沪科版八年级数学下册教案-16.1 二次根式

《16.1二次根式》教学设计
内容和内容解析：
1．内容
二次根式的概念和二次根式的“双重非负性”
2．内容解析
本节课是沪科版八年级下册的第一章第一节内容，本节课分两个课时，这是第一课时的新授课，也是八年级下学期的开学第一课。
本节课的知识点与七年级下册的第6章《实数》内容关系紧密，开学第一章与前面学习过的知识点有重叠，对学生快速进入新学期的学习，对教师对课程的引入都有很好的作用。
沪科版七年级下册的第6章《实数》中的平方根就是引入八年级下册《16.1二次根式》的必要前提，有了平方根，才会有二次根号的出现，进而才会有二次根式，有了平方根，才能被开方数从“特殊到一般”替换成字母，才能完成二次根式的概念形成过程。
有了平方根中
“负数没有平方根”的这条性质，才会有二次根式的第一个非负性：；有了算术平方根的概念，才会有二次根式的第一个非负性：。
教学过程中，首先从现实生活中的热点问题“二孩”，从一个父母有两个孩子，类比回忆得出平方根的概念和相关性质。同时还能渗透情感教育，教育每个人都要爱护自己的家人。再通过由特殊的“根号下是数字”，发展到“根号下是字母”，也通过前后知识的类比，让学生体会平方根与二次根式之间特殊与一般的关系，再通过平方根的相关性质得出二次根式的
“双重非负性”，让知识点自然由旧知生成，让学生在探索中自主得出二次根式的“双重非负性”，也是本节课的重难点。
目标和目标解析
1．目标
(1)
了解引入二次根式的必要性；
(2)
经历二次根式概念的形成过程，了解二次根式是开平方运算出来的结果；
(3)
理解二次根式的“双重非负性”；
(4)
经历二次根式的概念形成和探索的过程，发展学生类比、由特殊到一般处理数学问题的思想；
2．目标解析
(1)
通过学生回忆分析，生活中或者数学学习中，知道正方形的面积，求正方形的边长，
这样的例子开始，从知道正方形的面积是已知数字，到正方形的面积是字母的情况，引入二次根式，体会二次根式在实际问题情境中的应用，以及学习二次根式的必要性。
(2)
二次根式的概念在课本上只有简单的一句话：“形如(a≥0)的式子叫做二次根式”。
为了让学生加深对二次根式的理解，教学时先从复习开始，复习平方根、算术平方根的相关概念，加深学生对算术平方根的概念，便于理解二次根式后面的性质和计算。
(3)
复习是从平方根和算术平方根入手，紧紧抓住“负数没有平方根和正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0”这几条性质，让学生从根本上理解二次根式的双重非负性。
(4)
在复习引入平方根时，从父母和孩子（一个孩子或者两个孩子）的关系类比一个实数的平方根情况；在二次根式从已知正方形面积求边长的探索中，从最特殊的面积是25，再到面积是0.16，再到面积是3，再到面积是a，从最特殊的平方数，再到小数平方数，再到非平方数，最后到字母a，体会从特殊到一般处理数学问题的过程。
教学问题诊断分析
单从二次根式的概念来说是很简单的，处理独立的二次根式的概念题也很简单，但是二次根式的“双重非负性”可以和不等式等题目综合考察，题目信息量少，会让学生感觉无从下手。
解决办法只有分解难度，让学生深深理解二次根式的“双重非负性”，对后面习题的处理会轻松很多。首先要从平方根和算术平方根入手，从二次根式的本质入手，让学生从本质是理解二次根式的第一重非负性“(a≥0)”其实就是“负数没有平方根”，第二重非负性“≥0”其实就是“正数的算数平方根是正数，0的算数平方根是0，负数没有算术平方根”。
教学条件支持分析
本节课知识点较少，主要以教师引导，学生自主发现相关问题和知识点，并及时展示自己的发现和解决问题的方法，所以需要的除了基本的PPT以外，需要实物展台，及时展示学生的发现和优秀的解题说明。
教学过程分析
1.复习引入
先调查班级有多少学生是独生子女，然后引出兄弟姐妹的话题。亲情血浓于水，我们每个同学都应该爱护自己的兄弟姐妹，（设及当时代的热点问题，给孩子一点亲情的情感教育。）
举例数学中的兄弟姐妹：
4的平方是16，还有谁的平方也是16呢？还有谁和4共一个父亲16呢？﹣4的平方也是16。你能用数学符号语言来表示吗？。
