圆周运动
限时：45分钟
一、单项选择题
1．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( D )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是匀变速运动
C．匀速圆周运动是线速度不变的运动
D．匀速圆周运动是线速度大小不变的运动
解析：这里的“匀速”，不是“匀速度”，也不是“匀变速”，而是速率不变，匀速圆周运动实际上是一种速度大小不变、方向时刻改变的变速运动．故D正确．
2．如图所示为一皮带传动装置，A、C在同一大轮上，B在小轮边缘上，在转动过程中皮带不打滑．已知R＝2r，RC＝R，则( C )
A．角速度ωC＝ωB
B．线速度vC＝vB
C．线速度vC＝vB
D．角速度ωC＝2ωB
解析：因为转动过程中皮带不打滑，所以通过皮带传动的两轮边缘上每一点的线速度都与皮带运动的速度大小相等；而同一个轮上每一点的角速度相等．
3．半径为R的大圆盘以角速度ω旋转，如图所示，有人站在盘边P点上随盘转动，他想用枪击中在圆盘中心的目标O，若子弹的速度为v0，则( D )
A．枪应瞄准目标O射去
B．枪应向PO的右方偏过θ角射去，而cosθ＝ωR/v0
C．枪应向PO的左方偏过θ角射去，而tanθ＝ωR/v0
D．枪应向PO的左方偏过θ角射去，而sinθ＝ωR/v0
解析：子弹射出时同时参与两个运动：沿射出方向的匀速运动和沿圆盘切线方向的匀速运动，要求子弹射中O，它相对于地面运动的速度应沿PO方向．根据三角函数可得sinθ＝ωR/v0.
4．如图所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从它的分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为( C )
A.
min
B．1
min
C.
min
D.
min
解析：分针与秒针的角速度分别为ω分＝
rad/s，ω秒＝rad/s.设两次重合的时间间隔为Δt，因φ分＝ω分
Δt，φ秒＝ω秒
Δt，φ秒－φ分＝2π，得Δt＝＝
s＝
s＝
min，故C正确．
5．如图所示的装置可测量子弹的飞行速度．在一根轴上相隔s＝1
m处安装两个平行的薄圆盘，使轴带动两盘以n＝3
000
r/min的转速匀速转动，飞行的子弹平行于轴沿一直线穿过两圆盘，即在盘上留下两个孔，现测得两小孔所在半径间的夹角为30°，子弹飞行速度大小可能是( B )
A．500
m/s
B．600
m/s
C．700
m/s
D．800
m/s
解析：转速n＝3
000
r/min＝50
r/s，圆盘的角速度ω＝2nπ＝100π
rad/s.子弹穿透两盘时，两小孔所在半径夹角为30°，说明盘转过的角度为
所以，子弹穿过两盘所用时间为：
由于子弹在沿两盘轴线方向做匀速直线运动，
所以子弹的飞行速度为
取不同的n，求得速度，只有v＝600
m/s符合，所以B正确．
子弹在两盘间飞行的同时，两盘都在转动，并且在这一段时间内圆盘转过的角度可能超过2π，因而考虑圆盘转过的角度时，应注意它的可能性，避免漏解．
二、多项选择题
6．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( AD )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为1∶3
解析：由v＝ωr，得r＝，＝＝，A对，B错；由T＝，得T甲∶T乙＝∶＝，C错，D对．
7．如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( BC )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n
D．从动轮的转速为n
解析：主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A项错误，B项正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C项正确，D项错误．
8．做匀速圆周运动的物体( CD )
A．因相等时间内通过的弧长相等，所以线速度恒定
B．如果物体在0.1
s内转过30°，则角速度为300
rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成正比
D．若半径为r，周期为T，则线速度v＝2πr/T
解析：线速度v＝s/t，反映质点沿圆弧运动的快慢程度，是矢量，大小恒定，方向沿圆弧切线方向，在不断地改变，故不能说v恒定．
三、非选择题
9．如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝ R ，圆盘转动的角速度ω＝ 2nπ(n＝1,2，3…) .
