4
y
1
m
n
4
如表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了二个值分别为1.5，2得到二条线性回归直线方程分别为b1x+a1，b2x+a2对应的相关系数分别为r1，r2下列结论中错误的是（　　）
参考公式：线性回归方程中，其中，．相关系数r．
A．b2＝1
B．相关系数中，r2＞r1
C．b1＞b2
D．a1＞a2
6．（2019秋?信阳期末）某单位为了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温x（℃）
18
13
10
﹣1
用电量y（度）
24
34
38
64
由表中数据得线性回归方程x中2，预测当温度为﹣5℃时，用电量的度数约为（　　）
A．64
B．66
C．68
D．70
7．（2020春?荔湾区期末）某小卖部为了了解热茶销售量y（杯）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：
气温（℃）
18
13
10
﹣1
杯数
24
34
38
64
由表中数据算得线性回归方程bx+a中的b≈﹣2，预测当气温为﹣5℃时，热茶销售量为（　　）
A．68杯
B．70杯
C．72杯
D．75杯
8．（2019秋?荔湾区校级期末）小明同学在做市场调查时得到如表样本数据，他由此得到回归直线的方程为2.1x+15.5，则下列说法正确的是（　　）
x
1
3
6
10
y
8
a
4
2
①变量x与y线性负相关；
②当x＝2时可以估计y＝11.3；
③a＝6；
④变量x与y之间是函数关系．
A．②③
B．①②
C．①②③
D．②③④
二．填空题
9．（2021?十四模拟）2019年10月22日，联合国教科文组织公布2019年度联合国教科文组织﹣赤道几内亚国际生命科学研究奖获奖名单，共3人获奖，其中包括来自中国的屠呦呦．中国中医科学院教授、2015年诺贝尔生理学或医学奖获得者屠呦呦发现的全新抗疟疾药物青蒿素在20世纪80年代治愈了许多中国病人．某科研机构为了了解某种在研制的药品的指标数据y与百分比浓度p之间的关系，随机统计了某5次实验的相关数据，并制作了对照表如表：
百分比浓度p
6
10
14
18
22
指标数据y
62
m
44
28
14
由表中数据求得回归直线方程为3p+82.2，则m＝　
　．
10．（2020?广州二模）如表是某厂2020年1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据
月份x
1
2
3
4
用水量y
2.5
3
4
4.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较明显的线性相关关系，其线性回归方程是x+1.75，预测2020年6月份该厂的用水量为　
　百吨．
11．（2020春?天河区期末）在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如表：若学生的数学和物理成绩具有线性相关关系，且其线性回归方程为0.36x，则根据此线性回归方程估计数学得100分的同学的物理成绩为　
　．
学生的编号i
1
2
3
4
5
数学成绩x
80
75
70
65
60
物理成绩y
70
66
68
64
62
12．（2020秋?平城区校级期中）已知x与y之间的一组数据：
x
1
3
5
7
y
3a
7
9
5a
已求得关于y与x的线性回归方程，则a的值为　
　．
13．（2021?十二模拟）中国中医科学院首席科学家、2015年诺贝尔生理学或医学奖获得者屠呦呦发现的青蒿素挽救了全球特别是发展中国家的数百万人的生命.2019年10月22日，屠呦呦获得2019年度联合国教科文组织﹣赤道几内亚国际生命科学研究奖．某科研机构为了了解某种药品的指标数据y与百分比浓度p之间的关系，随机统计了某5次实验的相关数据，并制作了如表：
百分比浓度p
6
10
14
18
22
指标数据y
62
m
44
28
14
由表中数据求得回归直线方程为3p+82.2，则m＝　
　．
14．（2020秋?南京期中）已知某品牌的新能源汽车的使用年限x（年）与维护费用y（千元）之间有如表数据：
使用年限x（年）
2
4
5
6
8
维护费用y（千元）
3
4.5
6.5
7.5
9
x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为（a为常数）．
据此估计，使用年限为7年时，维护费用约为　
　千元．
（参考公式：线性回归方程中的系数，）
15．（2020春?天河区校级期中）两个线性相关变量x与y的统计数据如表：
x
9
9.5
10
10.5
11
