4.3等比数列的概念（2）-2020-2021学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册-（71张PPT）

4.3.1 等比数列的概念（2）
问题1 在前面的学习中，我们类比等差数列，得到等比数列的概念和通项公式，你能准确写出等比数列的通项公式吗？
????????=????1?????????1????∈?????
?
问题1 在前面的学习中，我们类比等差数列，得到等比数列的概念和通项公式，你能准确写出等比数列的通项公式吗？
例4 用 10 000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10?5）？
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例4 用 10 000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
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分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.
存入 ????元，
第一期末 ????+????????=????1+????元，
?
存入 ????元，
第一期末 ????+????????=????1+????元，
第二期末 ????1+????+????1+????????=????1+????2元，
?
存入 ????元，
第一期末 ????+????????=????1+????元，
第二期末 ????1+????+????1+????????=????1+????2元，
第三期末 ????1+????2+????1+????2????=?????1+????3元，
??
?
存入 ????元，
第一期末 ????+????????=????1+????元，
第二期末 ????1+????+????1+????????=????1+????2元，
第三期末 ????1+????2+????1+????2????=?????1+????3元，
??
各期的本利和构成等比数列.
?
存入 ????元，
第一期末 ????+????????=????1+????元，
第二期末 ????1+????+????1+????????=????1+????2元，
第三期末 ????1+????2+????1+????2????=?????1+????3元，
??
各期的本利和构成等比数列.
?
这个等比数列的首项是????1+????，公比是1+????.
?
存入 ????元，
第一期末 ????+????????=????1+????元，
第二期末 ????1+????+????1+????????=????1+????2元，
第三期末 ????1+????2+????1+????2????=?????1+????3元，
??
各期的本利和构成等比数列.
?
这个等比数列的首项是????1+????，公比是1+????.
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可得通项公式为????????=????1+????1+?????????1=????1+????????.
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分析：实际问题
数学问题
“用 10 000元购买某个理财产品”
本金????=10 000
?
“月利率0.400%”
?
r=0.400%
?
12个月能获得的本利和
a12的值
?
“12个月能获得的利息”
利息=本利和-本金
= a12?a
?
设本利和组成数列????????
?
（1）
解：（1）设这笔钱存??????个月以后的本利和组成一个数列????????，则????????是等比数列，
?
解：（1）设这笔钱存??????个月以后的本利和组成一个数列????????，则????????是等比数列，
首项????1=1041+0.400%，公比?????=1+0.400%，
?
解：（1）设这笔钱存??????个月以后的本利和组成一个数列????????，则????????是等比数列，
首项????1=1041+0.400%，公比?????=1+0.400%，
所以????12=????1????11=1041+0.400%12≈10?490.7.
?
?
解：（1）设这笔钱存??????个月以后的本利和组成一个数列????????，则????????是等比数列，
首项????1=1041+0.400%，公比?????=1+0.400%，
所以????12=????1????11=1041+0.400%12≈10?490.7.
所以，12个月后的利息为10?490.7?104≈491（元）.
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例4 用 10 000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10?5）？
?
例4 用 10 000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10?5）？
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分析：实际问题
数学问题
“季度利息”
设为?r?，
公比是1+r
?
存4个季度的本利和
b4的值
?
“存4个季度结算的利息”
????4?????
?
“按季结算的利息不少于按月结算的利息”
b4?a≥a12?a
?
（2）
设本利和组成数列????????
?
解：（2）设季度利率为??????，这笔钱存??????个季度以后的本利和组成一个数列????????，则????????也是一个等比数列，
?
解：（2）设季度利率为??????，这笔钱存??????个季度以后的本利和组成一个数列????????，则????????也是一个等比数列，
首项 ????1=1041+????，公比为1+????，
?
解：（2）设季度利率为??????，这笔钱存??????个季度以后的本利和组成一个数列????????，则????????也是一个等比数列，
首项 ????1=1041+????，公比为1+????，
于是 ????4=1041+????4.
?
解：（2）设季度利率为??????，这笔钱存??????个季度以后的本利和组成一个数列????????，则????????也是一个等比数列，
首项 ????1=1041+????，公比为1+????，
于是 ????4=1041+????4.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
1041+????4?104元.
?
