北师版数学八年级下册第四章第3节
《公式法》第一课时
平方差公式
教学设计
【课程标准陈述】
能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.
【教材理解】
因式分解的平方差公式是整式乘法中平方差公式的逆运算，体现了一类特殊多项式的运算结构，它可以优化数式运算过程，增强学生的运算能力。平方差公式是数学符号思想的一次跳跃，能进一步发展学生的符号感和运用符号进行推理的能力。平方差公式所体现出的策略和方法，为其他更复杂乘法公式的学习提供了基础和模式。
【学习目标】
根据教材分析和课程标准相关要求,确定平方差公式的教学目标如下:
1．运用逆向思维将整式乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2的逆向变形得出因式分解的平方差公式，并能描述出公式的特征；
2．能判断一个多项式能否用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）因式分解，分清公式中a、b，（含多项式）并将符合条件的多项式因式分解；
3．综合运用提公因式法、平方差公式进行因式分解.
【评价活动方案】
1．在问题引入和公式的推导以及小组交流找特征的环节，学生们通过动手操作求解樟子松的种植面积，通过归纳、建立猜想、表述猜想等思维操作步骤，经历了探索因式分解的平方差公式的过程，发展了学生的观察、归纳和语言表达能力，以评价目标1。
2．引导学生运用合适的符号更加直观的表达可以运用平方差公式进行因式分解的多项式的结构特征。并通过知识探究环节的练习巩固评价目标2。
3．在例题后设计基础练习、变式练习和提高练习，关注学生解答的正确率，以评价目标3。
【教学设计】
温故知新
(本环节教师引导学生复习回顾前面学习的知识，然后让大家观察思考多项式x2-25，9x2-y2教师提问还能用提公因式法因式分解吗？答案很明显是不能的。教师进而提问：那我们该怎样对这类多项式进行因式分解呢？从而设置疑问，引出本节课学习的要点。
)
1.回顾：(1)什么是因式分解？
(2)前面我们学习了因式分解的哪种方法？
2.思考：观察多项式x2-25，9x2-y2，还能用提公因式法因式分解吗？
二、探究新知
（本环节教师以当前比较热的环境问题——土地荒漠化为背景，引入题目的同时，对学生进行了德育渗透。然后教师鼓励学生以小组合作的形式，开动脑筋、玩转手中的纸片，以不同的方法求出阴影部分的面积，从而推导出因式分解的平方差公式；并让学生观察、同桌交流该公式的特征，发现该公式与之前学过的整式乘法中的平方差公式之间的不同.）
活动：我国是世界上荒漠化面积大、分布广、危害严重的国家之一。近年来，我国土地荒漠化速度加快，沙尘暴次数增多;习近平总书记指出：绿水青山就是金山银山。为有效防沙治沙，我国加大了沙化区植树造林的投入，并取得显著成效。
如图是边长为a的正方形防沙林场，工作人员要在阴影部分（除去边长为b的小正方形）种植樟子松，你能帮忙求出樟子松的种植面积吗？
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积
图1：
，
图2：
.
(2)请问以上结果可以验证哪个公式？
.
结论：我们可以将a2-b2=(a+b)(a-b)作为公式，把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做
。
1.
说一说，找特征
：
(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的
）
特征：①项数：
②符号：
③形式：（ ）2－（ ）2
(2)公式右边:（是分解因式的
）.
2.
火眼金睛，辨是非：
（本阶段在学生理解了平方差公式的特征后，进一步进行巩固；让学生在实际题目中，能够迅速辨别该多项式是否符合平方差公式的特征，能否利用平方差公式进行因式分解，如果能，并找出公式中a、b.
本题目采取小组轮流答题制，每组一题，回答问题者比较随机，考察他们的反应能力和对公式的熟练程度.）
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？
(1)
（2）
（3）
（4）
（5）
三、典例解析
(本环节在学生掌握了平方差公式的特征后，进一步在实际题目中进行应用，找到公式中的a、b后，直接套用平方差公式即可.
在例题处理时，（1）（2）小题是温故知新环节中设置疑问的题目，在学生掌握了平方差公式的特征和运用之后，再回头看这两题，就可以迎刃而解了.第（1）小题，教师引导同学观察多项式、符合平方差公式的特征后，找出a、b,然后套用公式；一步步，在引导中，让学生体会做题步骤。后两小题，鼓励学生当小老师，上台讲解，锻炼学生的综合素质与能力.)
例1：把下列各式分解因式.
（1）x2-25
(2)9x2-y2
牛刀小试：
(本环节在学生掌握了平方差公式的特征后，进一步在实际题目中进行应用，找到公式中的a、b后，直接套用平方差公式即可.)
