(共24张PPT)
题型1 向量的基本概念
解析
C
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
1．下列量不是向量的是( )
A．力
B．速度
C．质量
D．加速度
质量只有大小，没有方向，不是向量．
题型1 向量的基本概念
解析
D
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
2．下列说法正确的是
( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小．
题型1 向量的基本概念
解析
C
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
3．汽车以120
km/h的速度向西走了2
h，摩托车以45
km/h的速度向东北方向走了2
h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
由向量不能比较大小，可知选C.
题型1 向量的基本概念
解析
C
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
4．如图，在圆O中，向量，
，
是( )
A．有相同起点的向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
由题图可知三向量方向不同，但长度相等．
题型1 向量的基本概念
解析
C
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
5.
下列说法正确的是( )
A．有向线段与表示同一向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．对任一向量a，是一个单位向量
向量与方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当a＝0时，无意义，故A，B，D错误，零向量与任何向量都是平行向量，故C正确．
题型1 向量的基本概念
解析
11
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
6．中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，
表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有________个．
此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图，
以B点为起点作向量，共3个；以C点为起点作向量，共8个．所以共有11个．
题型2 向量的模
解析
C
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
7．下列说法正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a，b不是共线向量
向量不能比较大小，所以A不正确；a＝b需满足两个条件：a，b同向，且|a|＝|b|，所以B不正确；C正确；若a，b是共线向量，则a，b方向相同或相反，D不正确．
题型2 向量的模
解析
D
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
8．(原创)已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝( )
A．1
B.
C．2
D．2
易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°.设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝
，则|
|＝2|
|＝2
.故选D.
题型2 向量的模
解析
C
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
9．下列说法中正确的是( )
A．||与线段BA的长度不相等
B．对任一向量a，|a|>0总是成立的
C．|
|＝|
|
D．若a∥b，且|a|＝1
001，|b|＝1
010，则|a＋b|＝2
011
|
|，|
|分别与线段AB，BA的长度相等，所以A不正确，C正确；|0|＝0，对任一向量a，|a|≥0总成立，所以B不正确；对于D，当a与b方向相反时，|a＋b|＝9，故D不正确．
题型2 向量的模
解析
3π
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
10.
[福建龙岩2019高一月考]
把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点所构成的图形的面积等于________．
这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为
π·22－π·12＝3π.
题型2 向量的模
解析
外
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
11．设点O是△ABC所在平面上一点，若||＝|
|＝|
|，则O是△ABC
的________心．
题型2 向量的模
解析
西北方向5
km
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
12．[辽宁大连2019高一期末]
若A地位于B地正西方向5
km处，C地位于A地正北方向5
km处，则C地相对于B地的位移是_______
_．
根据题意画出图形如图所示，由图可知||＝5
km，且∠ABC＝45°，故C地相对于B地的位移是西北方向5
km.
题型2 向量的模
解
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
13．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有A，B两个定点，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)作出所有的向量；
(2)求|
|的最大值与最小值．
(1)作出所有的向量，如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，|
|取得最小值，为；
②当点C位于点C5或C6时，|
|取得最大值，为.
∴|
|的最大值为，最小值为.
题型2 向量的模
解
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
14．在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O，并求终点的坐标．
(1)|a|＝2，a的方向与x轴正方向的夹角为60°，与y轴正方向的夹角为30°；
(2)|a|＝4，a的方向与x轴正方向的夹角为30°，与y轴正方向的夹角为120°；
(3)|a|＝4，a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°.
如图所示．
题型3 相等向量与共线向量
解析
D
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
15．[山东青岛2019高一期中]若向量a与b不相等，则a与b一定( )
A．不共线
B．长度不相等
C．不可能都是单位向量
D．不可能都是零向量
因为所有的零向量都是相等的向量．故选D.
题型3 相等向量与共线向量
解析
B
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
16．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD交于点O，过点O作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则在以A，B，C，D，M，O，N为起点和终点的向量中，相等向量有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
相等向量有共2对．
题型3 相等向量与共线向量
解析
B
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
17．下列说法正确的个数是( )
①两个有公共终点的向量是平行向量；
②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若a＝b，b＝c，则a＝c.
A．1
B．2
C．3
D．4
有公共终点的向量的方向不一定相同或相反，所以①不正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则不妨设a为零向量，则a与b共线，这与a与b不共线矛盾，故③正确；a＝b，则a，b的长度相等且方向相同；b＝c，则b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，④正确．
题型3 相等向量与共线向量
解析
C
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
18．下列结论中，不正确的是( )
A．若，则∥
B．向量
共线与∥
的意义是相同的
C．若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
D．若，则＝
平行向量又叫共线向量．相等向量一定是平行向量，但长度相等的两个向量，方向却不一定相同，故C错误．
题型3 相等向量与共线向量
解析
③
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
19．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
如图，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴与的大小相等，但方向不同，故|
|＝|
|.
题型3 相等向量与共线向量
解析
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷基础
20．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则|
|＝________．
(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量相等的向量有.(2)因为|
|＝3，
＝2
，所以|
|＝6.
6
易错点1 概念理解错误
解析
C
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷易错
由定义知，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长
度三个要素，故C正确．
易错点1 概念理解错误
解析
C
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷易错
22．下列说法正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反
B．若向量，满足|
|>|
|，且同向，则
C．若a≠b，则a与b可能是共线向量
D．若非零向量共线，则A，B，C，D四点共线
模相等的向量不一定平行，故A错；向量不能比较大小，故B错；向量共线不一定线段共线，故D错．故选C.
