第三章《概率》3.2 古典概型（基础练，含解析）—2020-2021学年人教A版必修三同步必刷题

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2020-2021学年人教A版必修三同步必刷题基础练
第三章《概率》
3.2
古典概型
一．选择题
1．（2020秋?湖北月考）如果3个正整数按照自身顺序或者经过调整顺序可以组成一个等比数列，则称这3个数为一组“等比数”（如：（1，2，4）与（4，2，1）视为一组“等比数”）．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数构成一组“等比数”的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020秋?大连期末）从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2020秋?二道区校级期末）4名同学参加4项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中一项，则每项活动至少一名同学参加的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2020秋?公主岭市期末）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2021?四模拟）某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）+2（物理、历史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择全理科的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2021?三模拟）雅言传承文明，经典浸润人生，某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某班级三人参赛，则三人参加项目均不相同的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2021?十八模拟）连续抛掷一枚硬币4次，落地后第2次和第4次恰好都是正面向上的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
8．（2021?佛山一模）某高校每年都举行男子校园足球比赛，今年有7支代表队出线进入决赛阶段，其中的甲、乙两支队伍分别是去年的冠、亚军球队．根据赛制，先用抽签的方式，把7支出线球队随机分成A、B两组分别进行单循环赛，其中A组3支球队、B组4支球队，则甲、乙恰好在同一组的概率为　
　．
9．（2020秋?天津期末）某科技小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P（X＝2）＝　
　．
10．（2020秋?天津期末）从11至14世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．某学校团委为拓展学生课外学习兴趣，现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为　
　．
11．（2020秋?沙依巴克区校级期末）一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1、2、3、4、5，从袋中取出两个球，每次只取出一个，并且取出的球不放回，求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为　
　．
12．（2021?普陀区一模）一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为　
　．
13．（2020秋?湖北月考）湖北省2021年的新高考按照“3+1+2”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目．则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均选择物理的概率为　
　．
14．（2020秋?义乌市月考）“九九表”即九九乘法口诀表，它最初是从“九九八十一”开始，大约到公元13，14世纪，才把“九九表”完全反转过来，由“一一得一”开始，到“九九八十一”止．“九九表”较早的出现可见于文献记载的南宋初洪迈的《容斋续笔》卷七．若从“九九表”（三角形九九表）中任意取出一句口诀，其表示的计算结果不大于10的概率是　
　．
15．（2020秋?渝中区校级月考）算盘是中国传统的计算工具，其形为长方形，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，运算时定位后拨珠计算，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，如图，若拨珠的三档从左至右依次定位：百位档、十位档、个位档，则表示数字518．若在千、百、十、个位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字能被5整除的概率为　
　．
三．解答题
16．（2020秋?沈阳期末）中学阶段是学生身体发育重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长（单位：小时），从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查，将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据，如表所示．如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时，则称为“过度熬夜”．
甲班
9
11
13
20
24
31
乙班
11
12
18
20
22
25
（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值；
