人教版八年级上册 14.3 因式分解（复习学案）

因式分解
★★★核心知识回顾★★★
一、因式分解的定义
1．把一个
式化为几个整式
的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
2．因式分解与整式乘法是
运算，即：
二、因式分解常用方法
1．提公因式法
公因式：一个多项式各项都有的
叫做这个多项式各项的公因式.
提公因式法分解因式可表示为：
.
2．运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法.
（1）平方差公式：
；
（2）完全平方公式：
.
十字相乘法：
.
★★★典型例题回顾★★★
知识点一、因式分解的概念
【例1】下列从左到右变形，哪些是因式分解？哪些不是？请什么理由。
；
（2）；
（3）；
（4）
知识点二、提取公因式法
【例2】（1）多项式12a3b3c－8a3b2c3
+
6a4b2c2的公因式是____________；
（2）多项式3
(
x－4
)
+
x
(
4－x
)
的公因式是_____________；
（3）多项式x
(
b
+
c－a
)－y
(
b
+
c－a
)－(
a－b－c
)的公因式是______________；
【例3】分解因式：
（1）12a2b－18ab2－24a3b3；
（2）5y2－15y
+
5；
（3）－27m2n
+
9mn2－18mn
【例4】分解因式：
（1）m
(
n－3
)
+
2
(
3－n
)；
（2）6x
(
x－y
)2
+
3
(
y－x
)3；
知识点三、用平方差公式分解因式
1、语言表述：两数的平方差等于这两个数的和与这两个数差的积；
2、字母表示：____________________________；（a、b可以是单项式，也可以是多项式）；
3、公式特征：左边是二项式，两项都可写成平方的形式且符号______；右边是两数和与这两数的差的_____；口诀：二项式，平方差，底数之和乘以差。
【例5】分解因式：（1）16－9x2；
（2）
【例6】分解因式：
（1）(
x
+
p
)2－(
x－p
)2；
（2）(
3a
+
5b
)2－(
a－3b
)2；
（3）16
(a－b
)2－9(a
+
b)2
知识点四、用完全平方公式分解因式
【例7】分解因式：（1）；
（2）；
【例8】分解因式：
（1）；
（2）
知识点五、x2
+
(
p
+
q
)x
+
pq型二次三项式的因式分解（十字相乘法）
1、法则：x2
+
(
p
+
q
)x
+
pq
=
(
x
+
p
)(
x
+
q
)；
【例9】分解因式；（1）x2
+
3x
+
2；
（2）a2－2a－15；
（3）2x2－7x
+
6
知识点六、方法规律
（1）先提取公因式再运用公式
【例10】分解因式：（1）x3y－xy3；
（2）abx2－2abxy
+
aby2
（2）先变换系数再运用公式
【例11】分解因式：（1）9m2－4n2；
（2）121a2
+
44ab
+
4b2
（3）先变换指数再运用公式
【例12】分解因式：（1）p4－16q4；
（2）81m4－72m2n2
+
16n4
（4）先把多项式看作整体再运用公式
【例13】分解因式：（1）(
a
+
b
)2－c2；
（2）(
a
+
b
)2－4(
a
+
b－1)
（5）先把多项式重新排列再运用公式
【例14】分解因式：（1）－n2
+
m2；
（2）－2nm
+
n2
+
m2
知识点七、总结提升
（学有余力的同学可完成）
因式分解结果的标准形式
常见典型错误或者不规范形式
符合定义，结果一定是乘积的形式
既约整式，不能含有中括号
最后的因式的不能再次分解
单项式因式写在多项式因式的前面
相同的因式写成幂的形式
每个因式第一项系数一般不为负数
每个因式第一项系数一般不为分数
因式中不能含有分式
因式中不能含有无理数
1、
提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例
1、分解因式：
（1）
（2）2x
(
x－y
)2
+
(
y－x
)3；
2、
应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用
来把某些多项式分解因式。
例
2、分解因式：
（1）
（2）
（3）16
(a－b
)2－9(a
+
b)2
（4）
3、
分组分解法
要把多项式
am+an+bm+bn
分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式
a，把它后两项分成一组，并提出公因式
b，从而得到
a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式
m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3.分解因式：
例4、分解因式：
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
练习：分解因式3、
4、
综合练习：（1）
（2）
4、
十字相乘法
已知，那么将因式分解，则结果为．
例：因式分解：
或
∴原式
问题：二次三项式如何因式分解？
十字相乘法小口诀：首尾分解，交叉相乘，
实验筛选，求和凑中．
十字相乘法适用类型：二次三项式
二次三项齐次式
例：因式分解：
或
∴原式
特殊地，如果，则必有因式；
如果，则必有因式．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
5、拆添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例3.
分解因式：
解一（拆项）：
解二（添项）
=
=
=
分解因式：
分解因式
6、
换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行
因式分解，最后再转换回来。
例
6、
设，则
8、
求根法
利用特殊值法令多项式
f(x)=0,求出其根为
x
,x
,x
,……x
,
例：（1）观察可知，当__________时，．可得_________是多项式的一个因式．因式分解：________________．
（2）观察可知，当_________时，．可得________是多项式的一个因式．因式分解：________________．
解：（1）当时，．可得是多项式的一个因式．
因式分解：．
（2）当时，．可得是多项式的一个因式．因式分解：．
（1）
(2)
(3)
9、待定系数法
待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。
（1）已知关于x的多项式因式分解以后有一个因式为，试求m的值，并将多项式因式分解．
（2）若是的一个因式，求pq的值．
（1）由题意可知，，
由一次项系数可得，
∴原式．
（2）∵的三次项与一次项系数均为0，∴
∴，∴．
例1.已知关于x的多项式因式分解以后有一个因式为，试求m的值，并将多项式因式分解．
例2.已知多项式能分解为两个一次因式的乘积，求k的值．
例3.当m取何值时，多项式可以分解成两个一次因式的积．
例4.
如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，由此分为两种情况进行讨论。
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