易错警示
向量的平行，即共线，易与平面几何中的直线平行混淆，导致错误的理解．
易错点2 忽略零向量
解析
A
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷易错
23．下列叙述中正确的个数是( )
①若a＝b，则3a>2b；
②若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
③若a∥b，b∥c，则a∥c；
④对任一向量a，是一个单位向量．
A．0
B．1
C．2
D．3
向量不能比较大小，①错误；由于零向量与任一向量共线，且零向量的方向是任意的，故②错误；对于③，若b为零向量，a与c可能不是共线向量，故③错误；对于④，当a＝0时，
无意义，故④错误
易错点2 忽略零向量
解析
A
2.1.1+2.1.2+2.1.3
刷易错
24．(原创)给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或
a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；其中正确的命题有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
①忽略了0与0的区别，a＝0
；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等．(共26张PPT)
题型1 向量的加法运算
解析
B
2.2.1+2.2.2
刷基础
1.
[吉林长春2019高一期中]下列三个命题：①若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c；
②的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；③若a＋b＝0且b＝0，则－a＝0.其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
∵a＋b＝0，∴a，b的长度相等且方向相反．又b＋c＝0，∴b，c的长度相等且方向相反，∴a，c的长度相等且方向相同，故
a＝c，故①正确；当时，应有||＝||，即由A到B与由C到D的方向相同，但不一定有点A与点C重合，点B与点D重合，故②错误；若a＋b＝0且b＝0，则a＝0，－a＝0，故③正确．
题型1 向量的加法运算
解析
A
2.2.1+2.2.2
刷基础
2．[陕西渭南尚德中学2018高一期末]向量＝( )
A.
B.
C.
D.
题型1 向量的加法运算
解析
B
2.2.1+2.2.2
刷基础
3．[江西南昌八一中学、洪都中学2019高一期末]已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1.若＋
＝2
，且＝，则△ABC的面积为( )
A.
B.
C．2
D．1
题型1 向量的加法运算
解析
B
2.2.1+2.2.2
刷基础
4．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋
＋
|＝( )
A．1
B．2
C．3
D．2
题型1 向量的加法运算
解析
2
2.2.1+2.2.2
刷基础
5．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|
＋
|＝________.
如图所示，设菱形ABCD的对角线的交点为O.
＋
＝
＋
＝
.
∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．
又∵AB＝2，∴OB＝1.
在Rt△AOB中，|
|＝＝，
∴|
|＝2|
|＝2.
题型2 向量的减法运算
解析
C
2.2.1+2.2.2
刷基础
6．[吉林长春十一中2018高一期末]如图，点O是平行四边形
ABCD
两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是( )
题型2 向量的减法运算
解析
D
2.2.1+2.2.2
刷基础
7．化简下列各式：
其中结果为0的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
题型2 向量的减法运算
解析
①
2.2.1+2.2.2
刷基础
8．[陕西西安2019高一期中]
如图，在正六边形ABCDEF中，与－
＋
相等的向量有________．(填序号)
题型2 向量的减法运算
解
2.2.1+2.2.2
刷基础
9．向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
题型3 向量模的性质
解析
A
2.2.1+2.2.2
刷基础
10．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b反向
C．a＝－b
D．a，b无论什么关系均可
当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b的方向都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a，b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a的方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|.故选A.
题型3 向量模的性质
解析
A
2.2.1+2.2.2
刷基础
11．[河北张家口2019高一期中]给出下列不等式或等式：
①|a|－|b|＜|a＋b|＜|a|＋|b|；
②|a|－|b|＝|a＋b|＝|a|＋|b|；
③|a|－|b|＝|a＋b|＜|a|＋|b|；
④|a|－|b|＜|a＋b|＝|a|＋|b|.
其中，一定不成立的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
①当a与b不共线时成立；②当a＝b＝0，或b＝0，a≠0时成立；③当a与b共线，方向相反，且|a|≥|b|时成立；④当a与b共线，且方向相同时成立．
题型3 向量模的性质
解析
20,4
2.2.1+2.2.2
刷基础
12．[河南郑州2019高一期中]设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．
当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20，当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.当a，b不共线时，||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，即4<|a＋b|<20，所以最大值为20，最小值为4.
解析
B
2.2.1+2.2.2
刷提升
①错误，若a＋b＝0，其方向是任意的；②正确；③错误，A，B，C三点共线时也可满足；④错误，|a＋b|≤|a|＋|b|.
解析
B
2.2.1+2.2.2
刷提升
2．[安徽宿州2019高一期末]在平行四边形ABCD中，设
＝a，
＝b，
＝c，
＝d，下列等式中不正确的是( )
A．a＋b＝c
B．a－b＝d
C．b－a＝d
D．c－a＝b
在平行四边形ABCD中，∵
＝a，
＝b，
＝c，
＝d
，∴
a－b＝
＝－d，故B不正确，故选B.
解析
C
2.2.1+2.2.2
刷提升
3．在平面上有A，B，C三个不同的点，设m＝＋
，n＝
，若m与n的长度恰好相等，则有( )
A．A，B，C三点必在一条直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析
C
2.2.1+2.2.2
刷提升
4．设P是△ABC所在平面内的一点，＋
＝2
，则( )
∵
＋
＝2
，∴由平行四边形法则知，点P为线段AC的中点，
∴
＋
＝0.故选C.
解析
A
2.2.1+2.2.2
刷提升
5．若O是△ABC内的一点，且＋
＋
＝0，则O是△ABC的( )
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心
解析
D
2.2.1+2.2.2
刷提升
6．已知O是平面上一点，＝a，
＝b，
＝c，
＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0
B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0
D．a－b＋c－d＝0
解析
D
2.2.1+2.2.2
刷提升
7.
[上海2019高一期中]在边长为1的正三角形ABC中，|－
|的值为( )
A．1
B．2
C.
D.
解析
2.2.1+2.2.2
刷提升
8.
[江西赣州2019高一期中]如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－
－
＋
＋
＝________.
解析
②
2.2.1+2.2.2
刷提升
9．设P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则①＋
＝
＋
；②
＋
＝
＋
；③
＋
＝
＋
中成立的序号为________．
解析
30°
2.2.1+2.2.2
刷提升
10．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________．
证明
2.2.1+2.2.2
刷提升
11．如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．求证：＋
＋
＝0.
