第六章
圆周运动
一、选择题(1～6为单选每小题4分，7～10为多选每小题5分，共44分)
1．在下列情况中，汽车对凹形路面的压力最大的是( D )
A．以较小的速度驶过半径较大的凹形路
B．以较小的速度驶过半径较小的凹形路
C．以较大的速度驶过半径较大的凹形器
D．以较大的速度驶过半径较小的凹形路
解析：当汽车经过凹形路最低点时，根据向心力公式得：F－mg＝m；所以地面给汽车的支持力为F＝mg＋m；所以速度大，半径小汽车所受支持力就大，根据牛顿第三定律可知汽车对地面压力就大，故A、B、C错误，D正确．
2．火车以60
m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10
s内匀速转过了约10°.在此10
s时间内，火车( D )
A．运动路程为600
km
B．加速度为零
C．角速度约为1
rad/s
D．转弯半径约为3.4
km
解析：圆周运动的弧长s＝vt＝60×10
m＝600
m，选项A错误；火车转弯是圆周运动，圆周运动是变速运动，所以合力不为零，加速度不为零，故选项B错误；由题意得圆周运动的角速度ω＝＝×3.14
rad/s＝
rad/s，又v＝ωr，所以r＝＝×180
m≈3
439
m，故选项C错误、D正确．
3．如图所示，长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于O点．当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好通过最高点．则下列说法中正确的是( B )
A．小球通过最高点时速度等于零
B．小球在最高点时的速度大小为
C．小球在最高点时绳对小球拉力为mg
D．小球刚开始运动时绳对小球的拉力为m
解析：小球刚好通过最高点时，绳子的拉力恰好为零，有：mg＝m，解得v＝.故A、C错误，B正确．在最低点，有：F－mg＝m，则绳子的拉力F＝mg＋m，故D错误．
4．如图所示，质量为m的小球置于内部光滑的正方体盒子中，盒子的边长略大于球的直径．盒子在竖直平面内做半径为R、周期为2π的匀速圆周运动，重力加速度大小为g，则( B )
A．盒子运动到最高点时，小球对盒子顶部压力为mg
B．盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为2mg
C．盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为6mg
D．盒子从最低点向最高点运动的过程中，球处于超重状态
解析：
设盒子运动到最高点时，小球受到盒子顶部的压力，则：F＋mg＝mR2，解得：F＝0，根据牛顿第三定律，盒子运动到最高点时，小球对盒子顶部压力为0，故A错误；盒子运动到最低点时，小球受到盒子底部支持力与重力的和提供向心力，则：N－mg＝mR2，解得：N＝2mg.根据牛顿第三定律，盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为2mg.故B正确，C错误；由A的分析可知，在最高点小球只受到重力的作用，所以盒子从最低点向最高点运动的过程中，球接近最高点时处于失重状态．故D错误．
5．如图，靠轮传动装置中右轮半径为2r，a为它边缘上的一点，b为轮上的一点，距轴为r；左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，d为它边缘上的一点；小轮半径为r，c为它边缘上的一点．若传动中靠轮不打滑，则下列说法错误的是( A )
A．a点与d点的向心加速度大小之比为1?4
B．a点与c点的线速度之比为1?1
C．c点与b点的角速度之比为2?1
D．b点与d点的周期之比为2?1
解析：小轮与右轮间靠摩擦传动不打滑，两轮边缘上点的线速度大小相等，即va＝vc.故B项正确．va＝vc
、ra＝2r、rc＝r，据ω＝可得，
ωc＝2ωa；a、b两点均在右轮上，ωa＝ωb；所以ωc＝2ωb.故C项正确．大轮与小轮同轴传动，则ωc＝ωd；又ωc＝2ωb，所以ωd＝2ωb.据T＝可得，Tb＝2Td.故D项正确．ωc＝2ωa、ωc＝ωd，则ωd＝2ωa；又ra＝2r、rd＝4r；据a＝rω2可得，
ad＝8aa.故A项错误．
6．如图所示，在竖直平面内，直径为R的光滑半圆轨道和半径为R的光滑四分之一圆轨道水平相切于O点，O点在水平地面上．可视为质点的小球从O点以某一初速度进入半圆，刚好能通过半圆的最高点A，从A点飞出后落在四分之一圆轨道上的B点，不计空气阻力，g＝10
m/s2.则B点与O点的竖直高度差为( D )
A.R
B.R
C.R
D.R
解析：小球刚好通过A点，则在A点重力提供向心力，则有：mg＝m
，解得：v＝；从A点抛出后做平抛运动，则水平方向的位移x＝vt，竖直方向的位移h＝gt2，根据几何关系有：x2＋h2＝R2解得：h＝，则B点与O点的竖直高度差为R－＝，故D正确．
7．如图所示，火车转弯处，铁轨的外轨高于内轨，则关于火车转弯时的说法，正确的是( ABD )
A．可能对外轨产生向外的挤压作用
B．可能对内轨产生向内的挤压作用
C．可能对内轨和外轨均有挤压作用
D．可能对内轨和外轨均无挤压作用
