第三章《概率》3.1 随机事件的概率（基础练，含解析）—2020-2021学年人教A版必修三同步必刷题

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2020-2021学年人教A版必修三同步必刷题基础练
第三章《概率》
3.1
随机事件的概率
一．选择题
1．（2020秋?哈尔滨期末）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的基本事件是（　　）
A．一颗是3点，一颗是1点
B．两颗都是2点
C．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点
D．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点
2．（2020秋?长安区校级期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是2，3，4”为事件A，“向上的点数是1，5”为事件B，则下列选项正确的是（　　）
A．A与B是对立事件
B．A与B是互斥事件
C．P（A∪B）＝1
D．
3．（2020秋?沈阳期末）抛掷两枚骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的试验结果为（　　）
A．一枚1点、一枚3点
B．两枚都是4点
C．两枚都是2点
D．一枚1点、一枚3点，或者两枚都是2点
4．（2020秋?沈阳期末）从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（　　）
A．“至少一个白球”和“都是红球”
B．“至少一个白球”和“至少一个红球”
C．“恰有一个白球”和“恰有一个红球”
D．“恰有一个白球”和“都是红球”
5．（2020春?龙华区校级期中）下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个随机事件，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）；
③若事件A，B，C两两互斥，则P（A）+P（B）+P（C）＝1；
④若A与B是对立事件，则P（A）+P（B）＝1．
其中正确命题的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2020春?广东期末）某商场为了迎接周年庆开展抽奖活动，奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，且已知P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，则事件“抽到三等奖或者幸运奖”的概率为（　　）
A．0.35
B．0.25
C．0.65
D．0.6
7．（2020春?武汉期中）从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球；
④至少有1个黄球与都是白球．
其中互斥而不对立的事件共有（　　）
A．0组
B．1组
C．2组
D．3组
8．（2020春?南阳期中）下列叙述正确的是（　　）
A．互斥事件定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1
C．频率是稳定的，概率是随机的
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
二．填空题
9．（2020秋?榆林期末）某商店的有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，则不中奖的概率为　
　．
10．（2020秋?青铜峡市校级月考）某射手一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，则这射手一次射击中不够9环的概率为　
　．
11．（2020秋?湖北期中）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是　
　．
12．（2020春?三明期末）已知事件A，B互相对立，且P（A）＝2P（B），则P（A）＝　
　．
13．（2020?天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为　
　；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　
　．
14．（2020春?启东市校级期中）袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率为，得到黑球或黄球概率是，得到黄球或绿球概率是，则任取一球得到黄球的概率为　
　．
15．（2020春?河西区校级期中）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球
（1）至少有1个白球；都是白球；
（2）至少有1个白球；至少有1个红球；
（3）恰有1个白球；恰有2个白球；
（4）至少有1个白球；都是红球；
是互斥事件的序号为　
　．
16．（2018秋?怀仁市校级期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，C＝“取出的2球至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为　
　．
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件：④P（C∪E）＝1；⑤P（B）＝P（C）．
三．解答题
17．（2020春?萍乡期末）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如表所示．
一次购物量
1至5件
6至10件
11至15件
16至20件
21件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
5
结算时间（分钟/人）
1
2
3
4
5
已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%．
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率．（将频率视为概率）
18．（2020?海南模拟）甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为．假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢．
（Ⅰ）求第四盘棋甲赢的概率；
（Ⅱ）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
19．（2020春?和平区期中）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
（1）设甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为X，求X＝0，X＝1，X＝2，X＝3时的概率P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），P（X＝3）．
（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
20．（2020?武汉模拟）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.4，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.2．设各车主购买保险相互独立．
（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
