第三章《概率》3.3 几何概型（基础练，含解析）—2020-2021学年人教A版必修三同步必刷题

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2020-2021学年人教A版必修三同步必刷题基础练
第三章《概率》
3.3
几何概型
一．选择题
1．（2020秋?永昌县校级期末）在区间[，]上随机取一个数x，则cosx的值介于到1的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020秋?秦安县校级期末）如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2020秋?公主岭市期末）如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落在阴影区域的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2020春?荔湾区期末）七巧板是中国古代劳动人民的发明，在18世纪，七巧板流传到了国外，被誉为“东方魔板”，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．完整图案为一正方形（如图）五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，如果向此正方形内部随机撒800个点，则估计落在阴影部分的点的个数约为（　　）
A．250
B．300
C．350
D．400
5．（2020秋?齐齐哈尔期末）在区间[﹣1，2]上任取一个实数k，则直线与圆x2+y2＝1相交的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2021?二模拟）某人向直角边长分别为6和8的一个直角三角形中投掷一个点，求此点落在此直角三角形内切圆的内部的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2021?十一模拟）某游乐场制作了如图所示的游戏盘，其中△ABC为等腰三角形，A，O为BC的中点，分别以A，O为圆心，AB，BO为半径画弧，交于另一点C．向游戏盘内投飞镖（不考虑投不中的情况），则飞镖落入阴影部分的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
8．（2020秋?秦安县校级期末）如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为　
　．
9．（2020春?金牛区校级月考）在区间[0，1]上任取两个数a、b，则函数f（x）＝x2+ax+b2无零点的概率为　
　．
10．（2020春?包河区校级月考）用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形，现将一粒豆子随机撤在第2021个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是　
　．
11．（2020春?双流区校级月考）关于x的方程x2﹣4x+m＝0（﹣1≤m≤7）有两个正实根的概率是　
　．
12．（2020秋?朝阳区校级期末）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是　
　．
13．（2020秋?哈尔滨期末）明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”．如图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为　
　．
14．（2021?十五模拟）如图是一个圆形射击靶的示意图，靶心为圆心O，半径为2分米．一名运动员在练习射击的时候，在靶上画了一个标志胜利的“V”形轴对称图案AOBC，其中∠AOB＝60°，点A，B在圆形靶的边缘上，点C与靶的边缘的最短距离为1分米．该运动员朝靶上任意射击一次，没有脱靶，则命中靶中“V”形图案的概率为　
　．
15．（2020秋?二道区校级期末）在矩形ABCD中，AB＝5，AC＝7，现向该矩形ABCD内随机投一点P，则∠APB＞90°的概率为　
　．
三．解答题
16．（2019秋?东湖区校级月考）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x、y，奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
（1）求小亮获得玩具的概率；
（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
17．（2019秋?保定月考）（1）从区间[1，10]内任意选取一个实数x，求x2﹣6x﹣16≤0的概率；
（2）从区间[1，12]内任意选取一个整数x，求ln（x﹣2）＜2的概率．
18．（2017秋?上期末）（1）从区间（0，5）内任意选取一个实数x，求事件“9x＞27”发生的概率；
（2）从区间（0，8）内任意选取一个整数x，求事件“”发生的概率．
19．在研究历史声音档案时，发现30min长的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段内容包含两位名人的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某位工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．问：由于按错了键而使含有两位名人谈话内容被部分或全部擦掉的概率有多大？
