切线长定理
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(共25张PPT)
切 线 长 定 理
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
A
B
C
三角形的内切圆
A
B
C
P
B
C
O
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长。
思考：切线长和切线的区别和联系？
小结：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
p
A
B
O
已知：
求证：
如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为
⊙O的切线，A、B为切点，连结PO
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
p
A
B
O
请你们结合图形用数学语言表达定理
∵PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB
A
B
C
M
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切
已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
N
I
D
1、 如图1，△ABC是⊙O的 三角形。
⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 ，
它是三角形 的交点。
外接
内接
外心
三边中垂线
3、如图2，△DEF是⊙I的 三角形， ⊙I是
△DEF的 圆，点I是 △DEF的 心，它是三角
形 的交点。
2、定义：和三角形各边都相切的圆
叫做 ，内切圆
的圆心叫做三角形的 ，这
个三角形叫做 。
A
B
C
O
．
图1
I
D
E
F
．
图2
三角形的内切圆
内心
圆的外切三角形
外切
内切
内
角平分线
三角形内心的性质：
1、三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2、三角形的内心在三角形的角平分线上；
1、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；
2、三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上；
三角形外心的性质：
C
A
B
．
I
D
E
F
．
O
定义：和多边形各边都相切的圆
叫做 ，这个
多边形叫做 。
多边形的内切 圆
圆的外切多边形
内切
外切
如上图，四边形DEFG是⊙O的 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 圆，
D
E
F
G
.O
例1 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数
A
B
C
O
（2）若∠A=80 °，则∠BOC= 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。
解（1）∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠OBC= ∠OBA= ∠ABC= 25 °
同理 ∠OCB= ∠OCA= ∠ACB=35 °
∴ ∠BOC=180 °－ （∠OBC＋ ∠OCB） = 180 °－60 °=120 °
130
20
（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样
的数量关系？请说明理由。
理由： ∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠OBC= ∠ABC， ∠OCB= ∠ACB
∴ ∠OBC＋ ∠OCB = （∠ABC+ ∠ACB）
= （180 ° － ∠A ）= 90 ° － ∠A
在△ABC中， ∠BOC =180 °－（ ∠OBC＋ ∠OCB ）
= 180 °－（ 90 ° － ∠A ）= 90 °+ ∠A
A
B
C
O
答： ∠BOC =90 ° + ∠A
例2、如图，设△ABC的周长为c,内切
⊙o和各边分别相切于D,E,F
求证：AE+BC= C
C
B
A
E
D
F
O
r
I
C
A
B
E
D
F
如图，在Rt△ABC中，斜边AB=10，AC=8，⊙I分别切三边于点D、E、F,
试求BF长及⊙I的半径。
O
P
A
B
C
D
E
如图,⊙O分别切∠APB两边于A、B, CD切⊙O于E,交PA、PB于C、D，
1）如果PA=8，则△PCD的周长为______
2) 如果∠P=50°则∠COD=_____
C
P
O
B
I
A
O
D
A
C
B
E
如图，在Rt△ABC中，斜边AB=10，AC=6，D是BC上一点，以CD为直径的半圆O切AB于点E，求CD的长
O
A
B
C
E
D
F
G
如图，在Rt△ABC中，D、E是斜边AB上两点，以DE为直径的半圆O切AC、BC于点F、G，
1）AB=10， AC=6，求DE的长；
2）AF=1，GB=2，求DE的长
I
A
B
C
D
E
F
G
H
如图在梯形ABCD中，AD∥BC, ⊙I是梯形的内切圆，切点分别为E、F、G、H
1）求证：AD+BC=AB+CD
2)如果AB=CD，AD=1，BC=3，试求梯形的面积
小结
1、切线长定理
2、内切圆、内心
3、面积方法S= Cr
名称 确定
方法 图形 性质
外心
内心
三角形三边中垂线的交点
三角形三条角平分线的交点
（三角形外接圆的圆心）
（三角形内切圆的圆心）
1.OA=OB=OC；2.外心不一定在三角形的内部．
1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3.内心在三角形内部．
D
O
P
A
B
C
再 见
（1）作圆的关键是什么
提出以下几个问题进行讨论：
（2）假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三
角形三边都相切，圆心I应满足什么
条件
（3）这样的点I应在什么位置
（4）圆心I确定后半径如何找？
结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．