（2）求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．
21．（2020春?芝罘区校级期末）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．
（Ⅰ）写出该试验的基本事件空间Ω，并求事件A发生的概率；
（Ⅱ）求事件B发生的概率；
（Ⅲ）事件A与事件C至少有一个发生的概率．
22．（2020?北京模拟）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要“的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从A，B，C三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如表（单位：厘米）：
A组
10
11
12
13
14
15
16
B组
12
13
14
15
16
17
18
C组
13
14
15
16
17
18
19
假设所有植株的生长情况相互独立．从A，B，C三组各随机选1株，A组选出的植株记为甲，B组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙．
（Ⅰ）求丙的高度小于15厘米的概率；
（Ⅱ）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（Ⅲ）表格中所有数据的平均数记为μ0．从A，B，C三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次是14，16，15
（单位：厘米）．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为μ1，试比较μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）
23．（2020秋?海淀区校级月考）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、、n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．
（l）求m与n的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：根据题意，X＝4即甲乙两颗骰子的点数之和为4，
包含3个基本事件：甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点，
故选：D．
2．【解答】解：根据题意，设“向上的点数是6”是事件C，依次分析选项：
对于A，事件A与B不会同时发生，也可能都不发生，则不是对立事件，A错误，
对于B，事件A与B不会同时发生，是互斥事件，B正确，
对于C，P（A∪B）＝P（A）+P（B），C错误，
对于D，事件A与B不会同时发生，则P（AB）＝0，D错误，
故选：B．
3．【解答】解：投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，
则X＝4表示的随机实验结果是一枚是1点，一枚是3点或者两枚都是2点．
故选：D．
4．【解答】解：A选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，也是对立事件，故A不满足；
B选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件，故B不满足；
C选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”同样有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件，故C不满足；
D选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都是白球”事件，故不是对立事件；可知只有D正确；
故选：D．
5．【解答】解：对于下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；对于事件来讲，对立必互斥，互斥不一定对立，故正确．
②若A，B为两个互斥的随机事件，所以互斥事件的概率符合的公式P（A∪B）＝P（A）+P（B）；故错误．
③若事件A，B，C两两互斥，但是不一定对立，则P（A）+P（B）+P（C）≠1；故错误．
④若A与B是对立事件，对立事件是必然事件，则P（A）+P（B）＝1．故正确．
故选：B．
6．【解答】解：奖项设置一等奖、二等奖、三等奖，其他都是幸运奖．
设事件A＝{抽到一等奖}，事件B＝{抽到二等奖}，事件C＝{抽到三等奖}，
设事件D为“抽到幸运奖”，
则事件A，B，C，D互为互斥事件，
记事件M＝{抽到三等奖或幸运奖}，
P（A）＝0.1，P（B）＝0.25，P（C）＝0.4，
则P（M）＝1﹣P（A）﹣P（B）＝1﹣0.1﹣0.25＝0.65．
故选：C．
7．【解答】解：对于①，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个黄球”也会发生，比如恰好一个白球和一个黄球，故①中的两个事件不互斥．
对于②，“至少有1个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是黄球”说明黄球的个数是2，故这两个事件不是互斥事件．
③恰有1个白球与恰有1个黄球，这两件事是同一件事，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球是同一事件．故不是互斥事件．
④″至少有1个黄球″说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是白球”说明白球的个数是2，故这两个事件是互斥事件且是对立事件；
故选：A．
8．【解答】解：互斥事件可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误；
若随机事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1，故B正确；
频率是随机的，概率是稳定的，故C错误；
5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，两个人抽到有奖奖券的可能性相等，故D错误；
故选：B．
二．填空题
9．【解答】解：某商店的有奖促销活动中仅有一等奖、二等奖、鼓励奖三个奖项，
其中中一等奖的概率为0.05，中二等奖的概率为0.16，中鼓励奖的概率为0.40，
则不中奖的概率为P＝1﹣0.05﹣0.16﹣0.40＝0.39．
故答案为：0.39．
10．【解答】解：射手射中9环及以上的概率为0.24+0.28＝0.52，
所以射手一次射击中不够9环的概率为1﹣0.52＝0.48，
故答案为：0.48．
11．【解答】解：因为甲、乙两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，所以乙获胜的概率1．
故答案为：．
12．【解答】解：∵事件A，B互相对立，且P（A）＝2P（B），
∴P（A）+P（B）＝3P（B）＝1，
∴P（B），
∴P（A）＝2P（B）．
故答案为：．
13．【解答】解：甲、乙两球落入盒子的概率分别为和，则，
甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1﹣（1）（1）＝1，
故答案为：，．
14．【解答】解：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，
得到红球概率为，得到黑球或黄球概率是，得到黄球或绿球概率是，
∴袋中有红球：123个，
有黑球或黄球：125个，
有黄球或绿球：126个，
∴黄球个数为：（5+6）﹣（12﹣3）＝2，
∴任取一球得到黄球的概率为P．
故答案为：．