解
2.2.1+2.2.2
刷提升
12．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，||＝8.设＝a，＝b,＝c，求|a－b－c|.
易错点 模的应用错误
解析
4
2.2.1+2.2.2
刷易错
13．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝
－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.
如图所示，设＝a，
＝b，则|
|＝|a－b|.
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则|
|＝|a＋b|.
由于(＋1)2＋(－1)2＝42，
故|
|2＋|
|2＝|
|2，
所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，
从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．
根据矩形的对角线相等得|
|＝|
|＝4，即|a＋b|＝4.
易错点 模的应用错误
解析
2.2.1+2.2.2
刷易错
14．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝________.
易错警示
不能利用向量加减法的几何意义作图，并且不能根据线段长度之间的关系
得到图形的几何性质是造成问题难解、错解的主要原因．(共27张PPT)
题型1 向量数乘的定义与运算法则
解析
C
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
1．[河南南阳2019高一期中]已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a|
B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a|
D．|λa|>0
当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
题型1 向量数乘的定义与运算法则
解析
B
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
2．已知实数m，n和向量a，b，有下列说法：
①m(a－b)＝ma－mb;
②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b;
④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.
其中，正确的说法是( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确；④正确，因为由ma＝na，得(m－n)a＝0，又因为a≠0，所以m－n＝0，即m＝n.
题型1 向量数乘的定义与运算法则
解析
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
3．[河南焦作2019高一期中]若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则
c＝________
.
题型2 向量的数乘表示
解析
B
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
4．[河南郑州2019高一月考]如图所示，已知在△ABC中，D是边AB上的中点，则＝( )
题型2 向量的数乘表示
解析
-
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
5．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝
b.
∵b与a方向相反，∴设a＝λb(λ<0)，∴|a|＝|λ||b|，
∴5＝|λ|×7，∴λ＝±.又λ<0，∴λ＝－
.
题型2 向量的数乘表示
解析
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
6.
[云南昆明2019高一月考]已知O是线段AB外一点，C，D是线段AB的三等分点．如果
＝3e1，
＝3e2，那么＝_______
_.
题型3 向量共线的判定
解析
A
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
7．已知a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知在梯形ABCD中，＝a，
＝b.
A．①②
B．①③
C．②
D．③④
由2a－3b＝－2(a＋2b)得b＝－4a，故①正确；由λa－μb＝0，得λa＝μb，故②正确；若x＝y＝0，xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③错误；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④错误．
题型3 向量共线的判定
解析
C
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
8．[广东珠海2019高一月考]
若＝3e1,＝－5e1，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．等腰梯形
D．不等腰的梯形
因为＝－,所以AB∥CD，且||≠||，而||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．
题型3 向量共线的判定
解析
D
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
9．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0
B．k＝1
C．k＝2
D．k＝
当k＝
时，m＝－e1＋
e2，n＝－2e1＋e2，∴n＝2m，此时m，n共线，故选D.
题型3 向量共线的判定
证明
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
10．证明：若向量
，的终点A，B，C共线，则存在实数λ，μ，且λ＋μ＝1，使得＝λ
＋μ
，反之也成立．
题型4 向量数乘积的应用
解析
B
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
11．[吉林省吉林市2019高一月考]在△ABC中，D是AB边上的一点，若＝2
，
＝，则λ＝( )
A.
B.
C.
D.
题型4 向量数乘积的应用
解析
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
12．已知实数x，y，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.
题型4 向量数乘积的应用
证明
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
13．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且＝＝，设＝a，
＝b.
求证：
＝(b－a)．
题型5 向量共线定理的应用
解析
B
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
14．在△ABC中，点D在边BC的延长线上，且＝3.若＝x
＋(1－x)，－A．线段BC上
B．线段CD上
C．线段AC上
D．线段AD上
题型5 向量共线定理的应用
解析
B
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷基础
15．[吉林省吉林市2019高二期末]在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若＝＋
x
＋y
，且G，M，N三点共线，则x＋y＝( )
A．－
B.
C.
D．－
解析
C
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷提升
1．[安徽六安2019高一月考]已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值为( )
A.
B．－
C．－
D.
∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－
.
解析
B
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷提升
2．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋
，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC
内部
B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上
D．BC边所在的直线上
解析
A
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷提升
3．(原创)设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2
＝2
＝2
，则＋
＋
与( )
A．平行且方向相反
B．平行且方向相同
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
解析
A
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷提升
4．[四川绵阳南山中学2018高一月考]已知AB是⊙O的直径，C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，设＝a，
＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a－b
C.a＋
b
D.a－
b
解析
1
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷提升
5．[山东枣庄2019高一月考]
已知向量a，b不共线，且
c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d同向，则实数λ的值为________．
解析
A,
B,D
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷提升
6．若＝(a＋5b)，
＝－2a＋8b，
＝3(a－b)，则共线的三点是________．
∵
＝
＋
＝a＋5b，∴
＝
，则A，B，D三点共线
解
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷提升
7．(原创)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线交BC于点D.若AB＝4，
且＝
＋λ
(λ∈R)，求|
|.
解
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷提升
8．设O为△ABC内任一点，且满足＋2
＋3
＝0.
(1)若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线；
(2)求△ABC与△AOC的面积之比．
解
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷提升
9．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，且
＝，
＝a，
＝b.
(1)用a，b表示，
，
，
，
；
(2)求证：B，E，F三点共线．
易错点 忽略数乘积中的方向性
解析
C
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷易错
10．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ的值为( )
A．1
B．0
C．－1
D．±1
∵向量a＋λb与b＋λa的方向相反，∴(a＋λb)∥(b＋λa)．由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，即(1－mλ)a＝(m－λ)b.∵a与b不共线，∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ.∴1－λ2＝0，λ＝±1.当λ＝1时，向量a＋b与b＋a是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去．∴λ＝－1.