20．（2020春?海珠区校级月考）设关于x的一元二次方程x2﹣ax+b2＝0（a，b∈R）．
（1）若a是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
（2）若a是从区间[0，4]上任取的一个数，b是从区间[0，2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
21．（2020秋?贵溪市校级月考）某商家在柜台前开展促销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖．抽奖规则是：从一个装有2个红球和4个白球的袋中无放回地取出3个球，当三个球同色时则中奖．每人只能抽奖一次．
（1）求甲、乙恰有一人中奖的概率；
（2）若甲计划在9：00～9：40之间赶到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的概率．
22．（2020秋?河南期中）甲、乙两人进行比赛，现有两组图形，第一组为一个正方形及其外接圆和内切圆，第二组为一个正方体及其外接球和内切球，甲在第一组图形内部任取一点，则此点在正方形与其外接圆之间得3分，此点在内切圆与正方形之间得2分，此点在内切圆内部得1分，乙在第二组图形内部任取一点，则此点在正方体与其外接球之间得3分，此点在内切球与正方体之间得2分，此点在内切球内部得1分．
（Ⅰ）分别求出甲得3分的概率和乙得3分的概率；
（Ⅱ）预估在这种规则下，甲、乙两人谁的得分多．
23．（2020秋?河南期中）已知在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1、中，点E，F，G分别为AA1，A1B1，A1D1的中点．
（Ⅰ）从A，B1，D1，E，F，G这六个点中任取四点，求这四点共面的概率；
（Ⅱ）点P为正方形ABCD内的任意一点，求点P在以A1为球心，为半径的球内的概率．
24．（2020秋?丰城市校级期中）已知函数f（x）＝x22，正数p在集合M上随机取值．
（1）设M＝{x∈Z|0＜x≤5}，求方程f（x）＝0有实数根的概率；
（2）设M＝{x∈R|0＜x≤5}，求f（x）≥﹣1恒成立的概率．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：根据题意，区间[，]上，若cosx＜1，则有x，
则cosx的值介于到1的概率P，
故选：C．
2．【解答】解：设正方形的边长为2a，则其内切圆的半径为a，
，，
∴小鸡在正方形的内切圆中的概率是．
故选：B．
3．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，
试验发生包含的事件对应的图形是一个大正方形，
若设正方形的边长是3，则正方形的面积是9，
满足条件的事件是三个小正方形面积是
3，
∴落在图中阴影部分中的概率是
故选：D．
4．【解答】解：根据题意，设大正方形的边长为4，则面积S＝4×4＝16，
阴影部分的面积S′S﹣（）＝7，
则在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率P，
如果向此正方形内部随机撒800个点，则估计落在阴影部分的点的个数约800350，
故选：C．
5．【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心为（0，0），
圆心到直线y＝k（x）的距离为，
要使直线y＝k（x）与圆x2+y2＝1相交，则1，解得
．
∴在区间[﹣1，2]上随机取一个数k，使y＝k（x）与圆x2+y2＝1相交的概率为．
故选：B．
6．【解答】解：由勾股定理可得斜边长为
10，
设其内切圆的半径为r，
则由等面积法，可得
（8+6+10）r8×6，则r＝2．
∵S△ABC8×6＝24，S圆＝π×22＝4π．
∴往该直角三角形中随机投掷一个点，则该点落在此三角形内切圆内的概率为
．
故选：C．
7．【解答】解：设AB＝2，则BO，S扇形ACBπ×22，
以BC为直径的半圆的面积Sπ，
S△ABC21，
故阴影部分的面积为，
故所求概率P，
故选：D．
二．填空题
8．【解答】解：∵周角等于360°，
∴任作一条射线OA，它的运动轨迹可以绕原点旋转一周，
所以所有的基本事件对应的图形是360°角的整个平面区域．
∵射线OT落在30°角的终边上，
∴若OA落在∠yOT内，符合题意的事件对应的图形是所成角为60°的两条射线之间区域，
记事件X＝“任作一条射线OA，OA落在∠yOT内”，
可得所求的概率为：P（x），
故答案为：
9．【解答】解：若f（x）＝x2+ax+b2无零点，则△＝a2﹣4b2＜0，
又a，b∈[0，1]，故a＜2b，
在平面直角坐标系aOb中作出正方形OABC，
设直线a＝2b与AB交点为D，则D为AB的中点，
故当点（a，b）在梯形DBCO（不含边界OD）时，函数f（x）无零点．
故所求概率P．
故答案为：．
10．【解答】解：设an表示第n个图形的地砖块数，则{an}是以9为首项，以6为公差的等差数列，
∴a2021＝9+2020×6＝12129，
由图形规律可知第2021个图形中有黑色地砖2021块，
故豆子落在白色地砖的概率为1．
故答案为：．
11．【解答】解：由x2﹣4x+m＝0，得m＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，（x＞0），
解得m∈（0，4]，
由﹣7≤m≤1，方程x2﹣4x+m＝0（﹣1≤m≤7）有两个正实根的概率为．
故答案为：．
12．【解答】解：如图所示：，
设OA的中点为D，两半圆交于点C，连接CD，则CD⊥OA，设扇形OAB的半径为r，
