几何概型
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几何概型
一、选择题：
1．在20kg的水中有一只小虫在游动，从中取出5kg水，则小虫在这5kg水中的概率是（ ）
A. B. C. D.无法确定
2．在数轴上，设点在中按均匀分布出现，记点为事件，则的值为（ ）
A.1 B.0 C. D.
3．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30，宽20的长方形，海豚嘴尖离岸边不超过2的概率为（ ）
A. B. C. D.
4．半径为R的圆内有一个内接正方形，现在向圆内任意投小镖，则镖落在正方形内的概率是（ ）
A. B. C. D.
5．已知直线,,则直线在轴上的截距大于1的概率是 （ ）
A. B. C. D.
6．如图，将一个圆形木板等分成4个区域，将任意飞镖投到圆形木板上，则该飞镖
投到区域的概率为（ ）A. B. C. D.
7．如图，在平面直角坐标系中，射线为的终边，
在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在
内的概率是（ ） A. B. C. D.
8．函数,,那么任意使的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题: 请把答案填在题中横线上（每小题6分，共12分）.
9．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看见红灯的概率是 ，看见黄灯的概率是 ，看见的不是红灯的概率是 .
10．在面积为的△ABC的边AB上任取一点,则△PBC的面积大于的概率是 .
三、解答题: 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤(共40分) .
11．(20分)在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率.
12．（20分）某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，
（1）求一个乘客到达车站后候车时间大于10分钟的概率；
（2）求候车时间不超过10分钟的概率.
几何概型例题分析
[例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。
[例2] 设A为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A连接，求弦长超过半径倍的概率。
[例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过的概率。
[例4] 两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机只有离基地25km范围内才能收到，下午3：00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。
[例6] 在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求是锐角三角形的概率。
[例7]将长为L的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率．
一、选择题
1、取一根长度为3cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么间的两段的长都不小于m的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
2、某人睡午觉醒来， 发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间小于10分钟的概率是（ ）A、 B、 C、 D、
3、在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（ ）A、 B、 C、 D、
4、在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油，假若在海域中任意一点钻探，那么钻到油层面的概率是（ ）A、 B、 C、 D、
二、填空题
5、已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是__________________________。
6、边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落在圆及正方形夹的部分的概率是__________________________。
7、在等腰直角三角形ABC中，在斜线段AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率是_______________________。
8、几何概率的两个特征：（1）________________________________________________________。
（2）________________________________________________________。
9、在400ml自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率是________________________________。
10、对于几何概率，概率为0的事件是否可能发生？_________________。
11、在线段[0，a]上随机地投三个点，试求由点O到三个点的线段能构成一个三角形的概率是_____________________________________。
12、两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候后到者20分钟，过时就可离开，这两人能会面的概率为____________________________________________。
13、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，则乘客候车不超过3分钟的概率是___________________。
三、解答题
14、如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？
15、在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽样统计，得到某城市一个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：
（1）3个投保人都能活到75岁的概率；
（2）3个投保人中只有1人能活到75岁的概率；
（3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率．（结果精确到0.01）
1. B 2. C 3.C 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C
9. 10. 11. 12.（1） （2）
2参考答案2
1解：设x为甲到达时间，为乙到达时间.建立坐标系，如图时可相见，即阴影部分
2解：. ∴
解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为，则基本事件组所对应的几何区域可表示为
，即图中黄色区域，此区域面积为。
事件“三段的长度都不超过”所对应的几何区域可表示为
，
即图中最中间三角形区域，此区域面积为
此时事件“三段的长度都不超过”的概率为
解：设为张三、李四与基地的距离，，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对，表示区域总面积为1200，可以交谈即
故
解法1：记的三内角分别为，，事件A表示“是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合
。
因为是锐角三角形的条件是
且
所以事件A构成集合
由图2可知，所求概率为
。
解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。
解：设“3段构成三角形”．分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为．．
由题意，要构成三角形，须有，即；
，即；，即．
故．
如图1所示，可知所求概率为．
参考答案3
一、选择题
1、B； 2、A； 3、D； 4、C；
二、填空题
5、
6、
7、
8、（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的区域来表示。
（2）每次试验的各种结果是等可能的。
9、0.005
10、不可能
11、0.5
12、
13、0．6
三、解答题
14、解：因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的
所以符合几何概型的条件。
设A＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得
正方形面积为：25×25＝625
两个等腰直角三角形的面积为：2××23×23＝529
带形区域的面积为：625－529＝96
∴ P（A）＝
15、解：（1）
（2）
（3）
A
B
C
D
O
T
y
x
一、选择题：
1．在20kg的水中有一只小虫在游动，从中取出5kg水，则小虫在这5kg水中的概率是（ ）
A. B. C. D.无法确定
2．在数轴上，设点在中按均匀分布出现，记点为事件，则的值为（ ）
A.1 B.0 C. D.