A
B
C
I
M
N
D
A
B
C
切 线 长 定 理
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
A
B
C
三角形的内切圆
A
B
C
P
B
C
O
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长。
思考：切线长和切线的区别和联系？
小结：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
p
A
B
O
已知：
求证：
如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为
⊙O的切线，A、B为切点，连结PO
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
p
A
B
O
请你们结合图形用数学语言表达定理
∵PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO
∴PA = PB，∠OPA=∠OPB
A
B
C
M
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切
已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
N
I
D
1、 如图1，△ABC是⊙O的 三角形。
⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC的 ，
它是三角形 的交点。
外接
内接
外心
三边中垂线
3、如图2，△DEF是⊙I的 三角形， ⊙I是
△DEF的 圆，点I是 △DEF的 心，它是三角
形 的交点。
2、定义：和三角形各边都相切的圆
叫做 ，内切圆
的圆心叫做三角形的 ，这
个三角形叫做 。
A
B
C
O
．
图1
I
D
E
F
．
图2
三角形的内切圆
内心
圆的外切三角形
外切
内切
内
角平分线
三角形内心的性质：
1、三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2、三角形的内心在三角形的角平分线上；
1、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等；
2、三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上；
三角形外心的性质：
C
A
B
．
I
D
E
F
．
O
定义：和多边形各边都相切的圆
叫做 ，这个
多边形叫做 。
多边形的内切 圆
圆的外切多边形
内切
外切
如上图，四边形DEFG是⊙O的 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 圆，
D
E
F
G
.O
例1 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数
A
B
C
O
（2）若∠A=80 °，则∠BOC= 度。
（3）若∠BOC=100 °，则∠A= 度。
解（1）∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠OBC= ∠OBA= ∠ABC= 25 °
同理 ∠OCB= ∠OCA= ∠ACB=35 °
∴ ∠BOC=180 °－ （∠OBC＋ ∠OCB） = 180 °－60 °=120 °
130
20
（4）试探索： ∠A与∠BOC之间存在怎样
的数量关系？请说明理由。
理由： ∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠OBC= ∠ABC， ∠OCB= ∠ACB
∴ ∠OBC＋ ∠OCB = （∠ABC+ ∠ACB）
= （180 ° － ∠A ）= 90 ° － ∠A
在△ABC中， ∠BOC =180 °－（ ∠OBC＋ ∠OCB ）
= 180 °－（ 90 ° － ∠A ）= 90 °+ ∠A
A
B
C
O
答： ∠BOC =90 ° + ∠A
例2、如图，设△ABC的周长为c,内切
⊙o和各边分别相切于D,E,F
求证：AE+BC= C
C
B
A
E
D
F
O
r
I
C
A
B
E
D
F
如图，在Rt△ABC中，斜边AB=10，AC=8，⊙I分别切三边于点D、E、F,
试求BF长及⊙I的半径。
O
P
A
B
C
D
E
如图,⊙O分别切∠APB两边于A、B, CD切⊙O于E,交PA、PB于C、D，
1）如果PA=8，则△PCD的周长为______
2) 如果∠P=50°则∠COD=_____
C
P
O
B
I
A
O
D
A
C
B
E
如图，在Rt△ABC中，斜边AB=10，AC=6，D是BC上一点，以CD为直径的半圆O切AB于点E，求CD的长
O
A
B
C
E
D
F
G
如图，在Rt△ABC中，D、E是斜边AB上两点，以DE为直径的半圆O切AC、BC于点F、G，
1）AB=10， AC=6，求DE的长；
2）AF=1，GB=2，求DE的长
I
A
B
C
D
E
F
G
H
如图在梯形ABCD中，AD∥BC, ⊙I是梯形的内切圆，切点分别为E、F、G、H
1）求证：AD+BC=AB+CD
2)如果AB=CD，AD=1，BC=3，试求梯形的面积
小结
1、切线长定理
2、内切圆、内心
3、面积方法S= Cr
名称 确定
方法 图形 性质
外心
内心
三角形三边中垂线的交点
三角形三条角平分线的交点
（三角形外接圆的圆心）
（三角形内切圆的圆心）
1.OA=OB=OC；2.外心不一定在三角形的内部．
1.到三边的距离相等；2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3.内心在三角形内部．
D
O
P
A
B
C
再 见
（1）作圆的关键是什么
提出以下几个问题进行讨论：
（2）假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三
角形三边都相切，圆心I应满足什么
条件
（3）这样的点I应在什么位置
（4）圆心I确定后半径如何找？
结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．
A
B
C
I
M
N
D
A
B
C
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