3.2.1双曲线及其标准方程 课件-2021年秋高中数学人教版（2019）选择性必修一（45张PPT）

3.2.1 双曲线及其标准方程
高二年级 数学
圆锥曲线
椭 圆
双曲线
抛物线
焦点在 y 轴上的椭圆标准方程：
焦点在 x 轴上的椭圆标准方程：
一、复习引入
椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数　　　　　　　（大于|F1F2|）的点的轨迹．
设点
建系
列式
化简、检验．
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数　　　　　　　（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．
平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
思考
探索
A
B
P
l
F1
F2
A
B
P
F1
F2
M
M1
A
B
P
F1
F2
M
M1
A
B
P
F1
F2
M
A
B
P
F1
F2
M
A
B
P
F1
F2
A
B
P
F1
F2
A
B
P
F1
F2
M
A
B
P
F1
F2
M
A
B
P
F1
F2
M
M1
A
B
P
F1
F2
M
M1
（B ）
A
P
F1
F2
M
M1
二、新知探究
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
F1
F2
M
x
y
O
类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
探索：
F1
F2
x
y
O
F1
F2
x
y
O
双曲线标准方程的推导
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy．
设 M ( x ，y )是双曲线上任意一点，
双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，
则有F1（ -c，0），F2 ( c，0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a 为大于 0 的常数)．
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
①
两边平方，整理得：
双曲线上任意一点的坐标（x，y）都是方程②的解；
以方程②的解为坐标的点（x，y）与双曲线的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0）的距离之差的绝对值都为2a，
②
即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．
我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.
它表示焦点在 x 轴上，两个焦点分别是 F1（- c，0），F2（c，0） 的双曲线，
这里 ．
②
思考
如图，双曲线的焦距为 2c ，焦点分别是
F1（0 ，-c），F2（0 ，c）．a ，b 的意义同上，
这时双曲线的方程是
焦点在 y 轴上的双曲线标准方程：
焦点在 x 轴上的双曲线标准方程：
观察双曲线标准方程的特点：
1．两个焦点位置（在 x 轴还是在 y 轴）与负号的关系；
2．方程中 x， y 与 a，b 的对应位置．
{D7AC3CCA-C797-4891-BE02-D94E43425B78}椭圆及其标准方程
双曲线及其标准方程
三、典例解析
探索
如图设 A，B 两点的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线 AM，BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 ，试求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1 例 3 比较，你有什么发现？
分析：设点 M 的坐标为（x ，y），那么直线 AM，BM 的斜率就可用含 x，y 的关系式分别表示．由直线 AM，BM的斜率之积是 ，可得出 x，y 之间的关系式，进而得到点 M 的轨迹方程．
解：设点M 的坐标为（x，y），因为点A的坐标为（- 5，0）， 所以直线 AM 的斜率
由已知，有
同理，直线 BM 的斜率
所以点M 的轨迹是除去（-5，0），（5，0）两点的双曲线.
化简，得点M 的轨迹方程为
练习
归
纳
总
结
标准方程
图 形
焦点坐标
双曲线定义
a、b、c 的关系
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹．
四、课后作业
（1）教材P121练习 2，3，4 ．
（2）教材P127习题3.2 1，2 ．
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