(共35张PPT)
温故知新
1.什么是正比例函数？
2.正比例函数的解析式是？
3.描点法画函数图像的步骤？
19.2.1 正比例函数
人教版八年级数学
下册
第2课时
正比例函数的图象和性质
学习目标
1.理解正比例函数的图象的特点，会利用两点（法）画正比例函数的图象。
2.掌握正比例函数的性质，并能灵活运用解答有关问题。
例1:画出下列正比例函数的图象
（1）y=2x
（2）
y=-2x
画图步骤：
１、列表；
２、描点；
３、连线。
目标导学一：正比例函数的图象
y=2x
的图象为：
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
y=2x
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
…
x
-5
-4
-3
-2
-1
5
4
3
2
1
-1
0
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
x
y
y=-2x
的图象为：
6
4
2
0
-2
-4
-6
x
y=-2x
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
…
x
-5
-4
-3
-2
-1
5
4
3
2
1
-1
0
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
x
y
例2
在同一坐标系下，观察下列函数的图象，并对它们进行比较：y=2x，
x
y
1
0
0
-1
2
-2
…
…
…
…
2
4
-2
-4
解：（1）函数y=2x中自变量x可为任意实数.
①列表如下：
y=2x
②描点；
③连线.
同样可以画出
函数
的图象.
规律总结：这两个图象都是经过原点的
．
而且都经过第
象限；
一、三
直线
画出函数y=-1.5x，y=-4x的图象，观察比较：
y=-4x
y=-1.5x
规律总结：这两个函数图象都是经过原点和
第
象限的直线.
二、四
y=kx
(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx(k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
另外：函数y=kx
的图象我们也称作直线y=kx
规律总结
正比例函数y=
kx
(k≠0)
的图象是经过原点(0,0)和（1，k）的一条直线。
规律总结
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1）
y=-3x；（2）
怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？
由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点
(1，k)，连线即可.
两点
作图法
即学即练
O
x
0
1
y=-3x
0
-3
0
y=-3x
函数y=-3x，
的图象如下：
解：列表如下：
（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值
范围是________.
例3
已知正比例函数y=(k+1)x.
k＞-1
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以k+1>0，解得k>-1.
（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.
解析：将坐标（2，4）带入函数解析式中，得4=(k+1)·2，解得k=1.
=1
例4
正比例函数的图象如图，请写出它的解析式.
1
-1
2
3
4
1
2
3
4
y
x
-2
-1
O
解：设解析式为y=kx.
由图可知，直线经过点（3，2）
所以
2=3k，解得
答：它的解析式是
思考：在函数y=x
,
y=3x,
y=-
x和
y=-4x
中，随着x的增大,y的值分别如何变化?
分析：对于函数y=x,当x=-1时，y=
;当x=1时，y=
;当x=2时，y=
;不难发现y的值随x的增大而
.
-1
1
2
增大
目标导学二：正比例函数的性质
我们还可以借助函数图象分析此问题.
观察图象可以发现：?直线y=x,y=3x向右逐渐
,
即y的值随x的增大而增大;
?直线y=-
x,y=-4x向右逐渐
，即y的值随x的增大而增大而减小.
上升
下降
当k＞0时直线y=kx经过三,一象限，
x增大时,y的值也增大；
当k＜0时,直线y=kx经过二,四象限，
x增大时,y的值反而减小。
x
y
0
2
4
y
=
2x
1
2
2
4
即y随x的增大而增大
即y随x的增大而减小
y
=
x
3
2
-3
-6
x
y
0
正比例函数y=
kx
(k≠0)
的图象是
当k＞0时,直线y=kx
经过第三、一象限；
当k＜0时,直线y=kx
经过第二、四象限。
一条经过原点的直线。
从左向右上升，即随着x的增大y也增大
从左向右下降，即随着x的增大y反而减小
函数y=－5x的图象过
第
象限,
经过点(0,
)
与点(1,
),y随x的增大而
.
二、四
0
－5
减小
即学即练
例5
已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解：∵正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）,
∴4=m·m，解得m=±2.
又∵y的值随着x值的增大而减小，
∴m<0，故m=－2
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数y=
-
x和y
=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.
分析总结
正比例函数y=(k+1)x的图像中y随x
的增大而增大，则k的取值范围是
。
k＞-1
即学即练
正比例函数的图象和性质
图象：经过原点的直线.
当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限.
