第三章《概率》3.1 随机事件的概率（提高练，含解析）—2020-2021学年人教A版必修三同步必刷题

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2020-2021学年人教A版必修三同步必刷题提高练
第三章《概率》
3.1
随机事件的概率
一．选择题
1．（2020春?金凤区校级期中）下列事件中是随机事件的个数有（　　）
①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2020春?思南县校级期末）从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（　　）
A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”
B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”
C．“都是白球”与“至少有一个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
3．（2020?辽宁一模）甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（　　）
A．甲得9张，乙得3张
B．甲得6张，乙得6张
C．甲得8张，乙得4张
D．甲得10张，乙得2张
4．（2020春?栖霞市月考）一道试题，A，B，C三人可解出的概率分别为，则三人独立解答，仅有1人解出的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．1
5．（2020春?芝罘区校级期末）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2020秋?肥东县期中）连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记t＝m+n，则下列说法正确的是（　　）
A．事件“t＝12”的概率为
B．事件“t是奇数”与“m＝n”互为对立事件
C．事件“t＝2”与“t≠3”互为互斥事件
D．事件“t＞8且mn＜32”的概率为
7．（2017秋?永州期中）从一批产品（其中正品、次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是（　　）
①恰好有1件次品和恰好有两件次品；
②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少1件次品和全是正品．
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
二．填空题
8．（2018秋?怀仁市校级期末）口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，C＝“取出的2球至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为　
　．
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件：④P（C∪E）＝1；⑤P（B）＝P（C）．
9．（2019春?菏泽期末）已知三个事件A，B，C两两互斥且P（A）＝0.3，P（）＝0.6，P（C）＝0.2，则P（A∪B∪C）＝　
　．
10．（2019春?淮安期末）若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为　
　
11．（2018秋?宾阳县校级期末）口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是　
　．
12．（2018春?南昌期末）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列的结论：
①P（B）＝；
②P（B|A1）＝；
③事件B与事件A1不相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中哪一个发生有关，
其中正确结论的序号为　
　．（把正确结论的序号都填上）
13．（2018春?梅河口市校级期末）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是　
　（写出所有正确结论的编号）．
①P（B）＝；
②P（B|A1）＝；
③事件B与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P（B）的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
14．（2017秋?鸠江区校级期中）根据统计资料，甲射击一次中靶的概率是0.45，那么甲射击一次不中靶的概率为　
　．
15．（2017秋?兴庆区校级期中）为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有　
　．
①每个运动员被抽到的概率不一定相等
②每个运动员是个体；
③抽取的100名运动员是一个样本；
④样本容量为100．
16．（2017秋?淄川区校级月考）从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数．则下列说法：①恰好有1件次
品和恰好有2件次品是互斥事件；②至少有1件次品和全是次品是对立事件；③至少有1件正品和至少有1件次品是互斥事件但不是对立事件；④至少有1件次品和全是正品是互斥事件也是对立事件．其中正确的有　
　（写出所有正确说法的序号）．
三．解答题
17．（2020?北京模拟）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要“的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从A，B，C三块试验田中各随机抽取7株植物测量高度，数据如表（单位：厘米）：
A组
10
11
12
13
14
15
16
B组
12
13
14
15
16
17
18
C组
13
14
15
16
17
18
19
假设所有植株的生长情况相互独立．从A，B，C三组各随机选1株，A组选出的植株记为甲，B组选出的植株记为乙，C组选出的植株记为丙．
（Ⅰ）求丙的高度小于15厘米的概率；
（Ⅱ）求甲的高度大于乙的高度的概率；
（Ⅲ）表格中所有数据的平均数记为μ0．从A，B，C三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次是14，16，15
（单位：厘米）．这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为μ1，试比较μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）
18．（2020秋?海淀区校级月考）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、、n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n．
（l）求m与n的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．
19．（2019春?河南期中）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，求从中任意取出2粒恰好是同一色的概率．
20．（2019春?兴庆区校级月考）某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35．