解：（2）设季度利率为??????，这笔钱存??????个季度以后的本利和组成一个数列????????，则????????也是一个等比数列，
首项 ????1=1041+????，公比为1+????，
于是 ????4=1041+????4.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
1041+????4?104元.
解不等式1041+????4?104≥491，
?
解：（2）设季度利率为??????，这笔钱存??????个季度以后的本利和组成一个数列????????，则????????也是一个等比数列，
首项 ????1=1041+????，公比为1+????，
于是 ????4=1041+????4.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
1041+????4?104元.
解不等式1041+????4?104≥491，得????≥1.206%.
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解：（2）设季度利率为??????，这笔钱存??????个季度以后的本利和组成一个数列????????，则????????也是一个等比数列，
首项 ????1=1041+????，公比为1+????，
于是 ????4=1041+????4.
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
1041+????4?104元.
解不等式1041+????4?104≥491，得????≥1.206%.

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所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不
少于按月结算的利息.
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对实际问题抽象、简化
梳理出变量之间的关系
将复利问题转化为相应的等比数列模型
用数学模型解释现实生活中的种种现象和规律
用数学方法解决它
确定“本金”、“利率”、“本利和”、“利息”对应的数学式子
例5 已知数列????????的首项????1=3.
（1）若????????为等差数列，公差?????=2，证明数列3????????为等比数列；
（2）若an为等比数列，公比 ，证明数列log3an为等差数列.
?
追问1：如何证明数列是等比数列、等差数列？
追问1：如何证明数列是等比数列、等差数列？
需要从等差数列、等比数列的定义出发证明.
追问1：如何证明数列是等比数列、等差数列？
需要从等差数列、等比数列的定义出发证明.
追问2：用部分项，如：????2?????1=????3?????2能证明数列是等差数列吗？

?
追问1：如何证明数列是等比数列、等差数列？
需要从等差数列、等比数列的定义出发证明.
追问2：用部分项，如：????2?????1=????3?????2能证明数列是等差数列吗？
不能.不符合等差、等比数列定义中的“从第2项起，每一项与它的前一项的差（比）都等于同一个常数”.
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追问1：如何证明数列是等比数列、等差数列？
需要从等差数列、等比数列的定义出发证明.
追问2：用部分项，如：????2?????1=????3?????2能证明数列是等差数列吗？
不能.不符合等差、等比数列定义中的“从第2项起，每一项与它的前一项的差（比）都等于同一个常数”.
追问3：那么，用什么项证明呢？
?
追问1：如何证明数列是等比数列、等差数列？
需要从等差数列、等比数列的定义出发证明.
追问2：用部分项，如：????2?????1=????3?????2能证明数列是等差数列吗？
不能.不符合等差、等比数列定义中的“从第2项起，每一项与它的前一项的差（比）都等于同一个常数”.
追问3：那么，用什么项证明呢？
用第????项，即????????????∈?????证明.
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例5 已知数列????????的首项????1=3.
（1）若????????为等差数列，公差?????=2，证明数列3????????为等比数列；
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证明（1）：
例5 已知数列????????的首项????1=3.
（1）若????????为等差数列，公差?????=2，证明数列3????????为等比数列；
?
证明（1）：由????1=3，????=2，得????????的通项公式为
????????=2????+1.
?
例5 已知数列????????的首项????1=3.
（1）若????????为等差数列，公差?????=2，证明数列3????????为等比数列；
?
证明（1）：由????1=3，????=2，得????????的通项公式为
????????=2????+1.
设????????=3????????=32????+1，
?
例5 已知数列????????的首项????1=3.
（1）若????????为等差数列，公差?????=2，证明数列3????????为等比数列；
?
证明（1）：由????1=3，????=2，得????????的通项公式为
????????=2????+1.
设????????=3????????=32????+1，则 ，
?
例5 已知数列????????的首项????1=3.
（1）若????????为等差数列，公差?????=2，证明数列3????????为等比数列；
?
证明（1）：由????1=3，????=2，得????????的通项公式为
????????=2????+1.
设????????=3????????=32????+1，则 ，
?
又 ????1=33=27,
?
例5 已知数列????????的首项????1=3.
（1）若????????为等差数列，公差?????=2，证明数列3????????为等比数列；
?