解析：小球做平抛运动，在竖直方向上有h＝gt2，则运动时间t＝.
又因为水平位移为R，所以小球的初速度v＝＝R.
在时间t内圆盘转过的角度θ＝n·2π(n＝1,2,3…)
又因为θ＝ωt，则圆盘转动的角速度ω＝＝＝2nπ(n＝1,2，3…)
10．如图所示为录音机在工作时的示意图，轮子1是主动轮，轮子2为从动轮，轮1和轮2就是磁带盒内的两个转盘，空带一边半径为r1＝0.5
cm，满带一边半径为r2＝3
cm，已知主动轮转速不变，恒为n1＝36
r/min，试求：
(1)从动轮2的转速变化范围；
(2)磁带运动的速度变化范围．
答案：(1)6
r/min～216
r/min
(2)0.019
m/s～0.113
m/s
解析：本题应抓住主动轮(r1)的角速度恒定不变这一特征，再根据同一时刻两轮磁带走动的线速度相等，从磁带转动时半径的变化来求解．
(1)因为v＝rω，且两轮边缘上各点的线速度相等，所以
r2＝r1，即n2＝n1.
当r2＝3
cm时，从动轮2的转速最小，nmin＝×36
r/min＝6
r/min.当磁带走完，即r2＝0.5
cm，r1＝3
cm时，从动轮2的转速最大，为nmax＝n1＝×36
r/min＝216
r/min，故从动轮2的转速变化范围是6
r/min～216
r/min.
(2)由v＝r1得，r1＝0.5
cm时
v2＝0.5×10－2×2π×
m/s≈0.019
m/s.
r1＝3
cm时，v′2＝3×10－2×2π×
m/s≈0.113
m/s.
故磁带运动的速度变化范围是0.019
m/s～0.113
m/s.
11．如图所示，钻床的电动机轴上的塔轮1、2、3和钻轴上的塔轮4、5、6的直径分别是d1＝d6＝160
mm，d2＝d5＝180
mm，d3＝d4＝200
mm，电动机的转速n＝900
r/min，求：
(1)皮带在2、5两轮时，钻轴的转速是多少？
(2)皮带在1、4两轮时，钻轴的转速是多少？
(3)皮带在3、6两轮时，钻轴的转速是多少？
答案：(1)900
r/min (2)720
r/min (3)1
125
r/min
解析：皮带传动中两轮边缘的线速度相等，由v＝ωr＝和ω＝2πn得v＝πnd.
(1)当皮带在2、5两轮上时，由v2＝v5，得＝，此时钻轴的转速n5＝＝×900
r/min＝900
r/min.
(2)同理，当皮带在1、4两轮上时，钻轴的转速n4＝＝×900
r/min＝720
r/min.
(3)同理，皮带在3、6两轮上时，钻轴的转速n6＝＝×900
r/min＝1
125
r/min.
12．如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B.一质量为m的小球从入口A沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使小球从出口B飞出，小球进入入口A处的速度v0应满足什么条件？
答案：v0＝nπR(n＝1,2,3，…)
解析：该题中小球的运动轨迹是空间螺旋曲线，可将其分解为两个简单的分运动：一个是以初速度v0在筒内壁弹力作用下做匀速圆周运动，如图甲所示；另一个是在重力作用下做自由落体运动．因此若将圆筒沿直线AB展开为平面，则小球沿圆筒壁的运动是平抛运动，如图乙所示．据此得小球在筒内运动的时间t＝.