（2）为了解学生过度热夜的原因，从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，求抽到的数据来自于同一个班级的概率；
（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率．
17．（2021?二十模拟）2019年9月1日央视《开学第一课》播出后，社会各界反响强烈．某兴趣小组为了了解某校学生对《开学第一课》的满意程度，从该校随机抽取了100名学生对该节目进行打分（满分100分，并把相关的统计结果记录如表：
分数段
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
1
9
18
32
40
（1）试估计这100名学生对该节目打分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）将频率视为概率，该兴趣小组用分层抽样的方法从打分为[60，70）和[70，80）的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2名学生进行详细调查，记“这2名学生的打分在同一分数段”为事件M，求事件M发生的概率．
18．（2020秋?忻府区校级月考）某校要从该校环境保护兴趣协会的20名成员中，选取6人组队参加市电视台组织的环保知识竞赛．
（1）若采用抽签法选取参赛队伍成员，请写出步骤；
（2）若选出的人员中有2名女生4名男生，在这6名学生中任选两人担任正副队长，求所选两人恰好有1名女生的概率．
19．（2020秋?沧州期中）某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满100元，可参与一次抽奖．抽奖规则满足抽奖要求的顾客从有编号为1、2、3、4的四个小球（除数字不同外，其他完全相同）的抽奖箱中取球，每次取出一个小球记下球上的数字后放回，连续取两次．若取出的两个小球的数字之和为8，则中特等奖；取出的两个小球的数字之和为7，则中一等奖；取出的两个球的数字之和为6，则中二等奖；取出的两个小球的数字之和为5，则中三等奖，其他情况不中奖．
（1）求某顾客抽奖一次，中二等奖的概率；
（2）求某顾客抽奖一次，中奖的概率．
20．（2021?八模拟）2020年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗击疫情．某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学．某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课，每天共240分钟，请学生自主学习．区教育局为了了解学生网上学习情况，上课几天后在全区学生中采取随机抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，为了方便表述把学习时间在[0，120）分钟的学生称为A类，把学习时间在[120，240]分钟的学生称为B类，调查的200名学生学习时间的人数频率分布表如表：
学习时间
[0，40）
[40，80）
[80，120）
[120，160）
[160，200）
[200，240]
频数
20
35
n
60
10
10
频率
以频率估计概率回答下列问题：
（Ⅰ）求表中n的值并完成上表，并估算这200名学生学习时间的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果保留整数）；
（Ⅱ）在A，B两类学生中，按分层抽样的方法从上述200名学生中抽取5人，求从这五人中抽取的两人都是A类学生的概率．
21．（2020秋?海东市月考）某电脑公司为调查旗下A品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段（单位：岁）统计，如表：
分组
频率/组距
[25，30）
0.01
[30，35）
0.04
[35，40）
0.07
[40，45）
0.06
[45，50]
0.02
（1）根据如表，试估计样本的中位数，平均数（同一组数据以该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；
（2）按照年龄段从[30，35），[45，50]内的用户中进行分层抽样，抽取6人，在从中随机选取2人赠送小礼品，求恰有1人在[45，50]内的概率．
22．（2020秋?广西期中）（1）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，求a+b为奇数的概率；
（2）已知a∈[﹣5，5]，关于x的一元二次方程x2﹣ax+4＝0，求此方程没有实根的概率．
23．（2020秋?湖北期中）（1）一条光线从点P（6，4）射出，与x轴相交于点Q（2，0），经x轴反射后与y轴交于点H，求反射光线QH所在直线的方程．
（2）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A＝“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B＝“抽取的两个小球标号之积大于8”，求事件“A∪B”发生的概率．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：从9个数中任取3个不同的数，有种情况，
其中，构成一组等比数的有（1，2，4），（1，3，9），（2，4，8），（4，6，9）共4种情况，
故这3个数构成一组等比数的概率．
故选：C．
2．【解答】解：从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中，
按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，
基本事件总数n＝3×2＝6，
取出的两件产品中恰有一件次品包含的基本事件个数m＝2×1+1×2＝4，
则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是P．
故选：B．
3．【解答】解：4名同学参加4项不同的课外活动，每名同学可自由选择参加其中一项，
基本事件总数n＝44＝256，
每项活动至少一名同学参加包含的基本事件个数m24，
则每项活动至少一名同学参加的概率为P．