证明（1）：由????1=3，????=2，得????????的通项公式为
????????=2????+1.
设????????=3????????=32????+1，则 ，
?
又 ????1=33=27,
所以，3????????是以 27为首项，9为公比的等比数列.
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例5 已知数列????????的首项????1=3.
（2）若an为等比数列，公比 ，证明数列log3an为等差数列.
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证明（2）：
例5 已知数列????????的首项????1=3.
（2）若an为等比数列，公比 ，证明数列log3an为等差数列.
?
证明（2）：由????1=3，
?
，得
例5 已知数列????????的首项????1=3.
（2）若an为等比数列，公比 ，证明数列log3an为等差数列.
?
证明（2）：由????1=3，
?
，得
两边取以3为底的对数，得
例5 已知数列????????的首项????1=3.
（2）若an为等比数列，公比 ，证明数列log3an为等差数列.
?
证明（2）：由????1=3，
?
，得
两边取以3为底的对数，得
log3????????=log333?2????=3?2????.
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例5 已知数列????????的首项????1=3.
（2）若an为等比数列，公比 ，证明数列log3an为等差数列.
?
证明（2）：由????1=3，
?
，得
两边取以3为底的对数，得
log3????????=log333?2????=3?2????.
?
所以 log3????????+1?log3????????=3?2????+1?3?2????=?2.
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例5 已知数列????????的首项????1=3.
（2）若an为等比数列，公比 ，证明数列log3an为等差数列.
?
证明（2）：由????1=3，
?
，得
两边取以3为底的对数，得
log3????????=log333?2????=3?2????.
?
所以 log3????????+1?log3????????=3?2????+1?3?2????=?2.
又 log3????1=?log33=1，
?
例5 已知数列????????的首项????1=3.
（2）若an为等比数列，公比 ，证明数列log3an为等差数列.
?
证明（2）：由????1=3，
?
，得
两边取以3为底的对数，得
log3????????=log333?2????=3?2????.
?
所以 log3????????+1?log3????????=3?2????+1?3?2????=?2.
又 log3????1=?log33=1，
所以，log3????????是首项为1，公差为?2的等差数列.
?
追问4： 已知????>0且????≠1，如果数列????????是等差数列，那么数列????????????是否一定是等比数列？如果数列????????是各项均为正的等比数列，那么数列log????????????是否一定是等差数列？
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特殊
一般
设等差数列an的首项为a1，公差为d，则
?
追问4： 已知????>0且????≠1，如果数列????????是等差数列，那么数列????????????是否一定是等比数列？如果数列????????是各项均为正的等比数列，那么数列log????????????是否一定是等差数列？
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证明：
设等差数列an的首项为a1，公差为d，则
?
追问4： 已知????>0且????≠1，如果数列????????是等差数列，那么数列????????????是否一定是等比数列？如果数列????????是各项均为正的等比数列，那么数列log????????????是否一定是等差数列？
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证明：
设等差数列an的首项为a1，公差为d，则
?
所以数列????????????是以????????1为首项，????????为公比的等比数列.
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追问4： 已知????>0且????≠1，如果数列????????是等差数列，那么数列????????????是否一定是等比数列？如果数列????????是各项均为正的等比数列，那么数列log????????????是否一定是等差数列？
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证明：
追问4： 已知????>0且????≠1，如果数列????????是等差数列，那么数列????????????是否一定是等比数列？如果数列????????是各项均为正的等比数列，那么数列log????????????是否一定是等差数列？
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设各项均为正的等比数列an的首项为a1，公比为q，
?
证明：
追问4： 已知????>0且????≠1，如果数列????????是等差数列，那么数列????????????是否一定是等比数列？如果数列????????是各项均为正的等比数列，那么数列log????????????是否一定是等差数列？
?
设各项均为正的等比数列an的首项为a1，公比为q，
?
证明：
追问4： 已知????>0且????≠1，如果数列????????是等差数列，那么数列????????????是否一定是等比数列？如果数列????????是各项均为正的等比数列，那么数列log????????????是否一定是等差数列？
?
设各项均为正的等比数列an的首项为a1，公比为q，
?
证明：
所以数列logban是以logba1为首项，logbq为公差
的等差数列.