易错点 忽略数乘积中的方向性
解析
B
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷易错
11．已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝
＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
易错点 忽略数乘积中的方向性
解析
2.2.3
向量数乘运算及其几何意义
刷易错
12．点C在线段AB上，且＝，则＝________
，
＝________
.
易错警示
解决有关向量数乘的问题时，注意参数λ的正负与向量方向的对应性．(共32张PPT)
题型1 平面向量基本定理的理解
解析
C
2.3.1
平面向量基本定理
刷基础
1．如图所示，向量a－b＝( )
A．－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
由题图可得a＝－3e2，b＝－e1，∴a－b＝e1－3e2.
题型1 平面向量基本定理的理解
解析
B
2.3.1
平面向量基本定理
刷基础
2．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确，故选B.
题型1 平面向量基本定理的理解
解析
B
2.3.1
平面向量基本定理
刷基础
3．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ，μ有无数多对；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ，μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①②
B．②③
C．③④
D．②
由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．故选B.
题型1 平面向量基本定理的理解
解析
B
2.3.1
平面向量基本定理
刷基础
4．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b
，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足( )
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
取第Ⅲ部分内一点画图易得a>0，b<0.
题型2 向量的夹角和向量相等
解析
B
2.3.1
平面向量基本定理
刷基础
5．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下面关于向量a，b的判断正确的是( )
A．a与b一定共线
B．a与b一定不共线
C．a与b垂直
D．a与b中至少有一个为0
由平面向量基本定理可知，当a，b不共线时，k1＝k2＝0.
题型2 向量的夹角和向量相等
解析
120°
2.3.1
平面向量基本定理
刷基础
6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，||＝，|
|＝1，则与的夹角θ＝________.
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝
，CB＝1，所以
tan∠ACB＝＝
，所以∠ACB＝60°，即与的夹角为60°，所以与的夹角θ为120°.
题型2 向量的夹角和向量相等
解析
2.3.1
平面向量基本定理
刷基础
7．[山东泰安2019高一期中]在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，＝y，
＝x，其中x，y∈R，且均不为0.若∥
，则________.
题型2 向量的夹角和向量相等
解析
3
2.3.1
平面向量基本定理
刷基础
8．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________.
题型3 平面向量的分解
解析
A
2.3.1
平面向量基本定理
刷基础
9．在△ABC中，＝c，
＝b.若点D满足＝2
，则＝( )
A.b＋
c
B.
c－
b
C
.b－
c
D.
b＋
c
题型3 平面向量的分解
解析
e1＋e2
2.3.1
平面向量基本定理
刷基础
10．[广西贺州2019高一期末]在平行四边形ABCD中，＝e1，
＝e2，
＝
，
＝
，则＝__________．(用e1，e2表示)
题型3 平面向量的分解
解析
a-2b
2.3.1
平面向量基本定理
刷基础
11．[山东泰安2019高一期中]已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，用向量a和b表示c＝_______________．
题型3 平面向量的分解
解析
2.3.1
平面向量基本定理
刷基础
12．如图所示，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ
＋μ
，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
易错点 不擅于利用方程思想分解向量
解析
A
2.3.1
平面向量基本定理
刷易错
13．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ
＋μ
，则λ＋μ的值为( )
A.
B.
C.
D．1
易错警示
不能设出向量的分解式，且不能利用三点共线的性质，导致无解或错解．
易错点 不擅于利用方程思想分解向量
解析
-
2.3.1
平面向量基本定理
刷易错
14．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p，p＝________.
易错警示
对于向量的分解问题，求解的一个重要方法是待定系数法，然后利用向量相等求解参数，若不能求设，则难以求解．
解析
C
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
1．[山东临沂2019高一期中]如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是( )
A．a＋b与a－b
B．a＋2b与2a＋b
C．a＋b与－a－b
D．a与－b
由题意知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．
解析
C
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
2.
[山东潍坊2019高一期中]在△ABC中，点D在BC边上，且＝2
，设＝a，
＝b，则可用基底a，b表示为( )
A.(a＋b)
B.a＋
b
C.
a＋
b
D.
(a＋b)
解析
B
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
3．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，
＝b，|a|
＝1，
|b|＝2，
则＝( )
解析
D
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
4．[上海杨浦区2019高一期中]若＝a，
＝b，
＝λ
(λ≠－1)，则＝( )
解析
B
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
5．如图所示，过△ABC的重心G作一直线分别交AB，AC于D，E两点．若＝x
，
＝
y
(xy≠0)，则＋＝( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析
C
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
6．[山东烟台2019高一期中]如图所示，在四边形ABCD中，＝
，E为BC的中点，且
＝x
＋y
，则3x－2y＝( )
A.
B.
C．1
D．2
解析
90°
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
7．[福建福州2019高一期中]已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋
)，则与的夹角为________．
∵
＝(＋
)
，∴O为BC的中点．则BC是圆O的直径，∴∠BAC＝90°.故与的夹角为90°
解析
①②③
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
8．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列结论：
①＝－a－b;
②
＝a＋
b；
③
＝－
a＋
b;
④
＝
a.
其中所有正确结论的序号为________．
解析
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
9．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝，BE＝BC.若＝λ1λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.
解析
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
10．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，且a，b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.
解析
(－∞，0)
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
11．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x
＋y
，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是________．
(，)
解
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
12．[福建泉州2019高一期中]如图所示，在△BOC中，C是以A为中点的点B的对称点，
＝2，DC和OA交于点E，设＝a，
＝b.
(1)用a和b表示向量；
(2)若
＝λ，求实数λ的值．
解
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
13．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，
＝e2，选择基底{e1，e2}，试写出下列向量在此基底下的分解式：
，
，
.
?
证明
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
14．如图所示，在平行四边形ABCD中，＝b，
＝a，M为AB的中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M，N，C三点共线．
解
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
15.在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且＝2，AM交BN于P点，求AP与AM的比值．
解
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
16．[福建泉州南安2019高一期中]如图所示，在△ABO中，＝
，
＝
，AD与BC相交于点M.