15．【解答】解：（1）“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”与都是白球不是互斥事件；
（2）当是“1个白球，1个红球”，两个事件都成立，故（2）不是互斥事件；
（3）“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，则（3）是互斥事件；
（4）“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是互斥事件；
故答案为：（3）（4）
16．【解答】解：口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，
事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，
C＝“取出的2球至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”．
在①中，A与D为对立事件，故①正确；
在②中，B与C能同时发生，不是互斥事件，故②错误；
在③中，C与E能同时发生，不是对立事件，故③错误：
在④中，∵C∪E＝Ω，∴P（C∪E）＝1，故④正确；
在⑤中，P（B），P（C）．故⑤错误．
故答案为：①④．
三．解答题
17．【解答】解：（1）由已知得25+y+5＝40，x+30＝60，
解得x＝30，y＝10．
该超市所以顾客一次购物的结算时间可视为一个总体，
所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，
顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，
其估计值为分钟．
（2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟”，
A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为4分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为5分钟”，
将频率视为概率得．
P（A）＝1﹣P（A1）﹣P（A2）．
故一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率为．
18．【解答】解：（Ⅰ）第四盘棋甲赢分两种情况．
若第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，；
若第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，．
设事件A为“第四盘棋甲赢”，
则第四盘棋甲赢的概率．
（Ⅱ）若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况．
若甲第三盘赢，；
若甲第四盘赢，；
若甲第五盘赢，．
设事件B为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，
则比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率为：
．
19．【解答】解：（1）P（X＝0）＝（1）3，
P（X＝1）??（1）2，
P（X＝2）?（）2?（1），
P（X＝3）?（）3．
（2）设乙同学上学期间的三天中在7：30之前到校的天数为Y，
则P（Y＝0）＝P（X＝0），P（Y＝1）＝P（X＝1），
P（Y＝2）＝P（X＝2），P（Y＝3）＝P（X＝3），
∴P（M）＝P（X＝2）?P（Y＝0）+P（X＝3）?P（Y＝1）．
20．【解答】解：（1）记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险，
则P（A）＝0.4，
设B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险，
则P（B）＝0.2，
设事件C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种，
则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为：
P（C）＝P（A+B）＝P（A）+P（B）＝0.4+0.2＝0.6．
（2）设事件D表示：该地1位车主甲、乙两种保险都不购买，则D，
∴P（D）＝1﹣P（C）＝1﹣0.6＝0.4，
设E表示：该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，
则该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率：
P（E）0.432．
21．【解答】解：（I）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，
Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共有36个基本事件，
事件A：“两数之和为8”，事件A包含的基本事件有：
（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共5个基本事件，
∴事件A发生的概率为P（A）．
（II）事件B：“两数之和是3的倍数”，
事件B包含的基本事件有12个，分别为：
（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6），
∴事件B发生的概率P（B）．
（III）事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为：
（2，2），（2，4），（2，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（6，2），（6，4），（6，6），
∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为P（A∪C）．
22．【解答】解：（Ⅰ）设事件Ai为“甲是A组的第i株植物”，
事件Bi为“乙是B组第i株植物”，
事件?i为“丙是C组第i株植物”，i＝1，2，3，4，…，7，
由题意得P（Ai）＝P（Bi）＝P（?i），i＝1，2，3，4，…，7，
设事件D为“丙的高度小于15厘米”，由题意D＝C1∪C2，且C1与C2互斥，
∴丙的高度小于15厘米的概率为：
P（D）＝P（C1∪C2）．
（Ⅱ）设事件E为“甲的高度大于乙的高度”，
∴甲的高度大于乙的高度的概率为：
P（E）＝P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）+P（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A6B3）+P（A7B3）+P（A7B4）
＝10P（A4B1）＝10．
（Ⅲ）所有数据的平均数μ0（10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19）≈14.67，
μ1（10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19+14+16+15）≈14.71．
∴μ0＜μ1．
23．【解答】解：（1）由题意列出方程组，得：
，解得m，n．
（2）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为X，
获得校本选修课学分分数不低于4分为事件A，
则P（X＝4），
P（X＝5），
P（X＝6），
P（A）＝P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6）．
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