北师大版八年级下册数学3.3中心对称（利用中心对称的性质解决几何问题）(word版含解析)

利用中心对称的性质解决几何问题
一、选择题
1、如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE是中心对称图形；③△DEF是轴对称图形；④∠ADE=∠EDO．其中错误的结论有多少个（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2、经过矩形的对称中心的任意一条直线把这个矩形分成两部分，设这两部分的面积分别为S1和S2，则S1和S2之间的关系是（　　）
A．S1＞S1
B．S1＜S2
C．S1=S2
D．S1和S2的大小关系无法确定
3、如图，△ABC与△A′B′C′是成中心对称，下列说法不正确的是（　　）
A．S△ABC=S△A′B′C′
B．AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′
C．AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′
D．S△ACO=S△A′B′O
4、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BC=6，BC边上的高为4，其中EF、MN、GH交于点O，则阴影部分的面积为（　　）
A．3
B．6
C．12
D．24
5、如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是（　　）
A．AD∥EF，AB∥GF
B．BO=GO
C．CD=HE，BC=GH
D．DO=HO
二、填空题
6、如图，有一张纸片，若连接EB，纸片被分为矩形FABE和菱形EBCD，请你画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分，并说明画法__________．
7、如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为
__________
．
8、如图△ABC与△DEF关于O点成中心对称．则AB__________DE，BC∥__________，AC=__________．
9、已知A，B，O三点不在同一直线上，A，A′关于O点对称．B，B′关于O点对称，那么线段AB与A′B′__________．（填数量和位置关系）
10、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EF过AC、BD的交点O，则图中阴影部分的面积为__________．
11、如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是__________cm2．
12、若△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，若AB=5，AC=3，则EF的范围是__________．
13、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为__________．
14、已知A、B、O三点不共线，如果点C与点A关于点O对称，点D与点B关于点O对称，那么线段AB与CD的关系是__________．
15、若线段AB、CD关于点P成中心对称，则线段AB、CD的关系是__________．
16、若矩形的对称中心到两边的距离差为4cm，周长为56cm，则矩形的边长分别为__________．
17、中央电视台大风车栏目图标如图甲，其中心为O，半圆固定，其半径为2r，车轮为中心对称图形，轮片也是半圆形，小红通过观察发现车轮旋转过程中留在半圆内的轮片面积是不变的（如图乙），这个不变的面积值是
__________
．
18、如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm，与关于点O中心对称，则AB、BC、、所围成的图形的面积是__________cm2．
19、如图，过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的__________．
20、如图△ABC与△DEF关于O点成中心对称．则线段BC与EF的关系是__________．
21、如图，线段AB关于点O（不在AB上）的对称线段是A′B′；线段A′B′关于点O′（不在A′B′上）的对称线段是A″B″．那么线段AB与线段A″B″的关系是__________．
三、解答题
22、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．
23、如图，在公园里有一块平行四边形的草坪，草坪里有一个圆形花坛，有关部门计划在草坪上修一条小路，这条小路要把草坪和花坛的面积同时平分，请在图中画出这条小路．（小路用AB表示）
24、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点．
（1）画图：连接AF并延长，交BC的延长线于点F，连接BE；
（2）填空：点A与点F关于点__________成中心对称，若AB=AD+BC，则△ABF是__________三角形，此时点A与点F关于直线__________成轴对称；
（3）图中△__________的面积等于四边形ABCD的面积．
25、如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，请你利用中心对称的性质，把梯形ABCD转化成与原梯形面积相等的三角形，并简要说明变换理由．
26、已知：如图所示，E是等腰梯形一腰CD的中点，EF⊥AB，垂足为F，求证：S梯形ABCD=AB?EF．
27、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．
试卷