故选：D．
4．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，
基本事件总数n10，
选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学包含的基本事件个数m6，
则选出的2名同学中恰有1名男同学和1名女同学的概率P．
故选：C．
5．【解答】解：在2（物理，历史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2中，
选物理的有6种，分别为：
物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，
同时，选历史的也有6种，共计12种，
其中选择全理科的有1种，
∴某考生选择全理科的概率是P．
故选：D．
6．【解答】解：某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：
“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．
某班级三人参赛，基本事件总数n＝43＝64（种），
三人参加项目均不相同的基本事件数为m＝4×3×2＝24（种），
∴三人参加项目均不相同的概率为：
P．
故选：C．
7．【解答】解：抛掷一枚硬币，落地后可能出现正面和反面两种情况，
连续抛掷一枚硬币4次的所有结果为：
（正，正，正，正）（正，正，正，反）
（正，正，反，正）（正，正，反，反）
（正，反，正，正）（正，反，正，反）
（正，反，反，正）（正，反，反，反）
（反，正，正，正）（反，正，正，反）
（反，正，反，正）（反，正，反，反）
（反，反，正，正）（反，反，正，反）
（反，反，反，正）（反，反，反，反）
共16种情况，
落地后第2次和第4次恰好都是正面向上的结果为：
（正，正，正，正）（正，正，反，正）
（反，正，正，正）（反，正，反，正）
共4种情况，
故所求事件的概率P，
故选：A．
二．填空题
8．【解答】解：有7支代表队出线进入决赛阶段，其中的甲、乙两支队伍分别是去年的冠、亚军球队．
先用抽签的方式，把7支出线球队随机分成A、B两组分别进行单循环赛，其中A组3支球队、B组4支球队，
基本事件总数n35，
甲、乙恰好在同一组包含的基本事件个数m15，
则甲、乙恰好在同一组的概率为P．
故答案为：．
9．【解答】解：某科技小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，
基本事件总数n56，
若X表示选出女生的人数，则X＝2包含的基本事件个数m15，
则P（X＝2）．
故答案为：．
10．【解答】解：秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．
某学校团委为拓展学生课外学习兴趣，现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，
基本事件总数n10，
所选的两部中至少有一部不是杨辉著作包含的基本事件个数m7，
则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率P．
故答案为：．
11．【解答】解：一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1、2、3、4、5，
从袋中取出两个球，每次只取出一个，并且取出的球不放回，
基本事件总数n＝5×4＝20，
取出的两个球上编号之积为奇数包含的基本事件个数m＝3×2＝6．
∴取出的两个球上编号之积为奇数的概率P．
故答案为：．
12．【解答】解：由题设知：从10个球中任取4个球，共有C210种取法，
满足三种颜色的球均取到的取法有CCCCCCCCC105种，
∴三种颜色的球均取到的概率为，
故答案为：．
13．【解答】解：“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目．
则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同的条件下包含的基本事件个数为：
n60，
其中均选择物理包含的基本事件个数m24．
则甲，乙两名考生在6门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均选择物理的概率为：
P．
故答案为：．
14．【解答】解：∵“九九表”中共有45个式子，其中有14个式子的结果不大于10，
∴从“九九表”（三角形九九表）中任意取出一句口诀，其表示的计算结果不大于10的概率P，
故答案为：．
15．【解答】解：在千、百、十、个位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，
基本事件总数n24，
所拨数字能被5整除的情况有两种，
①个位档拨一颗上珠，千、百、十档中拨2颗下珠，包含的基本事件个数有m13，
②千、百、十档中拨1颗下珠，同时千、百、十档中拨2颗下珠，包含的基本事件个数有m29，
∴所拨数字能被5整除的概率为p．
故答案为：．
三．解答题
16．【解答】解：（1）甲班样本的平均值为：
（9+11+13+20+24+31）＝18．
乙班样本的平均成绩为：
（11+12+18+20+22+25）＝18．
（2）甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个，
从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中，抽取2个数据，
基本事件总数n6，
抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m2，
∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p．
（3）甲班的6个样本数据中，为“过度熬夜”的数据有2个，
从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据，
基本事件总数n＝6×6＝36，
恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m16，
∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P．
17．【解答】解：（1）由频数分布表估计这100名学生对该节目打分的平均值为：
8585.1，
∴这100名学生对该节目打分的平均值为85.1．
（2）由题意知，从打分为[60，70）的学生中抽取了2人，分别记为a，b，
从打分在[70，80）的学生中抽取了4人，分别记为A，B，C，D，
从这6人中随机抽取2名学生进行详细调查的基本事件有：
ab，aA，aB，aC，aD，bA，bB，bC，bD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，共15个，
记“这2名学生的打分在同一分数段”为事件M，
事件M包含的基本事件有：
ab，AB，AC，AD，BC，BD，CD共7个，
∴事件M发生的概率P（M）．
18．【解答】解：（1）（i）把该校环境保护兴趣协会的20名成员进行编号，号码分别为：
01，02，03，04，05，06，07，08，09，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，
（ii）20个号码搅拌均匀，从中依次取出6个号码，从而取出参赛队伍成员．
（2）选出的人员中有2名女生4名男生，在这6名学生中任选两人担任正副队长，
基本事件总数n15，
所选两人恰好有1名女生包含的基本事件个数m8，
∴所选两人恰好有1名女生的概率P．
19．【解答】解：（1）由题意可得从四个小球中有放回地抽取两个小球的基本事件有16种：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
取出的两个小球的数字之和为6的基本事件有（2，4），（3，3），（4，2），共3种
则某顾客抽奖一次，中二等奖的概率．
（2）设“某顾客抽奖一次，不中奖”为事件A．
则事件A包含的基本事件有：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），共6个
从而，
故某顾客抽奖一次，中奖的概率．
20．【解答】解：（Ⅰ）由题知被调查者一共200人，
∴35+60+n+20+10+10＝200，解得n＝65．
则被调查人员各组学习时间的频率分别为0.1，0.175，0.325，0.3，0.05，0.05，
∴调查的200名学生学习时间的人数频率分布表如表：
学习时间
[0，40）
[40，80）
[80，120）
[120，160）
[160，200）
[200，240]
频数
20
35
65
60
10
10
频率
0.1
0.175
0.325
0.3
0.05
0.05
平均值为：
20×0.1+60×0.175+100×0.325+140×0.3+180×0.05+220×0.05＝107．
（Ⅱ）由题意A类学生抽取人数为53（人），
将A类学生分别记为x，y，z，B类学生分别记为a，b，
设“选中的2人都是A类学生”为事件A，
则从5名学生中任选2人，所有可能情况有10种，分别为：
（x，y），（x，z），（x，a），（x，b），（y，z），（y，a），（y，b），（z，a），（z，b），（a，b），
其中事件A包含的基本事件有3种，分别为：（x，y），（x，z），（y，z），
∴从这五人中抽取的两人都是A类学生的概率为：
P（A）．
21．【解答】解：（1）中位数在[35，40）中，设为x，
则0.01×5+0.04×5+0.07×（x﹣35）＝0.5，解得x≈38.6．
平均数为（27.5×0.01+32.5×0.04+37.5×0.07+42.5×0.06+47.5×0.02）×5＝38.5．
所以样本的中位数为38.6，平均数为38.5．
（2）根据分层抽样法，其中位于[30，35）中的有4人，记为A，B，C，D，
位于[45，50]中的有2人，记为a，b．
从6人中抽取2人，有15种情况，分别为：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），
（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），
恰有1人在[45，50]内的有：
（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），共8种情况，
所以恰有1人在[45，50]内的概率为P．
22．【解答】解：（1）根据题意，任取两个不同的数字，（2，3），（2，8），（2，9），（3，8），（3，9），（8，9）所有的基本事件共有6个，
若a+b为奇数，则a和b一个是奇数一个是偶数，共有4种情况，
故所求的概率为．
（2）由题意知本题是一个几何概型问题，试验的全部结果构成区域Ω＝{a|﹣5≤a≤5}，其长度为10，
若关于x的一元二次方程x2﹣ax+4＝0没有实根，则Δ＝a2﹣4×4＜0，解得﹣4＜a＜4．
因此，所求的概率为．
23．【解答】解：（1）点P（6，4）关于轴的对称点的坐标P1（6，﹣4），
则反射光线所在的直线过点P1和Q，所以k1，
所以反射光线QH的方程为y＝﹣（x﹣2），即y＝﹣x+2．
（2）由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含20个基本事件；
“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，3），（3，5），（3，6），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6），共11个基本事件；
“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：（2，5），（2，6），（3，3），（3，5），（3，6），（4，3），（4，5），（4，6），共8个基本事件；
即事件B是事件A的子事件；所以事件A∪B包含的基本事件个数为11个，
所以事件A∪B发生的概率为．
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精品试卷·第
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