性质：当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
课堂小结
1.在平面直角坐标系中，正比例函数y
=kx
（k＜0）的图象的大致位置只可能是（ ）．
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
B
C
D
A
检测目标
2.函数y=-8x的图像经过（
）
A、第一、二象限
B、第一、三象限
C、第二、四象限
D、第三、四象限
C
检测目标
3. 对于正比例函数y
=kx，当x
增大时，y
随x
的增大而增大，则k的取值范围
（
）．
A．k＜0 B．k≤0
C．k＞0 D．k≥0
C
检测目标
4.在下列图像中，表示函数y=-kx
(k＜0)的图像是（
)
x
y
0
A
x
y
0
B
x
y
0
C
x
y
0
D
A
检测目标
5.正比例函数y=(m-1)x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（
）
A、m=1
B、m＞1
C、m＜1
D、m≥1
B
检测目标
6.比较大小：
（1）k1
k2；（2）k3
k4；
（3）比较k1，
k2，
k3，
k4大小，并用不等号连接．
＜
k1＜k2
＜k3
＜k4
4
2
-2
-4
4
x
y
O
y
=k4
x
-4
-2
2
y
=k3
x
y
=k2
x
y
=k1
x
＜
检测目标
7.已知△ABC的底边BC
=8cm,当BC边上的高从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化.
(1)写出△ABC的面积
y
（
）
与高x
（m）之间的函数关系式，并指出它是
什么函数；
（2）当x=7时，求出y的值.
解（1）
该函数是正比例函数
（2）当x=7时，y
=4×7=28
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题(共36张PPT)
温故知新
1.什么是函数？
2.什么是函数解析式？
3.绘制函数图像的步骤有哪些？
曾经，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它。
（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？
（2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行的时间x（单位：天）之间有什么关系？
25600÷128=200（km）
y=200x
（0≤x≤128）
（3）这只燕鸥飞行1个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？
当x=45时，y=200×45=9000
导入新课
19.2.1 正比例函数
人教版八年级数学
下册
第1课时
正比例函数的概念
学习目标
1.理解正比例函数的概念。
2.会求正比例函数的解析式，能利用正比例函数解决简单的实际问题。
思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关
系吗？如果是，请写出函数解析式．
（1）圆的周长
l
随半径
r
的变化而变化；
（2）铁的密度为7.8
g/cm3，铁块的质量
m（单位：g）
随它的体积
V（单位：cm3）的变化而变化；
目标导学一：正比例函数的概念
思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关
系吗？如果是，请写出函数解析式．
（3）每个练习本的厚度为0.5
cm，练习本摞在一起的
总厚度
h（单位：cm）随练习本的本数
n
变化而变化；
（4）冷冻一个0
℃
的物体，使它每分下降2
℃，物体
的温度
T（单位：℃）随冷冻时间
t（单位：min）的变化而变化．
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出哪些是函数、常量和自变量．
函数解析式
函数
常量
自变量
l
=2πr
m
=7.8V
h
=
0.5n
T
=
-2t
这些函数解析式有什么共同点？
这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！
2，π
r
l
7.8
V
m
h
T
t
0.5
-2
n
函数=常数×自变量
y
k
x
＝
合作交流
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
思考
为什么强调k是常数，
k≠0呢？
y
=
k
x
(k≠0的常数)
比例系数
自变量
正比例函数一般形式
注:
正比例函数y=kx(k≠0)
的结构特征
①k≠0
②x的次数是1
知识归纳
（1）解析式：
函数是正比例函数其解析式可化为y=kx（k是常数，k≠0）的形式；
深入理解
（2）解析式的特征：
正比例函数解析式y=kx（k是常数，k≠0）的特征：
①k≠0，
②自变量x的指数是1；
深入理解
（3）自变量的取值范围：
一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数；在实际问题中或者是在具体规定取值范围的前提下，正比例函数自变量的取值范围就不是全体实数了。
深入理解
（6）
．
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
解：（1）（2）（5）表示y
是x
的正比例函数．
例1 下列式子中，哪些表示y
是x
的正比例函数？
精典例题
1.判断下列各题中所指的两个量是否成正比例。
（是在括号内打“
”
，不是在括号内打“
”）
（1）圆周长C与半径r（
）
（2）圆面积S与半径r
（
）
（3）在匀速运动中的路
程S与时间t
（
）
（4）底面半径r为定长的圆锥的侧
面积S与母线长l（
）
（5）已知y=3x-2，y与x
（
）
S
=
v
t
即学即练
2.回答下列问题：
(1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是
；(2)当n
时，y=2xn是正比例函数；
(3)当k
时，y=3x+k是正比例函数.
m≠1
=1
=0
即学即练
函数是正比例函数
函数解析式可转化为y=kx
（k是常数，k
≠0）的形式.