解析：当火车的速度v＞v0时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，则火车对外轨有向外的挤压作用．故A正确；当火车的速度v＜v0时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有压力，则火车对内轨有向内的挤压作用．故B正确；不可能对内外轨都有挤压作用．故C错误；当火车的速度满足一定值v0时，火车靠重力和支持力的合力提供圆周运动的向心力，内外轨均无压力．故D正确．
8．如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块随圆锥筒一起做匀速转动，则下列说法正确的是( BC )
A．当转动角速度ω＝时，小物块不受摩擦力作用
B．当转动角速度ω＝时，小物块不受摩擦力作用
C．当转动角速度ω＞时，小物块受摩擦力沿AO方向
D．当转动角速度ω＜时，小物块受摩擦力沿AO方向
解析：当小球受到重力与支持力的合力指向圆心时，小球不受摩擦力；如图所示，合力F＝mgtanθ；由几何关系可知，物体的半径为：R′＝；则由F＝mRω2可知，ω＝＝＝；故当角速度ω＝时，小物块不受摩擦力作用；故A错误，B正确；当转动角速度ω＞时，小物块受到的向心力大于F，故物块有向外的运动趋势，故小物块受到沿AO方向的摩擦力；故C正确，D错误．
9．如图所示，半径为R的薄圆筒绕竖直中心轴线匀速转动．一颗子弹沿直径方向从左侧射入，再从右侧射出，发现两弹孔在同一竖直线上，相距h，若子弹每次击穿薄圆筒前后速度不变，重力加速度为g，则以下说法正确的是
( AC )
A．子弹的速度大小为R
B．子弹的速度大小为2R
C．圆筒转动的周期可能
D．圆筒转动的周期可能为2
解析：子弹穿过圆筒的过程中，做平抛运动，在竖直方向上有h＝gt2，在水平方向上有2R＝v0t，解得v0＝R，A正确B错误；因为两弹孔在同一竖直线上，即在同一侧，所以有t＝(2n－1)·，故T＝·()，当n＝2时T＝，当n＝1时T＝2，C正确D错误．
10．如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3
m、2
m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法正确的是( BC )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
解析：对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，有：f＝(3m)ω2r≤μ(3m)g＝3μmg，故A错误，B正确；由于A、AB整体、C受到的静摩擦力均提供向心力，故对A，有：(3m)ω2r≤μ(3m)g；对AB整体，有：(3m＋2m)ω2r≤μ(3m＋2m)g；对物体C，有：mω2(1.5r)≤μmg；解得ω≤，故C正确，D错误；故选BC.
二、填空题(共2小题，11题6分，12题10分，共16分)
11．如图所示为向心力演示器探究向心力大小与哪些因素有关的实验．
(1)本实验采用的科学方法是__D__.
A．放大法
B．累积法
C．微元法
D．控制变量法
(2)通过本实验可以得到的结果有__A__.
A．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成反比
C．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
解析：(1)使用向心力演示器研究向心力大小与质量关系时半径和角速度都不变，研究向心力大小与半径的关系时质量和角速度都不变，研究向心力大小与角速度的关系时半径和质量都不变，所以采用的科学方法是控制变量法．所以选项D正确．故选D.
(2)通过本实验可以得到的结果有，在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比；在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比；在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比．故选A.
12．一个有一定厚度的圆盘，可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动．用下面的方法测量它匀速转动时的角速度．实验器材：电磁打点计时器、米尺、纸带、复写纸片．(交流电的频率为50
Hz)
实验步骤：
①如图所示，将电磁打点计时器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔后，固定在待测圆盘的侧面上，使得圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上．
②启动控制装置使圆盘转动，同时接通电源，打点计时器开始打点．
③经过一段时间，停止转动和打点，取下纸带，进行测量．
(1)由已知量和测得量表示角速度的表达式为ω＝ ，式中各量的意义是： T为打点计时器打点的时间间隔，r为圆盘半径，x1、x2是纸带上选定的两点分别对应的米尺上的刻度值，n为选定的两点间的打点数(含两点) .
