1.3 第1课时 线段的垂直平分线-2020-2021学年北师大版八年级数学下册课件（19张）

1.3.1 线段的垂直平分线
一、复习旧知，引入新课
线段的垂直平分线的概念
经过线段的中点，且垂直于这条线段的直线
什么是互逆定理
一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 如果一 个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定 理的逆定理.
二、情境导入
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分
线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明
这一结论吗?
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个
端点的距离相等
三、新知新授
验证结论
已知：如图，直线MN⊥AB。垂足为C，且AC=BC，P是直线MN上任意一点。
求证：PA=PB
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°，
∵AC=BC，PC=PC。
∴△PCA≌△PCB（SAS）
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
思考：当点P与点C重合时，上面结论成立吗？
如果点P与点C重合，那么结论显然成立
新知归纳
线段的垂直平分线的性质定理
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
符号语言
∵MN⊥AB，AC=BC
∴PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）
想一想
你能写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题？它是不是真命题？如果是，你能证明？
逆命题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
验证结论
已知：如图，点P是线段AB外一点，连接PA、PB，且PA=PB。
求证：点P在线段AB的垂直平分线上。
证明：过P作直线MN⊥AB于点C，
则∠PCA=∠PCB=90°，
∵PA=PB，PC=PC。
∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）
∴AC=BC（全等三角形的对应边相等）
∴MN是线段AB的垂直平分线
∴点P在线段AB的垂直平分线上
M
N
C
新知归纳
线段的垂直平分线的判定定理
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
符号语言
∵PA=PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上。
讲授新课
例1：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
你还有其他证明方法吗？
利用三角形的全等证明
讲授新课
证明：延长AO交BC于点D，
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，
∴△ABO≌△ACO（SSS）.
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．
∵OB＝OC ，OD＝OD ，
∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.
∴BD＝CD.
∴直线AO垂直平分线段BC.
问：你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗?
逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗?如果是,请你证明它.
已知:如图,PA=PB.求证:点P在AB的垂直平分线上.
A
B
P
方法一：
过点P作PC⊥AB,垂足为C
∵PC⊥AB
∴△APC 和△BPC 都是Rt△ ∵PC=PC,PA=PB
∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL)
∴AC=BC(全等三角形的对应边相等)
∴P在AB的垂直平分线上


A
C
B
P
方法二
把线段AB的中点记为C,连接PC
∵C为AB的中点
∴AC=BC
∵PA=PB,PC=PC
∴△APC≌△BPC(SSS)
∴∠PCA=∠PCB=90° ∴PC⊥AB
即P在AB的垂直平分线上
A
C
B
P
.
A
B
C
P
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
几何语言描述：
如图,
∵PA=PB(已知),
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
A
B
P
四、 巩固运用、深化拓展
1． 若△ABC的边AB的垂直平分线经过点C，则有（ ）A．AB=AC B．AB=BC C．AC=BC D．∠B=∠C
2.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是（　　　）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
3. 如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点,
求证：PB=PC
P
B
D
C
A
证明：∵AB=AC
∴A在线段BC的垂直平分线上
∵BD=CD
∴ D在线段BC的垂直平分线上
∴ AD是线段BC的垂直平分线
∵P是AD上一点
∴PB=PC
4、如图，在△ABC中，已知AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.
五、课堂小结
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线的判定定理
线段的垂直平分线的性质定理
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。