由题设条件得水平方向的位移应是圆周长的整数倍，即
l＝v0t＝2nπR(n＝1,2,3…)．
联立以上两式得v0＝nπR
(n＝1,2,3…)．
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6向心力
限时：45分钟
一、单项选择题
1．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同时间里甲转过60°，乙转过45°，它们的向心力之比为( C )
A．1∶4
B．2∶3
C．4∶9
D．9∶16
解析：由匀速圆周运动的向心力公式Fn＝mω2r＝m()2r，所以＝＝×()2×＝，故C正确．
2．质量为m的飞机，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于( A )
A．m
B．m
C．m
D．mg
解析：空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动．对飞机的受力情况进行分析，飞机受到重力mg、空气对飞机的作用力F升，两力的合力为F，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg与F垂直，故F升＝，又F＝m，联立解得F升＝m
.
3．如图所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有( B )
A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心
B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心
C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力
D．圆盘对B的摩擦力和向心力
解析：以A、B整体为研究对象，受重力、圆盘的支持力及圆盘对B的摩擦力，重力与支持力平衡，摩擦力提供向心力，即摩擦力指向圆心．以A为研究对象，受重力、B的支持力及B对A的摩擦力，重力与支持力平衡，B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力，即方向指向圆心，由牛顿第三定律，A对B的摩擦力背离圆心，所以物体B在水平方向受圆盘指向圆心的摩擦力和A对B背离圆心的摩擦力，故B正确．
4．如图所示，M能在水平光滑杆上自由滑动，光滑杆连架装在转盘上．M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连．当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动．当转盘转速增至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M( B )
A．所受向心力变为原来的2倍
B．线速度变为原来的
C．半径r变为原来的
D．M的角速度变为原来的
解析：转速增加，再次稳定时，M做圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于m的重力，所以向心力不变．故A错误．转速增至原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，根据F＝mrω2，向心力不变，则r变为原来的.根据v＝rω，线速度变为原来的，故B正确，C、D错误．
5．如图所示，有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量为m的小环(可视为质点)，同时从大环两侧的对称位置由静止滑下，两小环同时滑到大环底部时，速度都为v，则此时大圆环对轻杆的拉力大小为( C )
A．(2m＋2M)g
B．Mg－2m
C．2m＋Mg
D．2m＋Mg
解析：两环在最低点受到重力和大环的弹力作用，由牛顿第二定律得FN－mg＝m，所以大环对两小环的弹力都为mg＋m.根据牛顿第三定律可知，两环对大环向下的弹力也都为mg＋m.以大环为研究对象，由力的平衡可求出轻杆对大环的拉力为2m＋Mg，即大环对轻杆的拉力也为2m＋Mg，选项C正确．
二、多项选择题
6．如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( CD )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
解析：小球受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力，它可以是小球所受合力沿绳子方向的分力，也可以是各力沿绳子方向的分力的合力，正确选项为C、D.
7．如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动．若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是
( BC )
A．A、B两球受到的向心力之比为2∶1
B．A、B两球角速度之比为1∶1
C．A、B两球运动半径之比为1∶2
D．A、B两球向心力之比为1∶2
解析：两球的向心力都由细绳拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A、D错，B对．设两球的运动半径分别为rA、rB，转动角速度为ω，则mArAω2＝mBrBω2，所以运动半径之比为rA∶rB＝1∶2，C正确．
8．如图所示，一个光滑的圆环M，穿着一个小环N，圆环M以竖直的AOB轴为转轴，做匀速转动，那么( AD )
A．环N所受的力是N的重力及M对N的支持力
B．环N所受的力是N的重力及N对M的压力
C．环N的向心力方向是指向大环圆心的
D．环N的向心力方向是垂直指向转轴的
解析：环N在垂直于AOB轴的平面上做圆周运动，因此N不是绕O做圆周运动，所以N的向心力不是指向大圆的圆心，而是垂直指向转轴的．N受到重力和环M提供的支持力．支持力在竖直方向的分力与重力平衡，水平方向的分力垂直指向轴AOB，提供N做圆周运动的向心力．
三、非选择题
9．质点沿半径为r的圆做匀速圆周运动，其向心力的大小为F，当使它的半径不变，使角速度增大到原来的2倍时，其向心力的大小比原来增大15
N，则原来的向心力的大小F＝__5__N.