3．一海豚在水池中自由游弋，水池为长30，宽20的长方形，海豚嘴尖离岸边不超过2的概率为（ ）
A. B. C. D.
4．半径为R的圆内有一个内接正方形，现在向圆内任意投小镖，则镖落在正方形内的概率是（ ）
A. B. C. D.
5．已知直线,,则直线在轴上的截距大于1的概率是 （ ）
A. B. C. D.
6．如图，将一个圆形木板等分成4个区域，将任意飞镖投到圆形木板上，则该飞镖
投到区域的概率为（ ）A. B. C. D.
7．如图，在平面直角坐标系中，射线为的终边，
在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在
内的概率是（ ） A. B. C. D.
8．函数,,那么任意使的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题: 请把答案填在题中横线上（每小题6分，共12分）.
9．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时，看见红灯的概率是 ，看见黄灯的概率是 ，看见的不是红灯的概率是 .
10．在面积为的△ABC的边AB上任取一点,则△PBC的面积大于的概率是 .
三、解答题: 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤(共40分) .
11．(20分)在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率.
12．（20分）某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，
（1）求一个乘客到达车站后候车时间大于10分钟的概率；
（2）求候车时间不超过10分钟的概率.
几何概型例题分析
[例1] 甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好当其中一人先到后一定要等另一人15分钟，若另一人仍不到则可以离去，试求这人能相见的概率。
[例2] 设A为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A连接，求弦长超过半径倍的概率。
[例3] 将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过的概率。
[例4] 两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们对讲机只有离基地25km范围内才能收到，下午3：00张三在基地正东30km内部处，向基地行驶，李四在基地正北40km内部处，向基地行驶，试问下午3：00，他们可以交谈的概率。
[例6] 在单位圆的圆周上随机取三点A、B、C，求是锐角三角形的概率。
[例7]将长为L的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率．
一、选择题
1、取一根长度为3cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么间的两段的长都不小于m的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
2、某人睡午觉醒来， 发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间小于10分钟的概率是（ ）A、 B、 C、 D、
3、在线段[0，3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（ ）A、 B、 C、 D、
4、在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油，假若在海域中任意一点钻探，那么钻到油层面的概率是（ ）A、 B、 C、 D、
二、填空题
5、已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘上车的概率是__________________________。
6、边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落在圆及正方形夹的部分的概率是__________________________。
7、在等腰直角三角形ABC中，在斜线段AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率是_______________________。
8、几何概率的两个特征：（1）________________________________________________________。
（2）________________________________________________________。
9、在400ml自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率是________________________________。
10、对于几何概率，概率为0的事件是否可能发生？_________________。
11、在线段[0，a]上随机地投三个点，试求由点O到三个点的线段能构成一个三角形的概率是_____________________________________。
12、两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候后到者20分钟，过时就可离开，这两人能会面的概率为____________________________________________。
13、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，则乘客候车不超过3分钟的概率是___________________。
三、解答题
14、如图，在边长为25cm的正方形中挖去边长为23cm的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？
15、在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽样统计，得到某城市一个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：
（1）3个投保人都能活到75岁的概率；
（2）3个投保人中只有1人能活到75岁的概率；
（3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率．（结果精确到0.01）
1. B 2. C 3.C 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C
9. 10. 11. 12.（1） （2）
2参考答案2
1解：设x为甲到达时间，为乙到达时间.建立坐标系，如图时可相见，即阴影部分
2解：. ∴
解：设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为，则基本事件组所对应的几何区域可表示为
，即图中黄色区域，此区域面积为。
事件“三段的长度都不超过”所对应的几何区域可表示为
，
即图中最中间三角形区域，此区域面积为
此时事件“三段的长度都不超过”的概率为
解：设为张三、李四与基地的距离，，以基地为原点建立坐标系.他们构成实数对，表示区域总面积为1200，可以交谈即
故
解法1：记的三内角分别为，，事件A表示“是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合
。
因为是锐角三角形的条件是
且
所以事件A构成集合
由图2可知，所求概率为
。
解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。
解：设“3段构成三角形”．分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为．．
由题意，要构成三角形，须有，即；
，即；，即．
故．
如图1所示，可知所求概率为．
参考答案3
一、选择题
1、B； 2、A； 3、D； 4、C；
二、填空题
5、
6、
7、
8、（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的区域来表示。
（2）每次试验的各种结果是等可能的。
9、0.005
10、不可能
11、0.5
12、
13、0．6
三、解答题
14、解：因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的
所以符合几何概型的条件。
设A＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得
正方形面积为：25×25＝625
两个等腰直角三角形的面积为：2××23×23＝529
带形区域的面积为：625－529＝96
∴ P（A）＝
15、解：（1）
（2）
（3）
A
B
C
D
O
T
y
x