（1）打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？
（2）打进的电话响4声而不被接的概率是多少
21．（2020?西宁模拟）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．
22．（2019春?九台区期中）甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
（1）两人都射中的概率；
（2）两人中恰有一人射中的概率；
（3）两人中至少有一人射中的概率．
23．（2019?红桥区二模）袋中装着标有数字1、2、3、4、5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布列和数学期望．
24．（2017秋?成都期末）甲袋中有1只黑球，3只红球；乙袋中有2只黑球，1只红球．
（Ⅰ）从甲袋中任取两球，求取出的两球颜色不相同的概率；
（Ⅱ）从甲、乙两袋中各取一球，求取出两球颜色相同的概率．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；是随机事件，
②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；是必然事件．
③某人买彩票中奖；是随机事件．
④在标准大气压下，水加热到90℃会沸腾．是不可能事件．
故选：B．
2．【解答】解：对于A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，
但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，
∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，A满足题意；
对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，
如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，B不满足题意；
对于C，“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，C不满足题意；
对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥，D不满足题意．
故选：A．
3．【解答】解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．
其中甲获胜有3种，而乙只有1种，
所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．
所以甲得到的游戏牌为12×＝9，乙得到游戏牌为12×＝3；
当甲得3分时获得12张游戏牌，当甲得1分时获得3张牌，当甲得2分时获得9张牌，
故选：A．
4．【解答】解：根据题意，只有一人解出的试题的事件
包含A解出而其余两人没有解出，B解出而其余两人没有解出，C解出而其余两人没有解出，三个互斥的事件，而三人解出答案是相互独立的，
则P（只有一人解出试题）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，
故选：B．
5．【解答】解：事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P（A）＝＝，P（B）＝＝，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝+＝，
故选：A．
6．【解答】解：连掷一枚均匀的骰子两次，
所得向上的点数分别为a，b，记t＝a+b，则
事件“t＝12”的概率为，故A错误；
事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件，故B错误；
事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；
事件“t＞8且mn＜32”共有9个基本事件，
故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；
故选：D．
7．【解答】解：∵从一批产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于2件，
∴恰有一件次品和恰有两件次品是互斥的，
至少有一件次品和全是正品是互斥的，
∴①④是互斥事件，
故选：D．
二．填空题
8．【解答】解：口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，
事件A＝“取出的两球同色”，B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，
C＝“取出的2球至少有一个白球”，D＝“取出的两球不同色”，E＝“取出的2球中至多有一个白球”．
在①中，A与D为对立事件，故①正确；
在②中，B与C能同时发生，不是互斥事件，故②错误；
在③中，C与E能同时发生，不是对立事件，故③错误：
在④中，∵C∪E＝Ω，∴P（C∪E）＝1，故④正确；
在⑤中，P（B）＝＝，P（C）＝＝．故⑤错误．
故答案为：①④．
9．【解答】解：三个事件A，B，C两两互斥，
P（）＝0.6，可得P（B）＝1﹣0.6＝0.4，
则P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）＝0.3+0.4+0.2＝0.9．
故答案为：0.9．
10．【解答】解：系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，
A正常工作的概率为：0.7；
B，C至少有一个正常工作的情况的概率为1减去B，C都不正常工作的情况的概率，
即：B，C至少有一个正常工作的概率为：1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.9）＝0.98，
所以：这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；
故答案为：0.686；
11．【解答】解：口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，
设红、黄、白球各有a，b，c个，
∵从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，
摸出黄球或白球的概率是0.6，
∴，
∴，，
∴摸出白球的概率是p＝1﹣0.4﹣0.35＝0.25．
故答案为：0.25．
12．【解答】解：∵甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，
则P（B）＝++＝≠，故①⑤错误；
②P（B|A1）＝，正确；
③事件B与事件A1不相互独立，正确；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件，正确；
故答案为：②③④
13．【解答】解：由题意A1，A2，A3是两两互斥的事件，P（A1）＝＝，P（A2）＝＝，P（A3）＝；
P（B|A1）＝＝＝，由此知，②正确；
P（B|A2）＝，P（B|A3）＝；
而P（B）＝P（A1B）+P（A2B）+P（A3B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝×+×+×＝．
由此知①③⑤不正确；
A1，A2，A3是两两互斥的事件，由此知④正确；
对照四个命题知②④正确；
故正确的结论为：②④
故答案为：②④
14．【解答】解：∵甲射击一次中靶的概率是0.45，
∴甲射击一次不中靶的概率为p＝1﹣0.45＝0.55．
故答案为：0.55．
15．【解答】解：∵2000名运动员的年龄情况是总体；
