几何概型
图片预览
文档简介
几何概型
【一、课前预习】
1. 基本事件的概念: 一个事件如果 事件，就称作基本事件.
基本事件的两个特点:
10.任何两个基本事件是 的；
20.任何一个事件(除不可能事件)都可以 .
2. 古典概型的定义
古典概型有两个特征：
10.试验中所有可能出现的基本事件 ；
20.各基本事件的出现是 ，即它们发生的概率相同．
具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型.
3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：
.
4.几何概型的概念：10.将每个基本事件理解为从某个特定的几何 ，该区域中每
一点被取到的机会都一样；
20.一个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的 ．
用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
5.几何概型的概率公式：在区域中随机地取一点, 记事件＂该点落在其内部一个区
域内＂，则事件发生的概率为：
.
【二、知识点剖析部分】
几何概型：
掌握要点：
1.几何概型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
2. 几何概型的特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等．
3. 几何概型的概率公式：
P（A）=；
易混易错：
古典概型与几何概型的特点相混淆，不能区分是古典概型问题还是几何概型问题。
不能选择适当的度量角度。
【三、典型例题剖析:】
运用几何概型概率公式求概率
方法归纳：
计算几何概型概率就是要计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度（面积、角度、体积），具体方法为：
适当选择观察角度
把基本事件转化为与之对应的区域
把随机事件转化为与之对应的区域
利用概率公式计算
如果事件A对应的区域不好处理，可以利用对立事件概率公式逆向思维进行求解。
例1 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．
思路点拨:
如果试验的结构所构成的区域的几何度量可以用长度表示,则可以按公式
P(A)=计算.
解答示范:
解:可以认为人在任一时刻到站是等可能的． 设上一班车离站时刻为a，则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a, a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2, a+5)中的任一时刻。
P(A)= =
例2、如图，，，，在线段上任取一点，
试求：(1)为钝角三角形的概率；
(2)为锐角三角形的概率．
解：如图，由平面几何知识：当时，；
当时，，．
（１）当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形
记＂为钝角三角形＂为事件，则
即为钝角三角形的概率为．
（２）当且仅当点在线段上时，为锐角三角，记＂为锐角三角＂为事件，则 即为锐角三角形的概率为．
例3、在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．
解：设构成三角形的事件为A，长度为10的线段被分成三段的长度分别为x，y，10－（x＋y），
则 ，即．
由一个三角形两边之和大于第三边，有
，即．
又由三角形两边之差小于第三边，有
，即，同理．
∴ 构造三角形的条件为．
∴ 满足条件的点P（x，y）组成的图形是如图所示中的阴影区域（不包括区域的边界）．
，．
∴ ．
【四、高考连接：】
1．（2005 潍坊）向面积为6的三角形ABC内任意投一点P，那么的面积小于2的概率为
答案：
2．（2007 海南 宁夏）设有关于x的一元二次方程
（1）若a是从0、1、2、3四个数中任意取的一个数，b是从0、1、2三个数中任意取一个数，求上述方程有实根的概率。
（2）若a是从区间[0，3]任意取的一个数，b是从区间[0，2]上任意取的一个数，求上述方程有实根的概率。
答案：
设事件A为“方程有实根”
当a>0,b>0时，方程有实根的充要条件为，所以基本事件总数共有12个，事件A 中包含了9个基本事件，所以P（A）=
试验的全部结果所构成的区域为
构成事件A的区域为
所以P（A）=
【五、巩固练习】
一、选择题
1. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是.
A. B. C. D.不确定
2. 已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是
A. B. C. D.
3. 在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是.
A. B. C. D.
4.函数f(x)=x-x-2,x[-5,5], 那么任取一点x使f(x)>0的概率为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
5.甲、乙二人街头约会，约定谁先到后须等待10分钟，这时若另一个人还没有来就可以离开。现在甲是1点半到达的。假设乙在1点到2点内到达，且乙在1点到2点之间何时到达时等可能的，则甲以能见面的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
6. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.
7. 如下图，在一个边长为a、b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.
8. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是________.
9. 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是________.
10. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.
三、解答题
11. 在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，含有麦锈病种子的概率是多少？
12. 在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
13. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.
14. 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r15两人相约于 7 时到 8 时在公园见面，先到者等候 20 分钟就可离去，求两人能够见面的概率。
16.已知等腰直角中，，在直角边BC上任取一点M。求<的概率。
5
5
10
10
x
y
O
【一、课前预习】
1. 基本事件的概念: 一个事件如果 事件，就称作基本事件.
