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(共23张PPT)
山东省临沂第二中学高二数学组
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是
否有关系的一种统计方法。
所谓“分类变量”，就是指个体所属的类别不同，也
称为属性变量或定型变量。
在日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是
否有关系，例如吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对
于喜欢数学课程有影响等等。
吸烟与患肺癌列联表
患肺癌 不患肺癌 总计
吸烟 49 2099 2148
不吸烟 42 7775 7817
总计 91 9874 9965
为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
列联表2×2
在不吸烟者中患肺癌的比重是
在吸烟者中患肺癌的比重是
0.54%
2.28%
1)通过图形直观判断
三维柱状图
2) 通过图形直观判断
二维
条形图
3)通过图形直观判断
患肺癌
比例
不患肺癌
比例
等高
条形图
问题1：判断的标准是什么？
吸烟与不吸烟，患病的可能性的大小是否有差异？
说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大
问题2：差异大到什么程度才能作出“吸烟与患病有关”的判断？
问题3：能否用数量刻画出“有关”的程度？
独立性检验
H0： 吸烟和患肺癌之间
没有关系
通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患肺癌有关
结论的可靠程度如何？
吸烟与患肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟 a b a+b
吸烟 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
吸烟的人中不患肺癌的比例：
不吸烟的人中不患肺癌的比例：
若H0成立
引入一个随机变量：卡方统计量
作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准 。
通过公式计算
吸烟与患肺癌列联表
患肺癌 不患肺癌 总计
吸烟 49 2099 2148
不吸烟 42 7775 7817
总计 91 9874 9965
已知在 成立的情况下，
故有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关系”。
即在 成立的情况下， 大于6.635概率非常小，近似为0.010
现在的 =56.632的观测值远大于6.635，出现这样的观测值的概率不超过0.010。
a+b+c+d
b+d
a+c
总计
c+d
d
c
a+b
b
a
总计
一般地，对于两个分类变量X和Y。X有两类取值：
即类 和 （如吸烟与不吸烟）；Y也有两类取值：
即类 和 （如患病与不患病）。于是得到下列样
本频数的2×2列联表为：
用卡方统计量来确定在多大程度上可以认为
“两个分类变量有关系”的方法称为这两个分类变
量的独立性检验。
要推断“X和Y有关系”，可按下面的步骤进行：
（1）提出假设H0 ：X和Y没有关系；
（3）查对临界值，作出判断。
（2）根据2×2列联表与公式计算 的值；
10.828
7.879
6.635
5.024
3.841
0.001
0.005
0.010
0.025
0.05
2.706
2.072
1.323
0.708
0.455
0.10
0.15
0.25
0.40
0.50
P（ ）
反证法原理与假设检验原理
反证法原理： 在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。
假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。
例1.在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人
中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患心脏病而住
院的男性病人中有175秃顶.分别利用图形和独立性检
验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系 你所得的结论
在什么范围内有效
秃顶与患心脏病列联表
患心脏病 患其他病 总计
秃顶 214 175 389
不秃顶 451 597 1048
总计 665 772 1437
有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”
说明：在熟悉独立性检验的原理后，可以通过直接计算K 的观测值（不画等高条形图）来解决两个分类变量的独立性检验问题，但是，借助图形更直观。
犯错误的概率是指将“秃顶与患心脏病有关系”错判成“秃顶与心脏病没有关系”的概率
例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关
系。在某城市的某校高中生随机抽取300名学生。得到
如下列联表：
性别与喜欢数学课程列联表
喜欢 不喜欢 总计
男 37 85 122
女 35 143 178
总计 72 228 300
由表中数据计算得到K2的观测值k≈4.514。能够以95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？为什么？
解：在假设 “性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”
的前提下， 应该很小，并且
而我们所得到的 的观测值 超过3.841，这就
意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论
是错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与
是否喜欢数学课程之间有关系”。
练习: ( P17 )
甲乙两个班级进行一门考试,按照学生考试成绩优秀和
不优秀统计后,得到如下列联表:
优秀 不优秀 总计
甲班 10 35 45
乙班 7 38 45
总计 17 73 90
画出列联表的条形图,并通过图形判断成绩与班级是否
有关.利用列联表的独立性检验估计,认为“成绩与班级
有关系”犯错误的概率是多少。
由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”，由表中
数据计算，得 的观察值为 。由教科书中表
1-12，得
从而由50%的把握认为“成绩优秀与班级有关系”，即断言“成
绩优秀与班级有关系”犯错误的概率为0.5。
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
优秀
不优秀
列联表的条形图：
作业：P16
习题1.2