那这句话反过来怎么说？16的平方根是±4，正如那个父亲有两个孩子一样。请你用数学语言表示出来：。请一定要注意与的区别：表示的是16的算术平方根，表示的是16的平方根。
请你类似的写出：的平方是，还有谁的平方是，数学符号语言表示：，反之怎么说：的平方根是，数学符号语言表示：。
那么是不是所有的平方根都有两个呢？不是，反对的理由可以是两个：①0的平方根只有一个，是0，②负数没有平方根。
【设计意图】通过现在的热点问题来引入新课，能够快速抓住学生的注意力，同时也为现在的二孩感情淡漠的问题渗透一点情感教育，也为七年级下册学习过的平方根的概念、性质等做一个完整的复习，从正反表述平方、平方根，使用文字语言、符号语言的不同表述方式来回忆复习。
2.二次根式的概念
（1）那我们来解决一组有关生活实际的问题：
①面积为
25
的正方形边长是多少？
②面积为
0.16
的正方形边长是多少？
③面积为
3
的正方形边长是多少？
④面积为
x
（x≥0）的正方形边长是多少？
总结：是二次根号，形如（a≥0）的式子就叫做二次根式。
为什么一定要加a≥0呢？因为负数没有算术平方根。
（2）判断下列各式中，哪些是二次根式？
①；②；③；④；⑤(a≥2)；⑥(a＜b)；⑦(x≤0)；⑧
请学生判断，并说出理由。
解：①是二次根式；
②∵﹣16＜0，∴不是二次根式；
③∵次数是3，∴不是二次根式；
④∵≥0，∴＞0，∴是二次根式；
⑤∵a≥2，∴a-2≥0，∴(a≥2)是二次根式；
⑥∵a＜b，∴a-
b＜0，∴(a＜b)不是二次根式；
⑦∵x≤0，∴﹣x≥0，∴(x≤0)是二次根式；
⑧∵a的大小无法判断，∴不一定是二次根式；
总结：如何判断一个式子是否是二次根式？需要满足几个条件？①一定要含有二次根号；②二次根号的式子一定要≥0。
【设计意图】二次根式的概念从实际的数学面积问题出发，从面积是正整数，再到小数，再到非平方数，再到字母a，让学生感知二次根式从特殊到一般的过程，也为二次根式的概念中的a≥0做好知识铺垫，这样学生自主总结二次根式的定义时就会水到渠成。紧接着的例题8小题，涉及到是二次根式、不是二次根式、不一定是二次根式的三种情况，以及需要计算根号下式子的非负性情况。8小题作为例题展示，即起到标准板书的作用，也为二次根式的概念做一个加深理解的加强练习。
3.二次根式有意义的条件
例1
x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
（1）；（2）；（3）；
解：（1）由题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3；
（2）由题意得：≥0，解得：x为任意实数；
（3）由题意得：；∴，解得：；
例题教师板书，和学生分享此类题目的思考过程和书写过程。
变式练习1：x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
（1）；（2）；（3）；
变式练习2：使有意义的正整数n为多少？
变式练习3：若是整数，则自然数n的值为多少？
变式练习由学生小组讨论，然后再上台使用实物展台展示自己的书写过程，并解释自己的思考过程。
【设计意图】二次根式有意义的条件虽然还是二次根式的概念延伸内容，使用的主要知识点还是二次根式中（a≥0）的性质特点，但是因为涉及到不等思想，使用不等式来计算，在以后的其他代数学习中还会经常作为基础内容出现，所以设置在二次根式的概念后面，既能巩固学生对二次根式概念的理解，也能培养学生综合运用知识，综合解题的能力。
4.二次根式的非负性
通过以上练习和探索过程，你能得出与0的关系吗？总结的双重非负性：①a≥0；②≥0；你能说出其中的原因吗？①因为负数没有平方根；②正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0。
变式练习1：若，求的值；
变式练习2：若，求a+b的值；
变式练习3：若有意义，求x的范围；
变式练习4：若，求a的值；
【设计意图】通过前面知识和练习的铺垫，让学生自主发现二次根式的双重非负性，并总结成二次根式的第一条性质，并辅以4题变式练习，逐渐加深难度，考察学生选择性的使用二次根式的双重非负性中一条或两条来综合解决问题。
5.作业：
习题16.1
1,2