3.1.1椭圆及其标准方程 课件-2020年秋高中数学人教版（2019）选择性必修一（39张PPT）

3.1.1 椭圆及其标准方程
高二年级 数学
圆锥曲线的发现与研究始于古希腊.当时人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的性质的自然推广.17世纪，笛卡尔发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数方法研究圆锥曲线.
椭圆及其标准方程
1.与一定点的距离等于定长的点的集合
2.那么与两定点的距离之和为一定长的点的集合
又是什么图形呢？
是圆.
一、新课导入
1.在一张白纸上用两个钉子固定两个点F1，F2，取一条定长
为l的细绳，使它的两端固定在F1，F2上.
2.套上铅笔，拉紧绳子，使笔尖慢慢移动.
小实验
通过刚才的小实验，得到的图形，我们把它定义为椭圆.
二、新课讲解
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点.
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫做半焦距.
我们设PF1与PF2的距离之和为2a，定点F1与F2之间的距离为2c.
当2a>2c时，
动点P的运动轨迹为一个椭圆.
当2a=2c时，
动点P的运动轨迹为线段F1F2.
当2a<2c时，
动点P没有运动轨迹.
求曲线方程的基本步骤？
设点
建系
列式
化简、检验.
建立平面直角坐标系通常遵循的原则？
对称、简洁.
O
x
y
O
x
y
O
x
y
F1
F2
方案二
O
x
y
P
方案一
F1
F2
P
椭圆标准方程的推导
F1
F2
x
y
P( x ，y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点.
设|F1F2|=2c，则有F1（-c，0），F2(c，0).
椭圆上的点满足|PF1|+|PF2|=2a，且2a >2c.
则：
①
O
为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得
对方程②两边平方，得
②
整理，得
③
对方程③两边平方，得
整理，得
将方程④两边同除以
④
⑤
由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以
x
y
F1
F2
P
O
令 那么方程⑤就是
⑥
由于方程②③的两边都是非负实数，因此，方程①到方程⑥的变形都是同解变形.
这样，椭圆上任意一点的坐标（x，y）都满足方程⑥；
反之，以方程⑥的解为坐标的点（x，y）与椭圆的两个焦点（c，0），（-c，0）的距离之和为2a，
即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.
我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.
它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0）的椭圆.
这里
对于方案二，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为（0，-c），（0，c），a，b的意义同上，容易知道，此时椭圆的方程为
这个方程也是椭圆的标准方程.
1.方程的右边是常数1.
2.方程的左边是和的形式，每一项的分子是 x2，y2，
分母是两个不等的正数.
椭圆标准方程的特点：
焦点在y轴上的椭圆标准方程：
焦点在x轴上的椭圆标准方程：
三、应用巩固
例1 已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并且经过点 求它的标准方程.
方法一：
解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知，c=2，
三、应用巩固
例1 已知椭圆的两个焦点分别是（-2，0），（2，0），并且经过点 求它的标准方程.
方法二：
解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
由椭圆的定义知，c=2，
将点 代入椭圆标准方程，得
解得
例2 如图，在圆x2+y2=4上取任意一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
分析：点P在圆x2+y2=4上运动，点P的运动引起点M运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程.
解：设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则点D的坐标为（x0，0）.由点M是线段PD的中点，得
因为点P（x0，y0）在圆x2+y2=4上，所以
x02+y02=4.
①
把x0=x，y0=2y代入方程①，得
x2+4y2=4，
所以点M的轨迹是椭圆.
例3 如图设A，B两点的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程.
分析：设点M的坐标为（x，y），那么直线AM，BM的斜率就可用含x，y的关系式分别表示.由直线AM，BM的斜率之积是 ，可得出x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标为（-5，0）， 所以直线AM的斜率
由已知，有
同理，直线BM的斜率
所以点M的轨迹是除去（-5，0），（5，0）两点的椭圆.
化简，得点M的轨迹方程为

1.一种方法（待定系数法）；
两种思想（数形结合、分类讨论）.
四、回顾反思
2.椭圆的定义；椭圆的标准方程.
标准方程
相同点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
分母哪个大，焦点就在相应的轴上.
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹.
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F2
F1
P
O
a2-c2=b2
五、课后作业
1．教材P109 练习 2(3)． 3 ．4．
2．教材P115 习题3.1 1．2．4．
六、目标检测
1.如果椭圆 上一点P与焦点F1的距离为6，那么点P与另一个焦点F2的距离为多少？
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）a=4，b=1，焦点在x轴上；
（2）a=4，c= ，焦点在y轴上.

1.如果椭圆 上一点P与焦点F1的距离为6，那么点P与另一个焦点F2的距离为多少？
解：根据椭圆定义，动点与两定点距离之和为2a，本题中a=10，所以|PF2|=20-6=14.
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）a=4，b=1，焦点在x轴上；
（2）a=4，c= ，焦点在y轴上.

解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，设椭圆标准方程为

将a，b的值代入，得到
（2）因为椭圆的焦点在y轴上，设椭圆标准方程为
根据b2=a2-c2，得到b2=16-15=1.
所以椭圆标准方程为
感 谢 观 看