设＝a，
＝b.
(1)试用向量a，b表示；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，
设＝λ
，
＝μ
，求证：＋＝7.
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
解
2.3.1
平面向量基本定理
刷提升
17．已知△ABC内一点P满足＝λ
＋μ
，若△PAB的面积与△ABC的面积之比为
1∶3，△PAC的面积与△ABC的面积之比为1∶4，求实数λ，μ的值．(共15张PPT)
题型1 平面向量的正交分解及坐标表示
解析
C
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷基础
1．给出下列几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
题型1 平面向量的正交分解及坐标表示
解析
C
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷基础
2．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，那么可以表示为( )
A．2i＋3j
B．4i＋2j
C．2i－j
D．－2i＋j
记O为坐标原点，则＝2i＋3j，
＝4i＋2j，所以＝
－
＝2i－j.
题型2 平面向量的坐标运算
解析
D
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷基础
3．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7，6)
B．(7，6)
C．(6，7)
D．(7，－6)
设D(x，y)，由＝，得(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，
∴D(7，－6)．
题型2 平面向量的坐标运算
解析
B
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷基础
4．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线．若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝( )
A．(－2，－4)
B．(－3，－5)
C．(3，5)
D．(2，4)
∵＝
＋
，∴
＝
－
＝(－1，－1)，∴
＝
－
＝(－3，－5)，故选B.
题型2 平面向量的坐标运算
解析
A
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷基础
5．[四川眉山一中2019高一期中]已知A(7，1)，B(1，4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a的值为( )
A．2
B．1
C.
D.
题型2 平面向量的坐标运算
解析
C
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷基础
6．[上海2018模拟]在△ABC中，已知A(2，3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且||＝2||，那么点C的坐标为( )
A．(－4，2)
B．(－4，－2)
C．(4，－2)
D．(4，2)
题型2 平面向量的坐标运算
解析
-1
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷基础
7．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x＝________.
题型2 平面向量的坐标运算
解析
(1,-1)
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷基础
8．若a＋b＝(－3，－4)，a－b＝(5，2)，则向量a＝________，向量b＝________.
(－4，－3)
题型2 平面向量的坐标运算
解析
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷基础
题型3 平面向量共线的坐标表示
解析
A
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷基础
10.
已知向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝( )
A．(－2，－1)
B．(2，1)
C．(3，－1)
D．(－3，1)
∵a∥b，∴x＝－4，∴a＋b＝(2，1)＋(－4，－2)＝(－2，－1)，故选A.
题型3 平面向量共线的坐标表示
解析
B
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷基础
11．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )
A.
B.
C．1
D．2
由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－2×3＝0，解得λ＝.
题型3 平面向量共线的坐标表示
解析
10
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷基础
12．[河北唐山2018二模]已知A，B，C三点共线，＝－，点A，B的纵坐标分别为2，5，则点C的纵坐标为________．
设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，
＝－，又A，B的纵坐标分别为2，5，
∴2－5＝－
(y－2)，∴y＝10.
易错点 转换向量关系失误
解析
D
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷易错
13．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4，8)
B．(8，4)
C．(－4，－8)
D．(－4，8)
∵a＝(1，－2)＝－(－4，8)，|b|＝4|a|，∴b可能是(－4，8)．
易错点 转换向量关系失误
解析
(
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷易错
14．平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至E点，使|
|＝|
|，则点E的坐标为________．
易错点 转换向量关系失误
解析
（0）或（-5,8）
2.3.2+2.3.3+2.3.4
刷易错
15．已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为________．
易错警示
在依据模的关系转换为向量之间的关系时，均需要从方向角度加以分析，若不能确定则需分类讨论．(共19张PPT)
题型1 向量的数量积
解析
C
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①
0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1
B．2
C．3
D．4
①②③正确，④⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|cos
θ)2＝a2·b2cos2
θ≠a2·b2.
题型1 向量的数量积
解析
D
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
2．[福建泉州2018高一期末]若|a|＝1，|b|＝2，则|a·b|的模不可能是( )
A．0
B.
C．2
D．3
由向量内积性质|a·b|≤|a||b|可知，D选项错误．
题型1 向量的数量积
解析
-6
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
3.
已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
由题意知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e12－2e1·e2－8e22＝3－2×
－8＝－6.
题型2 向量的投影
解析
D
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
4．[广东清远二中2019高一月考]若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影为( )
A．－3
B．－2
C．2
D．－1
a在b方向上的投影是|a|cos
θ＝2×cos
120°＝－1，故选D.
题型2 向量的投影
解析
4
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
5．已知a·b＝16，若a在b方向上的投影为4，则|b|＝________.
设a与b的夹角为θ，∵a·b＝16，∴|a||b|cosθ＝16.
又∵a在b方向上的投影为4，∴|a|cosθ＝4，∴|b|＝4.
题型2 向量的投影
解析
4
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
6．已知e为一个单位向量，a与e之间的夹角是120°.若a在e方向上的投影为－2，则|a|＝________.
∵|a|·cos
120°＝－2，∴|a|·(-＝－2，∴|a|＝4.
归纳总结
向量b在a上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于a与b的夹角θ，注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分．
题型3 求向量的夹角
解析
A
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
7．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
题型3 求向量的夹角
解析
[.
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
8．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．
(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos〈a，b〉－2×16＝
－14－3×3×4cos〈a，b〉≥4，
∴cos
〈a，b〉≤－，∴θ＝〈a，b〉∈[.
题型3 求向量的夹角
解析
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
9．[河南新乡一中2018高一月考]已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)·(a－b)＝－2，得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cos
θ－2×4＝－2，解得cosθ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.
题型4 求向量的模
解析
C
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
10．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝( )
A．1
B.
C．2
D.