基本事件的两个特点:
10.任何两个基本事件是 的；
20.任何一个事件(除不可能事件)都可以 .
2. 古典概型的定义
古典概型有两个特征：
10.试验中所有可能出现的基本事件 ；
20.各基本事件的出现是 ，即它们发生的概率相同．
具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型.
3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P(A)定义为：
.
4.几何概型的概念：10.将每个基本事件理解为从某个特定的几何 ，该区域中每
一点被取到的机会都一样；
20.一个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域内的 ．
用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
5.几何概型的概率公式：在区域中随机地取一点, 记事件＂该点落在其内部一个区
域内＂，则事件发生的概率为：
.
【二、知识点剖析部分】
几何概型：
掌握要点：
1.几何概型定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
2. 几何概型的特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等．
3. 几何概型的概率公式：
P（A）=；
易混易错：
古典概型与几何概型的特点相混淆，不能区分是古典概型问题还是几何概型问题。
不能选择适当的度量角度。
【三、典型例题剖析:】
运用几何概型概率公式求概率
方法归纳：
计算几何概型概率就是要计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度（面积、角度、体积），具体方法为：
适当选择观察角度
把基本事件转化为与之对应的区域
把随机事件转化为与之对应的区域
利用概率公式计算
如果事件A对应的区域不好处理，可以利用对立事件概率公式逆向思维进行求解。
例1 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求任一人在该车站等车时间少于3分钟的概率（假定车到来后每人都能上）．
思路点拨:
如果试验的结构所构成的区域的几何度量可以用长度表示,则可以按公式
P(A)=计算.
解答示范:
解:可以认为人在任一时刻到站是等可能的． 设上一班车离站时刻为a，则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a, a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2, a+5)中的任一时刻。
P(A)= =
例2、如图，，，，在线段上任取一点，
试求：(1)为钝角三角形的概率；
(2)为锐角三角形的概率．
解：如图，由平面几何知识：当时，；
当时，，．
（１）当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形
记＂为钝角三角形＂为事件，则
即为钝角三角形的概率为．
（２）当且仅当点在线段上时，为锐角三角，记＂为锐角三角＂为事件，则 即为锐角三角形的概率为．
例3、在长度为10的线段内任取两点将线段分为三段，求这三段可以构成三角形的概率．
解：设构成三角形的事件为A，长度为10的线段被分成三段的长度分别为x，y，10－（x＋y），
则 ，即．
由一个三角形两边之和大于第三边，有
，即．
又由三角形两边之差小于第三边，有
，即，同理．
∴ 构造三角形的条件为．
∴ 满足条件的点P（x，y）组成的图形是如图所示中的阴影区域（不包括区域的边界）．
，．
∴ ．
【四、高考连接：】
1．（2005 潍坊）向面积为6的三角形ABC内任意投一点P，那么的面积小于2的概率为
答案：
2．（2007 海南 宁夏）设有关于x的一元二次方程
（1）若a是从0、1、2、3四个数中任意取的一个数，b是从0、1、2三个数中任意取一个数，求上述方程有实根的概率。
（2）若a是从区间[0，3]任意取的一个数，b是从区间[0，2]上任意取的一个数，求上述方程有实根的概率。
答案：
设事件A为“方程有实根”
当a>0,b>0时，方程有实根的充要条件为，所以基本事件总数共有12个，事件A 中包含了9个基本事件，所以P（A）=
试验的全部结果所构成的区域为
构成事件A的区域为
所以P（A）=
【五、巩固练习】
一、选择题
1. 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是.
A. B. C. D.不确定
2. 已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min.则乘客到达站台立即乘上车的概率是
A. B. C. D.
3. 在1万 km2的海域中有40 km2的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是.
A. B. C. D.
4.函数f(x)=x-x-2,x[-5,5], 那么任取一点x使f(x)>0的概率为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
5.甲、乙二人街头约会，约定谁先到后须等待10分钟，这时若另一个人还没有来就可以离开。现在甲是1点半到达的。假设乙在1点到2点内到达，且乙在1点到2点之间何时到达时等可能的，则甲以能见面的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
6. 如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.
7. 如下图，在一个边长为a、b（a＞b＞0）的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________.
8. 两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是________.
9. 如下图，在直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任作一条射线OA，则射线落在∠xOT内的概率是________.
10. 如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率为_________.
三、解答题
11. 在1 L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10 mL，含有麦锈病种子的概率是多少？
12. 在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率.
13. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率.
14. 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
16.已知等腰直角中，，在直角边BC上任取一点M。求<的概率。
5
5
10
10
x
y
O