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利用中心对称的性质解决几何问题的答案和解析
一、选择题
1、答案：
A
试题分析：根据已知对各个结论进行分析从而确定最后的答案．
①正确，根据等底等高可证明S△ADE=S△EOD；
②正确，根据已知及菱形的性质可证明△DEF≌△BEF；
③正确，可证明得△DEO≌△DFO；
④错误，每一条对角线平分一组对角，可得∠ADO=∠CDO，∠EDO=∠FDO，所以∠ADE=∠CDF≠∠EDO；
故选A．
2、答案：
C
试题分析：根据矩形对角线相等且平分的性质，易证△OEC≌△OFA，△DEO≌△BFO，△AOD≌△BOC，即可证明．
试题解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AO=BO=CO=DO，
∴△AOD≌△BOC，
∵∠ECO=∠FAO，OA=OC，∠EOC=∠FOA，
∴△OEC≌△OFA，
同理可证，△DEO≌△BFO，
∴S1=S2．
故选：C．
3、答案：
D
试题分析：根据中心对称图形的性质，即可作出判断．
试题解析：A、根据中心对称的两个图形全等，即可得到，故正确；
B、中心对称图形中，对称点到对称中心的距离相等，故正确；
C、根对称点到对称中心的距离相等，即可证得对应线段平行，故正确；
D、不正确．
故选D．
4、答案：
C
试题分析：由平行四边形的性质易得：△AON≌△COM（AAS），△AOE≌△COF，△BOE≌△DOF，△BOG≌△DOH，继而可证得△GOM≌△HON（SAS），则可得S阴影=S?ABCD．
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠OAN=∠OCM，
在△AON和△COM中，
，
∴△AON≌△COM（AAS），
同理：△AOE≌△COF，△BOE≌△DOF，△BOG≌△DOH，
∴OG=OH，OM=ON，
在△GOM和△HON中，
，
∴△GOM≌△HON（SAS），
∴S阴影=S?ABCD=×6×4=12．
故选C．
5、答案：
D
试题分析：根据中心对称的定义和中心对称的性质作答．
试题解析：A、∵AD与EF关于点O成中心对称，∴AD∥EF，同理可得AB∥GF，所以说法正确；
B、∵B与G关于点O成中心对称，∴BO=GO，所以说法正确；
C、∵CD与HE关于点O成中心对称，∴CD=HE，同理可得BC=GH，所以说法正确；
D、∵D与E关于点O成中心对称，∴DO=EO，所以DO=HO错误．
故选D．
二、填空题
6、答案：
试题分析：根据中心对称的性质、菱形和平行四边形是中心对称图形矩形解答即可．
试题解析：如图，连接BF、AE交于M，连接BD、EC交于N，
作直线MN，则直线MN即为所求．
7、答案：
试题分析：连接AB，则阴影部分面积=2（S扇形AOB-S△ABO），依此计算即可求解．
试题解析：
由题意得，阴影部分面积=2（S扇形AOB-S△AOB）=2（-×2×2）=2π-4．
故答案为：2π-4．
8、答案：
试题分析：利用关于某点对称的图形全等，这样可以得出対应边与对应角之间的关系，进而解决．
试题解析：∵△ABC与△DEF关于O点成中心对称
∴△ABC≌△DEF
AB=DE，AC=DF
又∵BO=OE，CO=OF，∠BOC=∠FOE
∴△BOC≌△EOF
∴∠BCO=∠OFE
BC∥EF
故填：=，EF，DF
9、答案：
试题分析：根据中心对称图形对应线段平行且相等的性质填空．
试题解析：中心对称图形中的不在同一直线上的两条对应线段的关系是：平行且相等．
故答案为：平行且相等．
10、答案：
试题分析：易证△AOE≌△COF，则阴影部分的面积为△CDO的面积，根据矩形对角线分成的四部分面积相等，即可计算阴影部分的面积，即可解题．
试题解析：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
则△AOE和△COF面积相等，
∴阴影部分的面积与△CDO的面积相等，
又∵矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分，
∴阴影部分的面积为：×3×4=3．
故答案为：3．
11、答案：
试题分析：由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积．
连接AC．
∵弧OA与弧OC关于点O中心对称，
∴点O为AC的中点，
∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积=△BAC的面积==2cm2．
12、答案：
试题分析：根据成中心对称的两个图形对应线段长相等可知EF的取值范围等于BC的取值范围；
试题解析：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，AB=5，AC=3，
∴DE=5，DF=3
∴EF的取值范围为：2＜EF＜8
故答案为：2＜EF＜8
13、答案：
试题分析：根据矩形是中心对称图形寻找思路：△OBF≌△ODE，图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．
试题解析：根据矩形的性质得△OBF≌△ODE，
属于图中阴影部分的面积就是△ADC的面积．
S△ADC=CD×AD=×2×3=3．
故答案为：3．
14、答案：
试题分析：根据关于点对称的性质得出AO=BO，DO=BO，进而得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．
试题解析：∵AO=BO，DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
故答案为：ABCD．
15、答案：
试题分析：根据线段AB、CD关于点P成中心对称，再根据中心对称的性质得出对应边之间的关系即可．
试题解析：∵线段AB、CD关于点P成中心对称，
∴线段AB、CD的关系是：平行且相等．
故答案为：平行且相等．
16、答案：