或2
题型4 求向量的模
解析
A
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
11．[江苏扬州一中2018高一月考]已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为( )
A．15
B.
C．14
D．16
题型4 求向量的模
解析
2
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
12.
已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝________.
由已知得a·b＝|a||b|cos
120°＝4×2×cos120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以|a＋b|＝2.
题型5 向量垂直
解析
D
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
13．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
∵a∥b，∴b＝λa，λ∈R
.∴c·(a＋2b)＝c·(a＋2λa)＝
c·a(1＋2λ)．∵a⊥c，∴a·c＝0.∴c·(a＋2b)＝0.
题型5 向量垂直
解析
C
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
14．已知|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的值为( )
A.
B.
C.
D.
由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，3m×32＋
(5m－3)×3×2cos
60°－5×22＝0，解得m＝
.
题型5 向量垂直
解析
B
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷基础
15．若向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )
A．2
B.
C．1
D.
易错点1 确定向量的夹角错误
解析
A
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷易错
16．在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·
>0，则点P与圆C的位置关系是( )
A．点P在圆C外部
B．点P在圆C上
C．点P在圆C内部
D．不确定
在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·
>0
，所以∠APB为锐角，所以点P在圆C外部．
易错警示
在求解时，常因认为“
的夹角与∠APB互补”而致误．
易错点1 确定向量的夹角错误
解析
A
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷易错
易错警示
17．在边长为1的等边三角形ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( )
A．－
B．0
C.
D．3
a·b＝
·
＝－
·
＝－|
||
|cos
60°＝－.
同理b·c＝－
，c·a＝－
，∴a·b＋b·c＋c·a＝－
.
在求解时，常因认为“
中两两的夹角为60°”而致误，所以求解与应用向量的夹角有关的问题首先需要使向量“共起点”.
易错点2 向量的夹角应用错误
解析
（-）（1，+
）
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷易错
18．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°.若a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________．
易错警示
在求解时，常因忽略“a＋λb与λa＋b共线”的情形致误，出现错误的原因是认为a·b＞0与〈a，b〉为锐角等价．
易错点2 向量的夹角应用错误
解析
(-7,
)∪(,
.
2.4.1
平面向量数量积的物理背景及其含义
刷易错
易错警示
19．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°.若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得<0，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.整理，得2te12＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22<0.(
)∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°，∴e1·e2＝2×1×cos
60°＝1.∴(
)式化简，得2t2＋15t＋7<0.解得－7)∪(,
.
在求解时，常因忽略“2te1＋7e2与e1＋te2共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为a·b<0与〈a，b〉为钝角等价．(共38张PPT)
题型1 向量的数量积公式的应用
解析
C
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
1．[河北张家口2019高一期中]设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．12
B．0
C．－3
D．－11
∵a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，∴a＋2b＝(－5，6)，
∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.
题型1 向量的数量积公式的应用
解析
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
2．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为________．
由已知得＝(2，1)，
＝(5，5)，因此在方向上的投影为
＝＝.
题型1 向量的数量积公式的应用
解析
-8
3．已知向量＝(1，7)，
＝(5，1)(O为坐标原点)，设M是直线y＝x上的一点，那么·
的最小值是________．
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型2 求向量的夹角
解析
C
4．已知向量a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值为( )
A.
B．－
C.
D．－
∵a＝(4，3)，∴2a＝(8，6)．又∵2a＋b＝(3，18)，∴b＝(－5，12)，∴a·b＝－20＋36＝16.又∵|a|＝5，|b|＝13，∴cos〈a，b〉＝＝
，故选C.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型2 求向量的夹角
解析
A
5．若a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影为( )
A.
B.
C.
D.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型2 求向量的夹角
解析
120°
6．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角的大小为________．
设a与c的夹角为θ，由a＋b＝(－1，－2)＝－a，|a|＝，得
cosθ=＝＝＝－.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型3 求向量的模
解析
B
7．以下选项中，一定是单位向量的有( )
①a＝(cos
θ，－sin
θ)；②b＝(，)；
③c＝(2x，2－x)；④d＝(1－x，x)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型3 求向量的模
解析
D
8．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)．若c＝a－(a·b)b，则|c|＝( )
A．4
B．2
C．8
D．8
因为a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝
＝8.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型3 求向量的模
解析
B
9．[辽宁鞍山2019高一期中]已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A.
B．2
C．4
D．12
由a＝(2，0)，得|a|＝2.又|b|＝1，所以a·b＝2×1×cos
60°＝1，故|a＋2b|＝＝2
.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型3 求向量的模
解析
-
10．已知a＝(2，1)与b＝(1，2)，要使|a＋tb|最小，则实数t的值为________．
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型3 求向量的模
解析
c=(2,4)或c=(-2,-4)
11．[上海宝安区2018高一期中]已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)，若|c|＝2，且c∥a，则c的坐标为________．
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型4 向量垂直的应用
解析
C
12．在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )
A.
B．2
C．5
D．10
·
＝(1，2)·(－4，2)＝0，故⊥
.故四边形ABCD的对角线互相垂直，面积S＝|
|·|
|＝
×
×2
＝5.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型4 向量垂直的应用
解析
C
13．[山东德州2018高一期末]
已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为( )
A．－
B．0
C．3
D.
∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×
2＋(－6)＝0，解得k＝3.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型4 向量垂直的应用
解析
A
14．[福建龙岗2018高一期末]如图，在等腰直角三角形AOB中，设＝a，
＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过点C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，
＝p，则p·(b－a)＝( )
因为在等腰直角三角形AOB中，
＝a，
＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.由题意知，可设＝－·(b－a)＋λ·
(b＋a)，λ∈R，所以p·(b－a)＝－
(b－a)·(b－a)＋(b＋a)·(b－a)＝－
(b－a)2＋
(|b|2－|a|2)＝－
(|a|2＋|b|2－2a·b)＝－
(1＋1－0)＝－
.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型4 向量垂直的应用
解析
(-3,2)
15．已知点A(2，3)，若把向量绕原点O按逆时针方向旋转90°得到向量，则点B的坐标为________．
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
题型4 向量垂直的应用
解
16．[福建福州2018高一期中]已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2)．若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，|a|＝，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－
，∴cos
θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷基础
解析
C
1．[湖南岳阳一中2019高一月考]若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
由c⊥a，得a·c＝0.又c＝a＋b，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝
＝－，所以θ＝120°，即向量a与b的夹角为120°.故选C.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
B
2．若向量＝(3，－1)，n＝(2，1)，且n·
＝7，则n·
＝( )
A．－2
B．2
C．－2或2
D．0
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
B
3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则
|a＋b|＝( )
A.
B.
C．2
D．10
由a⊥c，得2x－4＝0，则x＝2.由b∥c，得－4＝2y，则y＝－2，故
|a＋b|＝
＝
.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
C
4．若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角为( )
A．－
B.
C.
D.
∵a＝(1，2)，b＝(1，－1)，∴2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3)，则
cos〈2a＋b，a－b〉＝＝，∴〈2a＋b，a－b〉＝.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
D
5．已知向量a＝(1，0)，b＝(cos
θ，sin
θ)，θ∈[-，
],则|a＋b|的取值范围是( )
A．[0，]
B．[1，
]
C．[1，2]
D．[，2]
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
C
以点B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，∴＝3，∴
＝－3
.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
C
7．已知向量a＝(1，1)，b＝(1，m)，其中m为实数，O为坐标原点，当两向量夹角在(0,变动时，m的取值范围是( )
设向量a，b的起点均为O，终点分别为A，B.已知＝(1，1)，即A(1，1)，如图所示，当点B位于B1或B2时，a与b的夹角为，即∠AOB1＝∠AOB2＝
，此时，∠B1Ox＝
＝
，∠B2Ox＝
＋
＝
，故B1(1，)
B2(1，)．又a与b的夹角不为零，故m≠1，由图易知m的取值范围是()
∪(1，
)．
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
C
8．[四川攀枝花十二中2018高一调研]在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足＝2
，则
·(
＋
)＝( )
A．－
B.
C．－
D.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
A
9．设A(a，1)，B(2，b)，C(4，5)为坐标平面上的三点，O为坐标原点．若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3
B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14
D．5a＋4b＝14
由图知，要使与在方向上的投影相同，只需使⊥
，即(2－a，b－1)·(4，5)＝0，得4a－5b－3＝0，即4a－5b＝3.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
8
10．已知a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)．若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．
因为a∥b，所以x＝4，所以b＝(4，－2)，所以a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．因为(a＋b)⊥(b－c)，所以(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，所以y＝－4.所以向量＝(－8，8)，|
|＝8.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
4
11.
如图所示，△ABC中，∠C＝90°且AC＝BC＝4，点M满足＝3
，则·
＝________.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.则|a＋b|＝________.
∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝＝＝.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
②
13．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；
②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝－3；
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题为________．(写出所有真命题的序号)
①a·b＝a·c时，a·(b－c)＝0，∴a⊥(b－c)，不一定有b＝c，故①错误．②a＝(1，k)，b＝(－2，6)，由a∥b知，1×6－(－2k)＝0，∴k＝－3，故②正确．③非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则三向量a，b，a－b构成正三角形，如图．由向量加法的平行四边形法则知，a＋b平分∠BAC，∴a＋b与a的夹角为30°，故③错误．
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解析
(-
)
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)．若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，则＝________.
如图，已知A(0，1)，B(－3，4)，设E(0，5)，D(－3，9)，
∴四边形OBDE为菱形，∴∠AOB的平分线是菱形OBDE的对角线OD.
设C(x1，y1)，∵|
|＝2，|
|＝3，
∴
＝
.
∴
＝(x1，y1)＝
×(－3，9)＝(-
).
解
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
15．已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
(1)设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，则a·b＝λ＋4λ＝10，
∴λ＝2，∴a＝(2，4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，
∴a(b·c)＝0·a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
解
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
16．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b和c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．
?
解
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
17.
已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角θ.
∵a＋3b与7a－5b垂直，∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0.①
又∵a－4b与7a－2b垂直，∴(a－4b)·(7a－2b)＝0，即7a2－30a·b＋8b2＝0.②
①－②整理得2a·b＝b2.③
将③代入①，得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝＝＝.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
解
18．如图，已知A(1，1)，B(5，4)，C(2，5)，设向量a是与向量垂直的单位向量．
(1)求单位向量a的坐标；
(2)求向量在向量a上的投影；
(3)求△ABC的面积S△ABC.
(1)设a＝(x，y)，依题意有＝(4，3)，|
|＝5，|a|＝1，且a⊥
，即a·
＝0，所以解得或
所以a＝(-
,
)或a＝(
,
-).
(2)设向量与单位向量a的夹角为θ，
在a上的投影为h，则
h＝|
|cos
θ＝＝
·a.又因为＝(1，4)，所以
当a＝
(-
,
)时，h＝1×
(-
)
＋4×
＝；
当a＝
(
,
-)时，h＝1×
＋4×(-)
＝－
.
(3)S△ABC＝|
||h|＝
×5×
＝
.
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
解
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷提升
19．在四边形ABCD中，已知∥，＝(6，1)，
＝(x，y)，
＝(－2，－3)．
(1)写出用x表示y的关系式；
(2)若⊥
，求实数x，y的值．
易错点 应用向量夹角错误
解析
(-
,0)∪(0，＋∞)
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷易错
20．已知a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________．
∵a与a＋λb均为非零向量，且夹角为锐角，∴a·(a＋λb)＞0，即(1，2)·(1＋λ，2＋λ)＞0，∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－.