y
11
10
8
6
5
其回归直线方程是x+40，则相应于点（9，11）的残差为　
　．
16．（2020?天河区二模）已知x与y之间的一组数据：
x
0
2
4
6
y
a
3
5
3a
已求得关于y与x的线性回归方程1.2x+0.55，则a的值为　
　．
三．解答题
17．（2020春?香坊区校级期中）《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．
（1）若将被污损的数字视为0～9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率；
（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y（单位：小时）与年龄x（单位：岁），并制作了对照表（如表所示）：
年龄x
20
30
40
50
每周学习诗词的平均时间y
3
3.5
3.5
4
由表中数据分析，x与y呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间．参考公式：，．
18．（2020?道里区校级三模）某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系，随机调查了某中学高三某班6名学生每周课下钻研数学时间x（单位：小时）与高三下学期期中考试数学解答题得分y，数据如表：
x
2
4
6
8
10
12
y
30
38
44
48
50
54
（1）根据上述数据，求出数学考试中的解答题得分y与该学生课下钻研数学时间x的线性回归方程，并预测某学生每周课下钻研数学时间为7小时其数学考试中的解答题得分；
（2）从这6人中任选2人，求这2人中至少有1人课下钻研数学时间不低于8小时的概率．
参考公式：，其中，．
参考数据：xiyi＝2008，x2＝364，444．
19．（2020?安阳二模）某手机专卖店的营业天数x与销售总额y的数据统计如表所示：
营业天数x
10
20
30
40
50
销售总额y（万元）
62
68
75
81
89
（1）求y关于x的回归方程；
（2）判定y与x之间是正相关还是负相关，用所求回归方程预测该店营业100天的销售总额．
参考公式：回归方程中，，．
参考数据：．
20．（2020秋?朝阳区校级期末）自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重，医用口罩等物资存在很大缺口．某口罩生产厂家复工复产后，抢时生产口罩，以驰援国际社会，已知该企业前10天生产的口罩量如表所示：
第x天
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量y（单位：万个）
76.0
88.0
96.0
104.0
111.0
117.0
124.0
130.0
135.0
140.0
对上表的数据作初步处理，得到一些统计量的值：
yi
（xi）2
（yi）2
（xi）（yi）
m
n
1121.0
82.5
3998.9
570.5
（1）求表中m，n的值，并根据最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x（回归方程系数精确到0.1）；
（2）某同学认为y＝px2+qx+r更适宜作为y关于x的回归方程模型，并以此模型求得回归方程为yx2+10x+68．经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，与（1）中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由．
附：，．
21．（2020秋?长安区校级期末）2020年8月11日新华社北京电，国家主席习近平对制止餐饮浪费行为作出重要指示．他指出，餐饮浪费现象，触目惊心、令人痛心！“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦．”尽管我国粮食生产连年丰收，对粮食安全还是始终要有危机意识，今年全球新冠肺炎疫情所带来的影响更是给我们敲响了警钟．粮食问题是关乎民生的大问题．某地近几年来粮食产量逐步上升，如表是部分统计数据：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代码x
1
2
3
4
5
需求量y/万吨
136
146
157
176
186
（1）利用所给数据求粮食年需求量y与年份代码x之间的回归直线方程；
（2）预测2020年的粮食需求量．
参考公式：，．