(2)某次实验测得圆盘半径r＝5.50×10－2
m，得到的纸带的一段如图所示，求得角速度为__6.7_rad/s__.(保留两位有效数字)
解析：(2)①在纸带上取两点为n个打点周期，距离为L，则圆盘的线速度为v＝，则圆盘的角速度ω＝＝，式中T为电磁打点计时器打点的周期，r为圆盘的半径，L是用米尺测量的纸带上选定的两点间的长度，n为选定的两点间的打点周期数．②从图中可知第一个点到最后一个点共有n＝15个周期，其总长度L＝11.10
cm.代入数据解得：ω≈6.7
rad/s.
三、计算题(13题8分，14、15题各10分，16题12分，共40分)
13．长L＝0.5
m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个物体A的质量m＝2
kg，当A通过最高点时，求在下列两种情况下杆对物体的力．(g取10
m/s2
)
(1)A在最高点的速度为1
m/s；
(2)A在最高点的速度为4
m/s.
答案：(1)16
N，方向向上 (2)44
N，方向向下
解析：(1)对物体受力分析，假设杆对物体的作用力方向竖直向上，大小为FN，根据牛顿第二定律：mg－FN＝，当v＝1
m/s时，解得：FN＝16
N，故杆对物体的作用力大小为16
N，方向向上，表现为支持力．
(2)当v＝4
m/s时，解得：FN＝－44
N，负号表示力F的方向与假设的方向相反，故杆对物体的作用力大小为44
N，方向向下，表现为拉力．
14．如图所示，已知绳长L＝0.5
m，水平杆长L′＝0.3
m，小球质量m＝0.8
kg.整个装置可绕竖直轴OO′转动．当绳子始终与竖直方向成θ＝37°角时(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10
m/s2)，求：
(1)小球做圆周运动的轨道半径r；
(2)此时绳张力F；
(3)该装置转动的角速度ω.
答案：(1)0.6
m (2)10
N (3)
rad/s
解析：(1)由几何关系得：r＝L′＋Lsinθ＝0.6
m；
(2)由竖直方向平衡得：Fcosθ＝mg得
F＝mg＝10
N；
(3)由mgtanθ＝mω2r得ω＝＝
rad/s.
15．如图是小型电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m＝50
kg的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速运动，重锤转动半径为R＝0.5
m．电动机连同打夯机底座的质量为M＝25
kg，重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度g取10
m/s2.求：
(1)重锤转动的角速度为多大时，才能使打夯机底座刚好离开地面；
(2)若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大．
答案：(1)
rad/s (2)1
500
N
解析：(1)当拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时，才能使打夯机底座刚好离开地面．
即：T＝Mg
对重锤根据牛顿第二定律有：mg＋T＝mRω2
代入数据解得：
ω＝
rad/s
(2)在最低点，对重锤根据牛顿第二定律有：T′－mg＝mRω2
解得：T′＝Mg＋2mg
对打夯机有：N＝T′＋Mg＝2(M＋m)g＝2×(50＋25)×10
N＝1
500
N.
16．如图所示，一根结实的轻绳穿过固定在天花板上的内壁光滑的弯曲细钢管，两端分别拴着一个小球A和B.当小球A在水平面内做匀速圆周运动时，小球A到管口的绳长为l，轻绳与竖直方向的夹角θ＝60°，此时小球B恰好静止．重力加速度为g，求：
(1)小球A和B的质量之比；
(2)小球A转动的周期．
答案：(1) (2)π
解析：(1)设细绳的拉力为F，小球B处于平衡状态有F＝mBg，在竖直方向上，小球A处于平衡状态，有Fcosθ＝mAg，联立解得＝.
(2)对于小球A，细绳拉力的水平分量提供圆周运动的向心力，有Fsinθ＝mA()2r，r＝lsinθ，则小球A转动的周期T＝π.