当a与
a＋λb共线时，存在实数m，使a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝m(1，2)，∴∴λ＝0，即
当λ＝0时，a与a＋λb共线．
综上可知，实数λ的取值范围为(-
,0)∪(0，＋∞)．
易错警示
此处在求解时，常因忽略“a与a＋λb共线”的情形致误，出现错误的原因是误认为a·b＞0与〈a，b〉为锐角等价．a·b＞0并不等价于a，b的夹角为锐角，a·b＞0等价于a与b夹角为锐角或0°.
易错点 应用向量夹角错误
解析
(-
,2)∪(2，＋∞)
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷易错
易错警示
21．已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为________．
依据两向量的夹角θ求向量坐标中的参数时，要注意θ＝0°或180°的情形．其中cos
0°＝1＞0，cos
180°＝－1＜0.
易错点 应用向量夹角错误
解析
（-2）
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
刷易错
易错警示
22．设向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是________．
∵a与b的夹角大于90°，∴a·b<0，∴(m－2)·(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，即3m2－2m－8<0，∴－注意此处“a与b的夹角大于90°”，可以为180°.(共12张PPT)
题型1 平面几何中的向量方法
解析
D
2.5.1+2.5.2
刷基础
1．[河南新乡延津高中2018高二月考]已知点A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C三点共线
B.⊥
C．A，B，C是锐角三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
∵＝(2，0)，
＝(－2，－4)，∴
·
＝－4<0，∴∠C
是钝角．
故选D.
题型1 平面几何中的向量方法
解析
D
2.5.1+2.5.2
刷基础
2．[江西丰城中学2018高二月考]在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2
B．4
C．5
D．10
题型1 平面几何中的向量方法
解析
1∶2
2.5.1+2.5.2
刷基础
3．(原创)设O是△ABC内部一点，且＋
＝－2
，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
设D为AC的中点，如图所示，连接OD，则＋
＝2
.又＋
＝－2
，
所以＝－
，即O为线段BD的中点，即△AOB与△AOC的面积之比为1∶2.
题型1 平面几何中的向量方法
解
2.5.1+2.5.2
刷基础
4．[湖北黄石三中2018高二期中]如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝
AC＝3，点D在线段BC上，且
BD＝DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
(1)设＝a，
＝b，则＝
＋
＝
＋
＝
＋
(－
)＝
＋
＝
a＋
b.
∴|
|2＝2＝＝a2＋2×
a·b＋
b2＝
×9＋2×
×3×3×cos
120°＋
×9＝3.∴AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为与的夹角．∴cos
θ＝＝＝＝＝0.∴θ＝90°.即∠DAC＝90°.
题型2 向量在物理中的应用举例
解析
B
2.5.1+2.5.2
刷基础
5．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )
A．v1－v2
B．v1＋v2
C．|v1|－|v2|
D.
由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
题型2 向量在物理中的应用举例
解析
D
2.5.1+2.5.2
刷基础
6．[河北石家庄一中2018期中考试]一条河的宽度为d，一只船从A处出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，则船行到B处时，行驶速度的大小为( )
如图，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，可得船行驶的速度大小为
.
题型2 向量在物理中的应用举例
解析
C
2.5.1+2.5.2
刷基础
7．如图，在重600
N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )
A．300
N，300
N
B．150
N，150
N
C．300
N，300
N
D．300
N，300
N
作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，如图．
在平行四边形OACB中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，
||＝|
|cos
30°＝300
N，
|
|＝|
|sin
30°＝300
N，|
|＝|
|＝300
N.
题型2 向量在物理中的应用举例
解析
与水速成120°角
2.5.1+2.5.2
刷基础
8．[四川资阳中学2018高一期中]一条两岸平行的河流，水速为1
m/s，小船的速度为2
m/s，为使所走路程最短，小船应朝
的方向行驶．
如图，为使小船所走路程最短，v水＋v船应与岸垂直．又|v水|＝||＝1，|v船|＝|
|＝2，∠ADC＝90°，∴∠CAD＝30°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶．
题型2 向量在物理中的应用举例
解析
4
2.5.1+2.5.2
刷基础
9．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________千米/时．
用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度，则v0＋v1表示船实际航行速度．∵|v0|＝4，|v1|＝8，∴|v0＋v1|＝＝4.
题型2 向量在物理中的应用举例
解
2.5.1+2.5.2
刷基础
10．(原创)如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500
m，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v1|＝10
km/h，水流速度的大小为|v2|＝4
km/h，设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)．
(1)当cos
θ多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
(1)船垂直到达对岸，即v＝v1＋v2且与v2垂直，
即(v1＋v2)·v2＝0.
所以v1·v2＋v22＝0，即|v1||v2|cosθ＋|v2|2＝0.
所以40cosθ＋16＝0，解得cos
θ＝－.
(2)设船航行到对岸所需的时间为t，
则t＝＝＝.
故当θ＝90°时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，由(1)知sinθ＝，
所需时间t=
＝＝，并不是最短．
易错点 不能正确结合物理知识利用向量
解析
10
J
2.5.1+2.5.2
刷易错
11．一个重20
N的物体从倾斜角为30°，斜面长1
m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．
∵物体的重力为20
N，物体在重力方向上的位移大小是1×sin
30°＝m，
∴重力做的功为×20＝10
J.
易错点 不能正确结合物理知识利用向量
解
2.5.1+2.5.2
刷易错
12．已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50
N，一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20
m．力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(取重力加速度大小为10
m/s2)
?
如图所示，设木块的位移为s，则
F·s＝|F||s|cos
30°＝50×20×＝500
J.
将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2，则|f1|＝
|F|sin
30°＝50×＝25
N．
所以|f|＝μ(|G|－|f1|)＝0.02×(8×10－25)＝1.1
N.
因此f·s＝|f|·|s|cos
180°＝1.1×20×(－1)＝－22
J.
故力F和摩擦力f所做的功分别为500
J和－22
J.
易错警示
结合物理知识利用向量，注意力的正交分解知识的应用，确定所求的做功的力
的大小．