每个运动员的年龄情况是个体，
所抽取的100名运动员的年龄情况是一个样本，
样本容量为100，
这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样，每个运动员被抽到的概率相等．
故答案为：④．
16．【解答】解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：
①恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，
因此它们是互斥事件，又因为它们的和并不是必然事件，
∴它们不是对立事件，
②∵至少有1件次品和全是次品都包含2件次品这一种结果，
∴2个事件不是互斥事件，也不是对立事件
③至少有1件正品和至少有1件次品，
∵前者表示一正一次和两正品，后者包含一正一次和两个次品，
∴2个事件不是互斥事件也不是对立事件．
④至少有1件次品和全是正品不可能同时发生而且至少有有一个发生，且必有一个发生，
所以是互斥事件也是对立事件．
故答案为：①④
三．解答题
17．【解答】解：（Ⅰ）设事件Ai为“甲是A组的第i株植物”，
事件Bi为“乙是B组第i株植物”，
事件?i为“丙是C组第i株植物”，i＝1，2，3，4，…，7，
由题意得P（Ai）＝P（Bi）＝P（?i）＝，i＝1，2，3，4，…，7，
设事件D为“丙的高度小于15厘米”，由题意D＝C1∪C2，且C1与C2互斥，
∴丙的高度小于15厘米的概率为：
P（D）＝P（C1∪C2）＝＝．
（Ⅱ）设事件E为“甲的高度大于乙的高度”，
∴甲的高度大于乙的高度的概率为：
P（E）＝P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）+P（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A6B3）+P（A7B3）+P（A7B4）
＝10P（A4B1）＝10×＝．
（Ⅲ）所有数据的平均数μ0＝（10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19）≈14.67，
μ1＝（10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19+14+16+15）≈14.71．
∴μ0＜μ1．
18．【解答】解：（1）由题意列出方程组，得：
，解得m＝，n＝．
（2）由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为X，
获得校本选修课学分分数不低于4分为事件A，
则P（X＝4）＝，
P（X＝5）＝＝，
P（X＝6）＝＝，
P（A）＝P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6）＝＝．
19．【解答】解：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，
“从中取出2粒都是白子”为事件B，
“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，…（2分）
则C＝A∪B，且事件A与B互斥…（4分）
所以P（C）＝P（A）+P（B）＝＝．
即任意取出2粒恰好是同一色的概率为．…（10分）
20．【解答】解：（1）设事件“电话响第k声时被接”为Ak（k∈N），
那么事件Ak彼此互斥，
设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A，
根据互斥事件概率加法公式，得：
P（A）＝P（A1∪A2∪A3∪A4）
＝P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A4）
＝0.1+0.2+0.3+0.35＝0.95．
（2）事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A，
“打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为．
根据对立事件的概率公式，得P（）＝1﹣P（A）＝1﹣0.95＝0.05．
21．【解答】解：设指针落在A，B，C区域分别记为事件A，B，C．
则．
（Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域．∴
即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是．
（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次．
随机变量X的可能值为0，30，60，90，120．
；
；
；
；
．
所以，随机变量X的分布列为：
X
0
30
60
90
120
P
其数学期望．
22．【解答】解：设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B．事件A与B是相互独立的．
（1）两人都射中的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72．
（2）两人中恰有一人射中的概率为
P（A）+P（B）＝0.8×（1﹣0.9）+（1﹣0.8）×0.9＝0.26．
（3）两人中至少有一人射中的概率等于1减去两个人都没有击中的概率，
∴所求的概率等于
1﹣P（）＝1﹣P（）?P（）＝1﹣0.2×0.1＝0.98．
23．【解答】解：（1）一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A，一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，因为
所以．（4分）
（2）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5．（5分）
；（8分）
；（9分
）；（10分）
；（11分）
所以随机变量ε的概率分布为
ξ
2
3
4
5
P
（12分）
因此ξ的数学期望为：（14分）
24．【解答】解：（Ⅰ）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为a，b1，b2，b3，
从甲袋中任取两球，所有可能的结果有6种，分别为：
{a，b1}，{a，b2}，{a，b3}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}，共6种，
其中两球颜色不相同的结果有：{a，b1}，{a，b2}，{a，b3}，共3种，
记“从甲袋中任取两球，取出的两球颜色不相同”为事件A，
则P（A）＝，
∴从甲袋中任取两球，取出的两球颜色不相同的概率为．
（Ⅱ）将甲袋中的1只黑球，3只红球分别记为a，b1，b2，b3，
将乙袋中的2只黑球、1只红球分别记为A1，A2，B1，
从甲、乙两袋中各取一球的所有可能结果有12种，分别为：
{a，A1}，{a，A2}，{a，B1}，{b1，A1}，{b1，A2}，{b1，B1}，
{b2，A1}，{b2，A2}，{b2，B1}，{b3，A1}，{b3，A2}，{b3，B1}，
其中两球颜色相同的结果有；
{a，A1}，{a，A2}，{b1，B1}，{b2，B1}，{b3，B1}，共5种，
记“从甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同”事事件B，
则P（B）＝，
∴从甲、乙两袋中各取一球，取出两球颜色相同的概率为．
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精品试卷·第
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