解析：设质点做匀速圆周运动的角速度为ω，质点的质量为m.则依据向心力公式有F＝mrω2，当半径不变，使角速度增大到原来的2倍时，再依据向心力公式有F＋15
N＝4mrω2，联立以上两式解得F＝5
N.
10．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g.若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0.
答案：
解析：对小物块受力分析如图所示，
由牛顿第二定律知mgtanθ＝mω2·Rsinθ
得ω0＝.
11．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示．长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
答案：ω＝
解析：对座椅进行受力分析，如图所示．
y轴上：Fcosθ＝mg，①
x轴上：Fsinθ＝mω2(r＋Lsinθ)，②
则由得：tanθ＝，
因此ω＝.
12．如图所示，水平转盘上放一小木块，当转速为60
r/min时，木块离轴8
cm，并恰好与转盘间无相对滑动；当转速增加到120
r/min时，木块应放在离轴多远处才能刚好与转盘保持相对静止．
答案：2
cm
解析：木块刚好与转盘保持相对静止时，它们间的最大静摩擦力充当其随转盘做匀速圆周运动的向心力，则
Fn＝mωr1＝mωr2 ①
ω1＝2πn1 ②
ω2＝2πn2 ③
由①②③得r2＝＝＝2×8
cm＝2
cm.
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6向心加速度
限时：45分钟
一、单项选择题
1．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( B )
A．它描述的是线速度大小变化的快慢
B．它描述的是线速度方向变化的快慢
C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D．它描述的是角速度变化的快慢
解析：向心加速度描述了线速度方向变化的快慢，故选B.
2．一物体以12
m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为3
s，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为( D )
A.
m/s2
B．8
m/s2
C．0
D．8π
m/s2
解析：由于物体的线速度v＝12
m/s，角速度ω＝＝rad/s.所以它的速度变化率an＝vω＝12×m/s2＝8π
m/s2，D对．
3．如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( D )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
解析：由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．
4．做圆周运动的两物体A与B，它们的向心加速度分别为aA与aB，并且aA>aB，则可知( C )
A．A的线速度大于B的线速度
B．A的轨道半径一定较小
C．A的速度方向比B的速度方向变化得快
D．A的角速度比B的角速度小
解析：由an＝＝ω2r知an同时与r、ω、v中的两个有关系，故不能判定r、ω、v的大小，选项A、B、D错误；向心加速度的大小表示速度方向变化的快慢，故选项C正确．
5．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：物体抛出后在最高点的加速度为g，水平速度为v0cosα，由向心加速度公式a＝得g＝，故P点曲率半径ρ＝，C项正确．
6．如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图线可知( A )
A．质点P的线速度大小不变
B．质点P的角速度大小不变
C．质点Q的角速度随半径变化
D．质点Q的线速度大小不变
解析：由图像知，质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲线，因此可以判定质点P的向心加速度ap与半径r的积是一个常数k，即apr＝k，ap＝，与向心加速度的计算公式ap＝对照可得v2＝k，即质点P的线速度v＝，大小不变，A选项正确；同理，知道质点Q的向心加速度aQ＝k′r与a＝ω2r对照可知ω2＝k′，ω＝(常数)，质点Q的角速度保持不变．因此选项B、C、D皆不正确．
二、多项选择题
7．如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则( BCD )
A．a、b两点的线速度相同
B．a、b两点的角速度相同
C．若θ＝30°，则a、b两点的线速度之比va?vb＝?2
D．若θ＝30°，则a、b两点的向心加速度之比aa?ab＝?2
解析：由于a、b两点在同一球体上，因此a、b两点的角速度ω相同，B正确；由v＝ωr知va8．如图所示，一小物块以大小为a＝4
m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1
m，则下列说法正确的是( AB )
A．小球运动的角速度为2
rad/s
B．小球做圆周运动的周期为π
s
C．小球在t＝
s内通过的位移大小为
m
D．小球在π
s内通过的路程为零
解析：由a＝r求出小球的运动周期T＝π
s，ω＝＝2
rad/s，小球在
s内转过90°通过的位移为R，π
s内转过一周，路程为2πR.