即
m≠1，
m=±1，
∴
m=-1.
解：∵函数
是正比例函数，
∴
m-1≠0，
m2=1，
例2
已知函数
y=(m-1)
是正比例函数，求m的值.
精典例题
若y=5x3m-2是正比例函数，
m=
。
1
即学即练
待
定
系
数
法
例3：已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试求y与x的函数解析式
解：
∵y与x成正比例
∴y=kx
又∵当x=4时，y=8
∴8=4k
∴k=2
∴y与x的函数解析式为：y=2x
精典例题
二、把已知的自变量的值和对应的函数值代入
所设的解析式，得到以比例系数k为未知数的
方程，解这个方程求出比例系数k。
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
三、把k的值代入所设的解析式。
一、设所求的正比例函数解析式。
京沪高速铁路全长1318千米.
设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：
（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？
（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有何数量关系？
（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？
目标导学二：正比例函数的简单应用
(1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时(结果保留小数点后一位)？
1318÷300≈4.4（小时）
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与运行时间t（单位：时）之间有何数量关系？
y=300t（0≤t≤4.4）
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经过了距始发站1
100
千米的南京站？
y=300×2.5=750（千米）,
这时列车尚未
到
达
距
始
发
站
1
100千米的南京站.
例4.已知y与x+2
成正比例，当x=4时，y=12，那么当x=5时，y=______.
解：
∵
y与x+2
成正比例
∴y=k(x+2)
∵当x=4时，y=12
∴12=k(4+2)
解得：k=2
∴y=2x+4
∴当x=5时，y=14
14
精典例题
例5
已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15L．所使用的汽油为5元/
L
．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程x（km）之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数；
（2）计算该汽车行驶220
km所需油费是多少？
即
.
解：
（1）y=5×15x÷100，
（2）当x=220
时，
答：该汽车行驶220
km所需油费是165元．
.
y是x的正比例函数.
精典例题
1.已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高线从小到大变化时，
△ABC的面积也随之变化。
（1）写出△ABC的面积y（cm2）与高线x的函数解析式，并指明它是什么函数；
（2）当x=7时，求出y的值。
解：
（1）
（2）当x=7时，y=4×7=28
即学即练
2.
已知y与x成正比例，且x=4时y=12
（1）求y与x之间的函数解析式
（2）求x=3.5时，y的值
（3）求x为何值时，y=7.5
（1）12=4k
k=3
y=3x
（2）y=3x
当x=3.5时
y=3×3.5=10.5
（3）y=3x
当y=7.5时
7.5=3x
x=2.5
即学即练
正比例函数的概念
形式：y=kx（k≠0）
求正比例函数的解析式
利用正比例函数解决简单的实际问题
1.设
2.代
3.求
4.写
课堂小结
1．下列函数是正比例函数的是（
）．
A．y＝2x＋1
B．y＝8＋2(x－4)
C．
D．
B
检测目标
2.下列函数中，是正比例函数的为（
）
B
检测目标
3．下列问题中的y与x成正比例函数关系的是（
）．
A．圆的半径为x，面积为y
;
B．某地手机月租为10元，通话收费标准为0.1元/min，若某月通话时间为x
min，该月通话费用为y元;
C．把10本书全部随意放入两个抽屉内，第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本;
D．长方形的一边长为4，邻边长为x，面积为y
.
D
检测目标
4.若
是正比例函数，则m=
；
-2
m-2≠0，
|m|-1=1，
∴
m=-2.
检测目标
5.已知正比例函数y=2x中,
(1)若0<
y
<10,则x的取值范围为_________.
(2)若-6<
x
<10,则y的取值范围为_________.
2x
1
2
y
0<
<10
-6<
<10
0-12检测目标
6.已知y与x－1成正比例，x=8时，y=6，写出y与x之间函数关系式，并分别求出x=4和x=-3时y的值。
解：∵
y与x－1成正比例
∴y=k（x-1）
∵
当x=8时，y=6
∴7k=6
∴
∴
y与x之间函数关系式是：
当x=4时
当x=-3时
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题