第一题 第二题
再见
山东省临沂第二中学高二数学组
1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
在统计学中，独立性检验就是检验两个分类变量是
否有关系的一种统计方法。
所谓“分类变量”，就是指个体所属的类别不同，也
称为属性变量或定型变量。
在日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是
否有关系，例如吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对
于喜欢数学课程有影响等等。
吸烟与患肺癌列联表
患肺癌 不患肺癌 总计
吸烟 49 2099 2148
不吸烟 42 7775 7817
总计 91 9874 9965
为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
列联表2×2
在不吸烟者中患肺癌的比重是
在吸烟者中患肺癌的比重是
0.54%
2.28%
1)通过图形直观判断
三维柱状图
2) 通过图形直观判断
二维
条形图
3)通过图形直观判断
患肺癌
比例
不患肺癌
比例
等高
条形图
问题1：判断的标准是什么？
吸烟与不吸烟，患病的可能性的大小是否有差异？
说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大
问题2：差异大到什么程度才能作出“吸烟与患病有关”的判断？
问题3：能否用数量刻画出“有关”的程度？
独立性检验
H0： 吸烟和患肺癌之间
没有关系
通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患肺癌有关
结论的可靠程度如何？
吸烟与患肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌 总计
不吸烟 a b a+b
吸烟 c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
吸烟的人中不患肺癌的比例：
不吸烟的人中不患肺癌的比例：
若H0成立
引入一个随机变量：卡方统计量
作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准 。
通过公式计算
吸烟与患肺癌列联表
患肺癌 不患肺癌 总计
吸烟 49 2099 2148
不吸烟 42 7775 7817
总计 91 9874 9965
已知在 成立的情况下，
故有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关系”。
即在 成立的情况下， 大于6.635概率非常小，近似为0.010
现在的 =56.632的观测值远大于6.635，出现这样的观测值的概率不超过0.010。
a+b+c+d
b+d
a+c
总计
c+d
d
c
a+b
b
a
总计
一般地，对于两个分类变量X和Y。X有两类取值：
即类 和 （如吸烟与不吸烟）；Y也有两类取值：
即类 和 （如患病与不患病）。于是得到下列样
本频数的2×2列联表为：
用卡方统计量来确定在多大程度上可以认为
“两个分类变量有关系”的方法称为这两个分类变
量的独立性检验。
要推断“X和Y有关系”，可按下面的步骤进行：
（1）提出假设H0 ：X和Y没有关系；
（3）查对临界值，作出判断。
（2）根据2×2列联表与公式计算 的值；
10.828
7.879
6.635
5.024
3.841
0.001
0.005
0.010
0.025
0.05
2.706
2.072
1.323
0.708
0.455
0.10
0.15
0.25
0.40
0.50
P（ ）
反证法原理与假设检验原理
反证法原理： 在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立。
假设检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就推断这个假设不成立。
例1.在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人
中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患心脏病而住
院的男性病人中有175秃顶.分别利用图形和独立性检
验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系 你所得的结论
在什么范围内有效
秃顶与患心脏病列联表
患心脏病 患其他病 总计
秃顶 214 175 389
不秃顶 451 597 1048
总计 665 772 1437
有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”
说明：在熟悉独立性检验的原理后，可以通过直接计算K 的观测值（不画等高条形图）来解决两个分类变量的独立性检验问题，但是，借助图形更直观。
犯错误的概率是指将“秃顶与患心脏病有关系”错判成“秃顶与心脏病没有关系”的概率
例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关
系。在某城市的某校高中生随机抽取300名学生。得到
如下列联表：
性别与喜欢数学课程列联表
喜欢 不喜欢 总计
男 37 85 122
女 35 143 178
总计 72 228 300
由表中数据计算得到K2的观测值k≈4.514。能够以95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？为什么？
解：在假设 “性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”
的前提下， 应该很小，并且
而我们所得到的 的观测值 超过3.841，这就
意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论
是错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与
是否喜欢数学课程之间有关系”。
练习: ( P17 )
甲乙两个班级进行一门考试,按照学生考试成绩优秀和
不优秀统计后,得到如下列联表:
优秀 不优秀 总计
甲班 10 35 45
乙班 7 38 45
总计 17 73 90
画出列联表的条形图,并通过图形判断成绩与班级是否
有关.利用列联表的独立性检验估计,认为“成绩与班级
有关系”犯错误的概率是多少。
由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”，由表中
数据计算，得 的观察值为 。由教科书中表
1-12，得
从而由50%的把握认为“成绩优秀与班级有关系”，即断言“成
绩优秀与班级有关系”犯错误的概率为0.5。
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
优秀
不优秀
列联表的条形图：
作业：P16
习题1.2
第一题 第二题
再见