1.多项式a2+b2，a2-b2，-a2+b2，-a2-b2中能用平方差公式分解因式的有（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2.把下列各式因式分解：
（1）
（2）
（此小题在处理时，为了节省时间，增加课堂的新颖性，提高学生的学习兴趣，利用了信息技术传屏技术，在学生做题、教师巡视的过程中，教师将典例学生的答案上传至大屏幕，并鼓励其他学生当小判官，进行批改.本阶段结束后，教师统计答题正确率.）
拓展提升
(通过上阶段的练习，学生基本掌握运用平方差公式进行因式分解，在此基础上可以适当的增加一点难度：第（1）小题进一步体现公式中的a、b是广义的，既可以指代一个数字、字母、单项式，也可以指代一个多项式，渗透“整体思想”；第（2）小题综合利用提公因式法和公式法，体现“一提二套三检查”的解题步骤.
本阶段由教师引导学生，板书讲解.)
例2：分解因式：
六、学以致用
1.
把下列各式分解因式：
（1）
（2）
(本阶段由学生板书，并由另外的学生批改并讲解难点、易错点；教师最后进行点评，强调因式分解一定要彻底，一定要分解到不能再分解为止.)
2.如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形；用a
与b
表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
（本小题体现平方差公式在应用题中的应用；此小题在处理时，同样利用了信息技术传屏技术，在学生做题、教师巡视的过程中，教师将典例学生的答案上传至大屏幕，并由该学生进行简单讲解.）
课时小结：
这节课你收获了什么？
（本环节教师鼓励学生畅谈自己本节课的收获，可以是自己学到了什么、知道了什么等等；教师最后简单总结本节课重难点，并对本节课学生表现进行点评，根据小组得分评出本节课的“合作之星”，鼓励学生在以后的课堂中积极表现.）
八、布置作业:
必选题：习题4.4
第1，2，3题；选做题：习题4.4
第1，2题。
（作业布置采用分层作业的形式，因材施教.）
图2
图1
3
1(共18张PPT)
1．运用逆向思维将整式乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2
的逆向变形得出因式分解的平方差公式，并能描述出公式
的特征；
2．能判断一个多项式能否用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解，分清公式中a、b，（含多项式）并将符合条件的多项式因式分解；
3．综合运用提公因式法、平方差公式进行因式分解.
1.回顾：
（1）什么是因式分解？
（2）前面我们学习了因式分解的哪种方法？
温故知新
2.思考：
观察多项式x2-25，9x2-y2,他们有什么共同特征？还能用提公因式法因式分解吗？
探究新知
b
a
如图是边长为a的正方形防沙林场，工作人员要在阴影部分（除去边长为b的小正方形）种植樟子松，你能帮忙求出樟子松的种植面积吗？
探究新知
a
b
图2
图1
a
b
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积
图1：____________；
图2：____________.
（2）请问以上结果可以验证哪个公式？
探究新知
a2-b2
(a+b)(a-b)
a2-b2=(a+b)(a-b)
(整式乘法)
(因式分解)
结论：我们可以将a2-b2=(a+b)(a-b)作为公式，把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做___________。
公式法
归纳总结
互逆
(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的
）
多项式
▲
▲
▲
特征：①项数：
②符号：
③形式：
(2)公式右边:（是分解因式的
）
两项
异号
（ ）2－（ ）2
结果
可以
可以
不可以
可以
不可以
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
下列哪些式子可以利用平方差公式分解因式？
典例解析
例1
：把下列各式分解因式.
（1）x2-25
你会了吗？
x2-52
=(x+5)
(x-
5)
解：原式=
典例解析
（2）9x2-y2
（3）
2
牛刀小试
1.多项式
a2
+b2,
a2
-b2,
-a2
+b2,
-a2
-b2中能用平方差公式
分解
因式
的有（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
解：原式=(2x)2
-32
=(2x+3)(2x-3)
2.把下列各式因式分解：
（1）
(2)
解：原式=(xy)2-(
)2
(xy-
)
=(xy+
)
B
例2
：把下列各式分解因式：
（1）(m+n)2-(m-n)2
（2）2x3-8x
拓展提升
分解因式时应注意的问题：
?1.公式中的字母a，b可以代表数、字母，也可
以代表一个式子；分解因式时可以把式子看作一个整体。（整体思想）
归纳总结
?3.分解因式一定要分解到每个因式都不能再分解为止.
?2.首先考虑多项式各项有没有公因式，如
果有，先提公因式法，再考虑用公式法；
（“一提、二套、三检查”）
学以致用
1.
把下列各式分解因式：
(1)
(2)
解：
=(p2)2-12
=
(p2+1)(p2-12)
=
(p2+1)(p+1)(p-1)
解：
=3ay4-3ax2
=3a(y4-x2)
=3a(y2+x2)(y2-x2)
=3a(y2+x2)(y+x)(y-x)
学以致用
2.
如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形。用a
与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
解：剩余部分的面积
S=a2-4b2
=a2-(2b)2
=(a+2b)(a-2b)
当a=3.6,b=0.8时,
原式=(3.6+2×0.8)(3.6-2×0.8)
=5.2×2
=10.4
这节课你收获了什么？
分层作业
必选题：习题4.4
第1，2，3题；
选做题：习题4.4
第1，2题。