试题分析：如图，设FO=y，EO=x，可以得出2x=AD，2y=AB．可列出两个等式解答即可．
试题解析：设FO=y，EO=x．
故2x=AD，2y=AB．
2×（2x+2y）=56
x-y=4
可得x=5，y=9
所以这个矩形的两邻边长分别为10cm和18cm．
故答案为：10cm，18cm．
17、答案：
试题分析：四个阴影部分的图形正好构成一个中心对称图形，AB过对称中心，根据其中心对称图形的性质，则这个不变的面积是半圆面积的一半，即可求解．
试题解析：这个不变的面积是半圆面积的一半，即××4r2=πr2．
18、答案：
试题分析：连AC，则△ABC为等腰直角三角形，由与关于点O中心对称得到OA=OC，弧OA=弧OC，则弓形OA的面积=弓形OC的面积，因此AB、BC、、所围成的图形的面积=三角形ABC的面积，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
连AC，如图，
∵AB⊥BC，AB=BC=2cm，
∴△ABC为等腰直角三角形，
又∵与关于点O中心对称，
∴OA=OC，弧OA=弧OC，
∴弓形OA的面积=弓形OC的面积，
∴AB、BC、、所围成的图形的面积=三角形ABC的面积=×2×2=2（cm2）．
故答案为2．
19、答案：
试题分析：根据矩形的性质，将面积转换后求解即可．
由图可知：OB=OD，∠OBE=∠ODF，∠EOB=∠FOD，
∴△BEO≌△DFO，
∴S△DFO=S△BEO，
∵在△ABO与△AOD中，OB=OD，高相等，
∴S△ABO=S△AOD，
即S△ABO=S△ABD=S?ABCD，
阴影部分的面积=S△AEO+S△DFO=S△AEO+S△BEO=S△ABO=S?ABCD．
故答案为：．
20、答案：
试题分析：根据△ABC与△DEF关于O点成中心对称，得出对应边之间的关系即可得出答案．
试题解析：∵△ABC与△DEF关于O点成中心对称．
∴线段BC与EF的关系是：平行且相等．
故答案为：平行且相等．
21、答案：
试题分析：根据中心对称的概念可知线段AB、A′B′、上的对应点都关于点O对称，A'B'、A''B''上的对应点都关于O'对称．
试题解析：中心对称图形中的不在同一直线上的两条对应线段的关系是：平行且相等．
故线段AB与线段A″B″的关系是：平行且相等．
故答案为：平行且相等．
三、解答题
22、答案：
试题分析：（1）令y=0，求出x的值；令x=0，求出y，即可解答；
（2）先求出A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，-4），再代入解析式，即可解答；
（3）取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，由此判定四边形AMA′M′为平行四边形，又知AA′与MM′不垂直，从而平行四边形AMA′M′不是菱形，过点M作MD⊥x轴于点D，求出抛物线的顶点坐标M，根据，即可解答．
试题解析：（1）令y=0，得x2+5x+4=0，
∴x1=-4，x2=-1，
令x=0，得y=4，
∴A（-4，0），B（-1，0），C（0，4）．
（2）∵A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，-4），
∴所求抛物线的函数表达式为y=ax2+bx-4，
将（4，0），（1，0）代入上式，得
解得：，
∴y=-x2+5x-4．
（3）如图，取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，
由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，
∴四边形AMA′M′为平行四边形，
又知AA′与MM′不垂直，
∴平行四边形AMA′M′不是菱形，
过点M作MD⊥x轴于点D，
∵y=，
∴M（），
又∵A（-4，0），A′（4，0）
∴AA′=8，MD=，
∴=
23、答案：
试题分析：利用平行四边形的性质以及圆的性质，得出对角线交点与圆心连线即可平分面积．
试题解析：如图所示：线段AB即为所求．
24、答案：
试题分析：（1）根据要求直接作出图形即可；
（2）利用中心对称的定义回答即可，然后证得AB=BF，利用等腰三角形的性质判定等腰三角形即可；
（3）得到三角形ADE的面积等于三角形ECF的面积，从而得到答案；
试题解析：（1）如图：
（2）∵AD∥BC，
∴∠D=∠DCF，
∵DE=CE，∠AED=∠FEC
在△ADE与△FCE中，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE=FE，AD=CF，
∴点A与点F关于点E成中心对称，
∵若AB=AD+BC，
∴AB=BF，
则△ABF是等腰三角形，此时点A与点F关于直线BE成轴对称；
（3）图中△ABFD?面积等于四边形ABCD的面积．
故答案为：E，等腰，BE，ABF．
25、答案：
试题分析：根据中心对称图形的性质以及全等三角形的判定与性质得出即可．
解；取CD中点M，连接AM并延长交BC延长线于点N，得到△ABN即为与原梯形面积相等的三角形．
在△ADM和△NCM中
，
∴△ADM≌△NCM（ASA），
△NCM可以看作是△ADM关于点M的中心对称图形，
∴△ABN即为与原梯形面积相等的三角形．
26、答案：
试题分析：连接AE交BC的延长线于G点，则梯形ABCD的面积就是△ABE的面积的2倍，则问题就可以比较容易求解．
试题解析：证明：如图，连接AE交BC的延长线于G点，连接BE，
∵AD∥CG，
∴∠D=∠ECG，
在△ADE和△GCE中
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE=GE，
∴可得：S△ABG=S梯形ABCD=2S△ABE=AB×FE．
27、答案：
试题分析：利用轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．分别得出图形的对称轴与对称中心即可得出答案．
试题解析：