22．（2020秋?齐齐哈尔期末）2020年12月1日23时11分，我国探月工程嫦娥五号探测器降落在月球表面预选着陆区．在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定的环月轨道，并于12月17日1：59分精准返回着陆．期间，历经23天、往返路程超过76万公里．嫦娥五号任务的圆满完成，实现了我国航天史上的多项重大突破．
为了进一步培养中学生对航空航天的兴趣和爱好，某校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作．前五天的报名情况如表：
时间（第x天）
1
2
3
4
5
报名人数y（人）
3
6
10
13
18
数据分析表明，报名人数与报名时间具有线性相关关系，据此请你解决以下问题：
（1）求y关于x的线性回归方程，并预测第8天的报名人数（结果四舍五入取整数）；
（2）为了更好地完成遴选任务，由专家和社团现有的部分成员组成评审组，已知现有社团成员6人，其中女生2名，男生4名，现欲从中任选2人作为面试评委，求选出的2人中恰有一个男生和一个女生的概率．
参考公式：，．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵，，
∴样本点的中心的坐标为（1.5，4），
∴y与x的回归直线y＝bx+a必过点（1.5，4），
故选：D．
2．【解答】解：由线性回归方程为x+3，
且xi25＝5，yi65＝13，
所以135+3，解得2，
所以线性回归方程为2x+3；
所以当x＝8时，y的预报值为2×8+3＝19．
故选：B．
3．【解答】解：由题意可得：，，
因为回归直线经过样本中心，
所以，
解得m＝6.5．
故选：A．
4．【解答】解：在线性回归方程中，
∵回归系数b＝﹣1.4，
∴x每增加1个单位，y就减少1.4个单位．
故选：B．
5．【解答】解：由题意，1+m+n+4＝10，即m+n＝5．
若m＝1.5，则n＝3.5，此时2.5，2.5．
（1﹣2.5）（1﹣2.5）+（2﹣2.5）（1.5﹣2.5）
+（3﹣2.5）（3.5﹣2.5）+（4﹣2.5）（4﹣2.5）＝5.5，
（﹣1.5）2+（﹣0.5）2+0.52+1.52＝5，
（﹣1.5）2+（﹣1）2+12+1.52＝6.5．
则1.1，a1＝2.5﹣1.1×2.5＝﹣0.25，；
若m＝2，则n＝3，此时2.5，2.5．
（1﹣2.5）（1﹣2.5）+（2﹣2.5）（2﹣2.5）+（3﹣2.5）（3﹣2.5）+（4﹣2.5）（4﹣2.5）＝5，
5，（﹣1.5）2+（﹣0.5）2+0.52+1.52＝5．
，a2＝2.5﹣1×2.5＝0，1．
结合选项可知，ABC正确，D错误．
故选：D．
6．【解答】解：（18+13+10﹣1）＝10，40．
∴40＝﹣2×10+a，解得a＝60．
∴线性回归方程为260，
当x＝﹣5时，2×（﹣5）+60＝70．
故选：D．
7．【解答】解：由题意，计算（18+13+10﹣1）＝10，
（24+34+38+64）＝40，
将（10，40）代入回归方程bx+a中，且b≈﹣2，
∴40＝10×（﹣2）+a，解得a＝60，
∴2x+60；
∴当x＝﹣5时，2×（﹣5）+60＝70，
预测当气温为﹣5°时，热茶销售量为70杯．
故选：B．
8．【解答】解：由题意可知5，，
所以样本中心（5，），样本中心坐标满足回归直线方程，
所以2.1×5+15.5，解得a＝6，所以③正确，
由x，y的关系可知变量x与y线性负相关，所以①正确；
当x＝2时可以估计2.1×2+15.5＝11.3，所以②正确；
从表格可知，x，y不是函数关系，所以④不正确．
故选：C．
二．填空题
9．【解答】解：由题意14，
，所以样本中心为（14，），
因为回归直线经过样本中心，所以3×14+82.2，解得m＝53．
故答案为：53．
10．【解答】解：由题意可知2.5，
3.5；线性回归方程是x+1.75，经过样本中心，所以3.51.75，
解得：0.7，
所以0.7x+1.75，
x＝6时，0.7×6+1.75＝5.95（百吨）．
预测2020年6月份该厂的用水量为5.95百吨．
故答案为：5.95．
11．【解答】解：由题意，70，66，
∵y关于x的线性回归方程为0.36x，
根据线性回归方程必过样本的中心，
∴66＝0.36×70，∴40.8．
∴其线性回归方程为0.36x+40.8，
当x＝100时，y＝76.8．
故选：B．
12．【解答】解：由题意可得4，因为回归直线，经过样本中心，所以1.2×4+3.2＝8，
所以3a+7+9+5a＝4×8，解得a＝2，
故答案为：2．
13．【解答】解：由题意14，
，所以样本中心为（14，），
因为回归直线经过样本中心，所以3×14+82.2，解得m＝53．
故答案为：53．
