湘教版（2012）初中数学九年级下册 1.2.4 二次函数的图象与性质y＝a(x－h)2＋k的图象与性质 教案

1．2　二次函数的图象与性质
y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
【教学目标】
知识与技能
1．会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它与y＝ax2的关系，理解a，k对二次函数图象的影响．
2．能正确说出y＝a(x－h)2＋k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．会用描点法画二次函数及y＝a(x－h)2＋k的图象．
过程与方法
通过研究y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的位置关系，培养学生观察、分析、总结的能力．
情感态度价值观
让学生体会与人合作，与人交流思维的过程与结果．
【教学重难点】
教学重点：探索二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质以及画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
教学难点：理解y＝a(x－h)2与y＝a(x－h)2＋k的图象之间的关系．
【导学过程】
【知识回顾】
二次函数y＝ax2的图象和特征：
1．名称：__抛物线__；
2．顶点坐标：__(0，0)__；
3．对称轴：__y轴__；
4．当a>0时，抛物线的开口向__上__，顶点是抛物线上的最__低__点，图象在x轴的__上方__(除顶点外)；当a<0时，抛物线的开口向__下__，顶点是抛物线上的最__高__点，图象在x轴的__下方__(除顶点外)．
【情景导入】
1．设计一个小船平移的多媒体动画进行演示．
引导学生回顾：什么叫平移？平移由那些要素决定？平移有哪些性质？
2．提问：抛物线y＝ax2(a＞0)是否也可以这样平移？
将抛物线y＝ax2(a＞0)进行多媒体动画演示，沿x轴左、右平移，或沿着y轴上、下平移．让学生观察有哪些改变了，哪些没有改变．
3．引入：将抛物线y＝ax2(a＞0)平移后，形状和开口方向没有改变，但位置发生了变化，那么平移后的抛物线所对应的二次函数表达式还会是y＝ax2吗？如果不是，那么表达式会发生什么变化呢？
【新知探究】
探究一、
在同一坐标系中画出函数图象y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x－2)2的图象．
(1)请比较这三个函数图象有什么共同特征？
(2)顶点和对称轴有什么关系？
(3)图象之间的位置能否通过适当的变换得到？
(4)由此，你发现了什么？
探究二、
探究二次函数y＝ax2和y＝a(x－h)2图象之间的关系
1．结合学生所画图象，引导学生观察y＝(x＋2)2与y＝x2的图象位置关系，直观得出y＝x2的图象y＝(x＋2)2的图象．
教师可以采取以下措施：
①借助几何画板演示几个对应点的位置关系，如：
(0，0)(－2，0)
(2，2)(0，2)；
(－2，2)(－4，2)
②也可以把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程．
2．用同样的方法得出y＝x2的图象y＝(x－2)2的图象．
3．请你总结二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质．
y＝ax2(a≠0)的图象y＝a(x－h)2的图象．
函数y＝a(x－h)2的图象的顶点坐标是(h，0)，对称轴是直线x＝h.
4．做一做
(1)
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
y＝2(x＋3)2
向上
x＝－3
(－3，0)
y＝－3(x－1)2
向下
x＝1
(1，0)
y＝－4(x－3)2
向下
x＝3
(3，0)
　　(2)填空：
①由抛物线y＝2x2向__左__平移__1__个单位可得到y＝2(x＋1)2；
②函数y＝－5(x－4)2的图象可以由抛物线__y＝－5x2__向__右__平移4个单位而得到的．
3．对于二次函数y＝－(x－4)2，请回答下列问题：
①把函数y＝－x2的图象作怎样的平移变换，就能得到函数y＝－(x－4)2的图象？
②说出函数y＝－(x－4)2的图象的顶点坐标和对称轴．
第3题的解答作如下启发：这里的h是什么数？大于零还是小于零？应当把y＝－x2的图象向左平移还是向右平移？在此同时用平移的方法画出函数y＝－(x－4)2的大致图象(事先画好函数y＝－x2的图象)，借助图象请学生回答问题．
探究三、
探究二次函数y＝a(x－h)2＋k和y＝ax2图象之间的关系
1．在平面直角坐标系中画出二次函数y＝(x＋2)2＋3的图象．
首先引导学生观察比较y＝(x＋2)2与y＝(x＋2)2＋3的图象关系，直观得出：y＝(x＋2)2的图象y＝(x＋2)2＋3的图象．
再引导学生刚才得到的y＝x2的图象与y＝(x＋2)2的图象之间的位置关系，由此得出：只要把抛物线y＝x2先向左平移2个单位，在向上平移3个单位，就可得到函数y＝(x＋2)2＋3的图象．
2．做一做，请填写下表：
函数表达式
图象的对称轴
图象的顶点坐标
y＝x2
x＝0
(0，0)
y＝(x＋2)2
x＝－2
(－2，0)
y＝(x＋2)2＋3
x＝－2
(－2，3)
　　3.总结y＝a(x－h)2＋k的图象和y＝ax2图象的关系
y＝ax2(a≠0)的图象y＝a(x－h)2的图象，y＝a(x－h)2y＝a(x－h)2＋k的图象．
y＝a(x－h)2＋k的图象的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，k)．
口诀：(h，k)正负左右上下移　(h左加右减k上加下减)
探讨：讨论从图形平移入手，抛物线平移不改变形状和开口方向，只改变顶点坐标．因此，要画抛物线，先必须找出顶点坐标和对称轴．
归纳概括图象画法的步骤．
第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点．
第二步：列表(自变量x从顶点横坐标开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分．
第三步：利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．
【随堂练习】
(1)将抛物线y＝x2向左平移2个单位后，再向上平移2个单位所得到的抛物线是(　C　)
A．y＝x2＋2　　　　　　　B．y＝(x＋2)2－2
C．y＝(x＋2)2＋2
D．y＝(x－2)2＋2
(2)抛物线y＝a(x＋2)2与抛物线y＝－2.5(x－h)2的开口方向和形状相同，只是位置不同，则a，h的值分别是(　A　)
A．a＝－2.5，h＝2
B．a＝2.5，h＝2
C．a＝－2.5，h＝－2
D．a＝2.5，h＝－2
(3)将抛物线y＝－12(x＋1)2＋4向右平移3个单位后，再向下平移5个单位所得到的抛物线是__y＝－12(x－2)2－1__.
(4)函数y＝－3(x－2)2＋4的图象开口向__下__，顶点坐标是__(2，4)__，对称轴是直线__x＝2__，当x__＜2__时，y随x的增大而增大；当x__＞2__时y随x的增大而减小；当x__＝2__时，y有最__大__值是__4__．
【课堂小结】
本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？
1．函数y＝a(x－h)2及y＝a(x－h)2＋k的图象和函数y＝ax2图象之间的关系．
2．函数y＝a(x－h)2及y＝a(x－h)2＋k的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质．
【课后作业】
完成该书本课时的对应练习．