三、非选择题
9．一质点沿着半径r＝1
m的圆周以n＝2
r/s的转速匀速转动，如图所示．试求：
(1)从A点开始计时，经过
s的时间质点速度的变化；
(2)质点的向心加速度的大小．
答案：(1)Δv大小为8π
m/s，方向与A点速度方向相反
(2)16π2
m/s2
解析：(1)ω＝2nπ＝2×2π
rad/s＝4π
rad/s，
v＝ωr＝4π×1
m/s＝4π
m/s
s转过180°，速度与原来速度方向相反即－v，质点速度的变化为Δv＝－v－v＝－8π
m/s.
(2)an＝ω2r＝(4π)2×1
m/s2＝16π2
m/s2.
10．一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4
rad/s，盘面上距盘中心0.01
m的位置有一个质量为0.1
kg的小物体能够随盘一起转动，如图所示．求物体转动的向心加速度的大小和方向．
答案：0.16
m/s2，方向指向圆心．
解析：由a＝rω2得：a＝0.01×42
m/s2＝0.16
m/s2.
11．如图所示，质量为m的小球用长为L的悬绳固定于O点，在O点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中，悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度之比为多少？
答案：2?3
解析：悬绳碰到钉子前瞬间，设小球的线速度大小为v，做圆周运动的半径为L，向心加速度a1＝，悬绳碰到钉子后瞬间，线速度大小不变，做圆周运动的半径变为L，向心加速度a2＝，所以，碰到钉子前后的向心加速度之比a1?a2＝2?3.
12．如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体匀速圆周运动的向心加速度的大小．
答案：π2
g
解析：设乙下落到A点所用时间为t，则对乙，
满足R＝gt2，得t＝，
这段时间内甲运动了T，即T＝①
又由于a＝Rω2＝R②
由①②得，a＝π2g.
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6生活中的圆周运动
限时：45分钟
一、单项选择题
1．汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( D )
A．减为原来的
B．减为原来的
C．增为原来的2倍
D．增为原来的4倍
解析：汽车在水平地面上转弯，向心力由静摩擦力提供．设汽车质量为m，汽车与地面间的动摩擦因数为μ，汽车转弯的轨道半径为r，则μmg＝m，故r∝v2，故速率增大到原来的2倍时，转弯的轨道半径增大到原来的4倍，D正确．
2．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( C )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
解析：由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtanθ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，FNcosθ＝mg，则FN＝，内、外轨道对火车均无侧压力，故C正确，A、B、D错误．
3．当汽车驶向一凸形桥时，为使在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应
( B )
A．以尽可能小的速度通过桥顶
B．增大速度通过桥顶
C．以任何速度匀速通过桥顶
D．使通过桥顶的向心加速度尽可能小
解析：设质量为m的车以速度v经过半径为R的桥顶，则车受到的支持力FN＝mg－m，故车的速度v越大，压力越小．而a＝，即FN＝mg－ma，向心加速度越大，压力越小，综上所述，选项B符合题意．
4．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥．如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( A )
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为N＝mg－m
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
解析：由圆周运动的知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－N＝m，解得N＝mg－m5．无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管．已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是( C )
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D．管状模型转动的角速度ω最大为
解析：铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力的合力提供向心力，选项A错误；模型最下部受到的铁水的作用力最大，最上方受到的作用力最小，选项B错误；最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁，则重力提供向心力，由mg＝mRω2，可得ω＝，故管状模型转动的角速度ω至少为
，选项C正确，D错误．
二、多项选择题
6．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是( AC )
A．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨
D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨
解析：当以v的速度通过此弯路时，向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提供，A对，B错；当速度大于v时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，外轨对轮缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨，C对，D错．
7.如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( BD )
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
解析：A错：座舱的周期T＝＝.B对：根据线速度与角速度的关系，v＝ωR.C错，D对：座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F合＝mω2R.