∴S扇形OAB，S半圆OAC，S△COD，
∴S弧OCS△COD，
∴两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为，
∴图中阴影部分的面积为22（），
∴此点取自阴影部分的概率是1．
故答案为：1．
13．【解答】解：设大圆的面积为S1，小圆的面积为S2，
则S1＝16π，S2＝π，
∴黑色区域的面积为，
∴点落在黑色区域的概率为．
故答案为：．
14．【解答】解：连接AB，由题意可得△AOB是边长为2的等边三角形，
则靶中“V”形图案的面积为S△ABC﹣S△AOB2×（1）21，
又圆形靶的面积为4π，
根据几何概型的概率计算公式得命中靶中“V”形图案的概率为，
故答案为：．
15．【解答】解：由题意，AD，矩形的面积为10，如图
而使∠APB＞90°成立的区域为以AB为直径的半圆，面积为，
由几何概型公式得到向该矩形ABCD内随机投一点P，则∠APB＞90°的概率为：；
故答案为：．
三．解答题
16．【解答】解：（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，
满足xy≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个，
∴小亮获得玩具的概率为；
（2）满足xy≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个，∴小亮获得水杯的概率为；
小亮获得饮料的概率为1，
∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．
17．【解答】解：（1）因为x2﹣6x﹣16≤0?﹣2≤x≤8；
∵1≤x≤10；
∴1≤x≤8；
∴；
（2）∵ln（x﹣2）＜2?2＜x＜e2+2；
则在区间[1，12]内满足ln（x﹣2）＜2的整数为
3，4，5，6，7，8，9，共有7个，
故由古典概型可知，所求概率为．
18．【解答】解：（1）因为9x＞27，所以x＞log927，即，
故由几何概型可知，所求概率为．
（2）因为，所以0＜x＜4，
则在区间（0，8）内满足的整数为1，2，3，共3个，
故由古典概型可知，所求概率为．
19．【解答】解：由题意，含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉就是在40秒以前按错了键，在40秒后按错了键也不会被擦掉，
所以概率为P；
故所求概率为：．
20．【解答】解：（1）设事件A为“方程有实根”，
则所有基本事件为：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0），（4，1），（4，2），共15个，
其中第一个数字表示a的值，第二个数字表示b的值，
∵方程有实根，∴△＝a2﹣4b2≥0，
∴a≥2b，
∴事件A包含9个基本事件：（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），
∴事件A发生的概率为P（A）．
（2）由题意可知，试验的全部结果所构成的区域为，
满足方程有实根的条件构成区域为，
画出图形，如图所示，
则正方形ABCD的面积为8，△AOB的面积为4，
∴所求的概率P．
21．【解答】解：（1）记“甲取得三个球同色”为事件A，
“乙取得三个球同色”为事件B，
“甲乙恰有一人中奖”为事件C．所以A与B相互独立，
记两红球为1，2号，四个白球分别为3，4，5，6号，
从6个球中抽取3个的所有可能情况有个基本事件，
其中事件A包括个基本事件故，
所以，
所以．
（2）设甲乙到达时间分别为9：00起第x，y小时，则0≤x，y≤1，
甲乙到达时间（x，y）为图中正方形区域，
甲比乙先到则需满足x＜y，为图中阴影部分区域．
设甲比乙先到为事件B，
则P（B）＝1．
22．【解答】解：（Ⅰ）假设第一组图形中正方形的边长为2，则正方形的外接圆的半径为，
所以正方形的面积为4，其外接圆的面积为2π，
则甲得3分的概率为1，
假设第二组图形中正方体的棱长为2，则正方体的外接球的半径为，
乙得3分的概率为1，
（Ⅱ）甲得1分的概率为，甲得2分的概率为，
所以甲的平均得分为13×（1），
乙得1分的概率为，甲得2分的概率为，
所以乙的平均得分为123×（1）3，
（）﹣（3）0，
因此预估乙的得分多．
23．【解答】解：（Ⅰ）从这6个点中随机选取4个点的所有可能结果
与从这6个点中随机选取2个点的所有可能结果相同，
即AB1，AD1，AE，AF，AG，B1D1B1E，B1F，B1G，D1E，D1F，D1G，
EF，EG，FG，共15种，
根据题意可知，四点共面的情况只有AEGD1，B1FGD，AEFB1，共3种，
故四点共面的概率为；
（Ⅱ）根据题意可知，点P为正方形ABCD内的任意以点，
故点P的轨迹面积为4，
∵满足条件的点P在以A1为球心，为半径的球内，
故A1P，即，故AP，
故满足条件的点P的轨迹面积为π，
故所求的概率为．
24．【解答】解：（1）p的全部取值为1，2，3，4，5，即有5个基本事件，
记事件A＝{方程f（x）＝0有实数根}，则，
满足方程f（x）＝0有实数根的p为1，2，3，4．
因此事件A含有4个基本事件，所以，
（2）由恒成立，知，
正数p的所有可能取值构成集合M＝{x∈R|0＜x≤5}，
满足f（x）≥﹣1恒成立的正数p构成集合{x|2≤x≤5}，
记B＝{f（x）≥﹣1恒成立}，．
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精品试卷·第
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