14．【解答】解：，，
则样本点的中心的坐标为（5，6.1），代入，
得，
则．
取x＝7，可得．
∴使用年限为7年时，维护费用约为8.2千元．
故答案为：8.2．
15．【解答】解：由题意，10，8，
∵回归直线方程是x+40，
∴8＝1040，
∴3.2，
∴3.2x+40，
x＝9时，11.2，
∴相应于点（9，11）的残差为11﹣11.2＝﹣0.2，
故答案为：﹣0.2．
16．【解答】解：3，a+2，
将（3，a+2）带入方程得：
a+2＝3.6+0.55，解得：a＝2.15，
故答案为：2.15．
三．解答题
17．【解答】解：（1）设污损的数字为x，由北方观众平均人数不超过南方观众平均人数得
，解得：x≥6，即x＝6，7，8，9，
∴北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率为：．
（2）设线性回归方程为：
35，3.5，
∴20×3+30×3.5+40×3.5+50×4＝505，400+900+1600+2500＝5400，
0.03，3.5﹣0.03×35＝2.45，
∴0.03x+2.45，
当x＝70时，0.03×70+2.45＝4.55．
答：年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.55小时．
18．【解答】解：（1），由xiyi＝2008，x2＝364，444．
可得，
28，∴，
当x＝7时，．
（2）设“这2人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于8小时为事件A”，
所有基本事件如下：
（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（2，12），（4，6），（4，8），（4，10），
（4，12），（6，8），（6，10），（6，12），（8，10），（8，12），（10，12）
共15个基本事件．
事件A包含（2，8），（2，10），（2，12），（4，8），（4，10），（4，12），（6，8），（6，10），（6，12），（8，10），（8，12），（10，12）共12个基本事件，
所以．
19．【解答】解：（1）由已知n＝5，
则30，75，
11920，
n5×30×75＝11250
5500
n4500，
所以0.67，75﹣0.67×30＝54.9．
所以回归直线方程为0.67x+54.9．
（2）因为0.67＞0，所以y与x之间是正相关．
将x＝100代入回归方程可预测该店营业100天的销售总额为0.67×100+54.9＝121.9万元．
20．【解答】解：（1）样本平均数5.5，112.1，
∴由最小二乘法公式求得6.9，112.1﹣6.9×5.5＝74.2，
即所求回归方程为：．
（2）由（1）可知，用线性回归方程模型求得该企业第11天的产量为y＝6.9×11+74.2＝150.1（万个）
用题中的二次函数模型求得回归方程为yx2+10x+68．经调查，该企业第11天的产量为145.3万个，
与第11天的实际数据进行比较发现|150.1﹣145.3|＞|145﹣145.3|；
所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好．
21．【解答】解：（1）计算样本平均数：3，160.2，
1×136+2×146+3×157+4×176+5×186＝2533，
12+22+32+42+52＝55，
则13，
160.2﹣13×3＝121.2．
故y关于x的线性回归方程为，
（2）将2020年的年份代码x＝6代入回归直线方程，
可预测2020年的粮食需求量为：13×6+121.2＝199.2．
故预测2020年的粮食需求量199.2万吨．
22．【解答】解：（1）由题意，计算（1+2+3+4+5）＝3，
（2+6+10+13+18）＝10，
所以3.7，
10﹣3.7×3＝﹣1.1，
所以y关于x的线性回归方程为3.7x﹣1.1，
计算x＝8时，3.7×8﹣1.1＝28.5≈29，
即可预测第8天的报名人数约为29人；
（2）设社团成员6人中女生2名为A、B，男生4名为c、d、e、f，
现从中任选2人，基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种，
选出的2人中恰有一个男生和一个女生的基本事件是Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共8种，
故所求的概率值为P．
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