8．在某些地方到现在还要依靠滑铁索过江(如图甲)，若把这滑铁索过江简化成图乙的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，AB间的距离为L＝80
m，绳索的最低点离AB间的垂直距离为h＝8
m，若把绳索看作是圆弧，已知一质量m＝52
kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10
m/s(g取10
m/s2)，那么( BC )
A．人在整个绳索上运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得绳索的圆弧半径为104
m
C．人在滑到最低点时对绳索的压力为570
N
D．在滑到最低点时人处于失重状态
解析：人借助滑轮下滑过程中，速度大小是变化的，所以人在整个绳索上运动不能看成匀速圆周运动，故A错误．设绳索的圆弧半径为R，则由几何知识得，R2＝402＋(R－8)2，得R＝104
m，故B正确．在最低点对人由牛顿第二定律得F－mg＝m，所以F＝570
N，此时人处于超重状态，故C正确、D错误．
三、非选择题
9．飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看作一段圆弧，如图所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径r＝180
m的圆周运动，如果飞行员的体重m＝70
kg，飞机经过最低点P时的速度v＝360
km/h，则这时飞行员对座位的压力为__4_589__N．(g取10
m/s2)
解析：飞机在最低点的速度v＝100
m/s，此时座位对飞行员的支持力与飞行员所受重力的合力提供所需要的向心力：
FN－mg＝m
可得FN＝mg＋m≈4
589
N.
根据牛顿第三定律可知飞行员对座位的压力为4
589
N，方向向下．
10．图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10
m，质点的质量m＝60
kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0
m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°(不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10
m/s2)．求质点与转盘一起做匀速圆周运动时，
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小．
答案：(1)750
N (2)
rad/s
解析：(1)如图所示，对人和座椅进行受力分析：
Fcos37°－mg＝0，
得F＝＝750
N.
(2)根据牛顿第二定律有：
mgtan37°＝mω2R，
可得ω＝＝＝
rad/s.
11．在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量m1＝0.1
kg，内部盛水质量m2＝0.4
kg，拉碗的绳子长l＝0.5
m，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度v1＝9
m/s，通过最低点的速度v2＝10
m/s，求：(g＝10
m/s2)
(1)碗在最高点时绳的拉力及水对碗的压力；
(2)碗在最低点时绳的拉力及水对碗的压力．
答案：(1)76
N 60.8
N (2)105
N 84
N
解析：(1)对水和碗：m＝m1＋m2＝0.5
kg，FT1＋mg＝，FT1＝－mg＝(0.5×－0.5×10)
N＝76
N，以水为研究对象，设最高点碗对水的压力为F1，F1＋m2g＝，F1＝60.8
N，水对碗的压力F1′＝F1＝60.8
N，方向竖直向上．
(2)对水和碗：m＝m1＋m2＝0.5
kg，FT2－mg＝，FT2＝＋mg＝105
N，以水为研究对象，F2－m2g＝，F2＝84
N，水对碗的压力F2′＝F2＝84
N，方向竖直向下．
12．在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料．若某处有这样的弯道，其半径为r＝100
m，路面倾角为θ，且tanθ＝0.4，取g＝10
m/s2.
(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度.
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度．
答案：(1)20
m/s (2)15
m/s
解析：(1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力G和路面的支持力N两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力．则有mgtanθ＝m
所以v0＝＝
m/s＝20
m/s.
(2)当汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示．将支持力N和摩擦力f进行正交分解，有
N1＝Ncos
θ，N2＝Nsinθ，f1＝fsinθ，f2＝fcos
θ
所以有G＋f1＝N1，N2＋f2＝F向，且f＝μN
由以上各式可解得向心力为
F向＝mg＝mg
根据F向＝m可得
v＝＝
m/s＝15
m/s.
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