?
数列????????是等差数列
?
数列????????????是等比数列
?
数列????????是各项均为正
的等比数列
?
数列log????????????是等差数列
?
把等差数列的一些性质迁移到等比数列中
数列????????是等差数列
?
数列????????????是等比数列
?
数列????????是各项均为正
的等比数列
?
数列log????????????是等差数列
?
把等差数列的一些性质迁移到等比数列中
等差数列有什么性质？
等差数列????????中，
?
数列????????是各项均为正
的等比数列
?
数列log????????????是等差数列
?
已知????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
?
则????????+????????=????????+????????.
?
等差数列????????中，
?
各项均为正的等比数列????????，
?
log????????????是等差数列，
?
数列????????是各项均为正
的等比数列
?
数列log????????????是等差数列
?
已知????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
?
则????????+????????=????????+????????.
?
等差数列????????中，
?
各项均为正的等比数列????????，
?
log????????????是等差数列，
?
数列????????是各项均为正
的等比数列
?
数列log????????????是等差数列
?
已知????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
?
则????????+????????=????????+????????.
?
????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
?
各项均为正的等比数列????????，
?
log????????????是等差数列，
?
等差数列????????中，
?
log????????????+log????????????=log????????????+log????????????，
?
数列????????是各项均为正
的等比数列
?
数列log????????????是等差数列
?
已知????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
?
则????????+????????=????????+????????.
?
????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
?
等差数列????????中，
?
各项均为正的等比数列????????，
?
log????????????是等差数列，
?
即log????????????????????=log????????????????????，
?
数列????????是各项均为正
的等比数列
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数列log????????????是等差数列
?
已知????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
?
则????????+????????=????????+????????.
?
log????????????+log????????????=log????????????+log????????????，
?
????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
?
各项均为正的等比数列????????，
?
log????????????是等差数列，
?
等差数列????????中，
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于是得到????????????????=????????????????.
?
数列????????是各项均为正
的等比数列
?
数列log????????????是等差数列
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已知????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
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则????????+????????=????????+????????.
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即log????????????????????=log????????????????????，
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log????????????+log????????????=log????????????+log????????????，
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????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
?
等差数列????????中，
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等比数列????????中，
?
则????????????????=????????????????.
?
数列????????是各项均为正
的等比数列
?
数列log????????????是等差数列
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已知????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
?
则????????+????????=????????+????????.
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已知????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
?
证明：设等比数列????????的公比为?????，则
?
证明：设等比数列????????的公比为?????，则
????????=????1?????????1，????????=????1?????????1，
????????=????1?????????1， ????????=????1?????????1，
?
证明：设等比数列????????的公比为?????，则
????????=????1?????????1，????????=????1?????????1，
????????=????1?????????1， ????????=????1?????????1，
所以
????????????????=????1?????????1????1?????????1=????12????????+?????2，
?
证明：设等比数列????????的公比为?????，则
????????=????1?????????1，????????=????1?????????1，
????????=????1?????????1， ????????=????1?????????1，
所以
????????????????=????1?????????1????1?????????1=????12????????+?????2，
????????????????=????1?????????1????1?????????1=????12????????+?????2，
?
证明：设等比数列????????的公比为?????，则
????????=????1?????????1，????????=????1?????????1，
????????=????1?????????1， ????????=????1?????????1，
所以
????????????????=????1?????????1????1?????????1=????12????????+?????2，
????????????????=????1?????????1????1?????????1=????12????????+?????2，
因为????+????=????+????，
?
证明：设等比数列????????的公比为?????，则
????????=????1?????????1，????????=????1?????????1，
????????=????1?????????1， ????????=????1?????????1，
所以
????????????????=????1?????????1????1?????????1=????12????????+?????2，
????????????????=????1?????????1????1?????????1=????12????????+?????2，
因为????+????=????+????，
所以????????????????=????????????????.
?
通过证明可知，此性质并不需要等比数列各项均为正.
课堂小结
方程思想
等比数列有关计算问题
建模思想
将实际问题转化为数学问题，并加以解决.
转化思想
等比数列????????中，
已知????+????=????+????????,????,????,????∈?????，
则????????????????=????????????????.
?
课后作业
某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？