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11第六章
圆周运动
一、选择题(1～6为单选每小题4分，7～10为多选每小题5分，共44分)
1．在下列情况中，汽车对凹形路面的压力最大的是( )
A．以较小的速度驶过半径较大的凹形路
B．以较小的速度驶过半径较小的凹形路
C．以较大的速度驶过半径较大的凹形器
D．以较大的速度驶过半径较小的凹形路
2．火车以60
m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10
s内匀速转过了约10°.在此10
s时间内，火车( )
A．运动路程为600
km
B．加速度为零
C．角速度约为1
rad/s
D．转弯半径约为3.4
km
3．如图所示，长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于O点．当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好通过最高点．则下列说法中正确的是( )
A．小球通过最高点时速度等于零
B．小球在最高点时的速度大小为
C．小球在最高点时绳对小球拉力为mg
D．小球刚开始运动时绳对小球的拉力为m
4．如图所示，质量为m的小球置于内部光滑的正方体盒子中，盒子的边长略大于球的直径．盒子在竖直平面内做半径为R、周期为2π的匀速圆周运动，重力加速度大小为g，则( )
A．盒子运动到最高点时，小球对盒子顶部压力为mg
B．盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为2mg
C．盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为6mg
D．盒子从最低点向最高点运动的过程中，球处于超重状态
5．如图，靠轮传动装置中右轮半径为2r，a为它边缘上的一点，b为轮上的一点，距轴为r；左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，d为它边缘上的一点；小轮半径为r，c为它边缘上的一点．若传动中靠轮不打滑，则下列说法错误的是( )
A．a点与d点的向心加速度大小之比为1?4
B．a点与c点的线速度之比为1?1
C．c点与b点的角速度之比为2?1
D．b点与d点的周期之比为2?1
6．如图所示，在竖直平面内，直径为R的光滑半圆轨道和半径为R的光滑四分之一圆轨道水平相切于O点，O点在水平地面上．可视为质点的小球从O点以某一初速度进入半圆，刚好能通过半圆的最高点A，从A点飞出后落在四分之一圆轨道上的B点，不计空气阻力，g＝10
m/s2.则B点与O点的竖直高度差为( )
A.R
B.R
C.R
D.R
7．如图所示，火车转弯处，铁轨的外轨高于内轨，则关于火车转弯时的说法，正确的是( )
A．可能对外轨产生向外的挤压作用
B．可能对内轨产生向内的挤压作用
C．可能对内轨和外轨均有挤压作用
D．可能对内轨和外轨均无挤压作用
8．如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半．内壁上有一质量为m的小物块随圆锥筒一起做匀速转动，则下列说法正确的是( )
A．当转动角速度ω＝时，小物块不受摩擦力作用
B．当转动角速度ω＝时，小物块不受摩擦力作用
C．当转动角速度ω＞时，小物块受摩擦力沿AO方向
D．当转动角速度ω＜时，小物块受摩擦力沿AO方向
9．如图所示，半径为R的薄圆筒绕竖直中心轴线匀速转动．一颗子弹沿直径方向从左侧射入，再从右侧射出，发现两弹孔在同一竖直线上，相距h，若子弹每次击穿薄圆筒前后速度不变，重力加速度为g，则以下说法正确的是
( )
A．子弹的速度大小为R
B．子弹的速度大小为2R
C．圆筒转动的周期可能
D．圆筒转动的周期可能为2
10．如图，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3
m、2
m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法正确的是( )
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
二、填空题(共2小题，11题6分，12题10分，共16分)
11．如图所示为向心力演示器探究向心力大小与哪些因素有关的实验．
(1)本实验采用的科学方法是___.
A．放大法
B．累积法
C．微元法
D．控制变量法
(2)通过本实验可以得到的结果有___.
A．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成反比
C．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
12．一个有一定厚度的圆盘，可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动．用下面的方法测量它匀速转动时的角速度．实验器材：电磁打点计时器、米尺、纸带、复写纸片．(交流电的频率为50
Hz)
实验步骤：
①如图所示，将电磁打点计时器固定在桌面上，将纸带的一端穿过打点计时器的限位孔后，固定在待测圆盘的侧面上，使得圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上．
②启动控制装置使圆盘转动，同时接通电源，打点计时器开始打点．
③经过一段时间，停止转动和打点，取下纸带，进行测量．
(1)由已知量和测得量表示角速度的表达式为ω＝(
)，式中各量的意义是：(
) .
(2)某次实验测得圆盘半径r＝5.50×10－2
m，得到的纸带的一段如图所示，求得角速度为(
).(保留两位有效数字)
三、计算题(13题8分，14、15题各10分，16题12分，共40分)
13．长L＝0.5
m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个物体A的质量m＝2
kg，当A通过最高点时，求在下列两种情况下杆对物体的力．(g取10
m/s2
)
(1)A在最高点的速度为1
m/s；
(2)A在最高点的速度为4
m/s.
14．如图所示，已知绳长L＝0.5
m，水平杆长L′＝0.3
m，小球质量m＝0.8
kg.整个装置可绕竖直轴OO′转动．当绳子始终与竖直方向成θ＝37°角时(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10
m/s2)，求：
(1)小球做圆周运动的轨道半径r；
(2)此时绳张力F；
(3)该装置转动的角速度ω.
15．如图是小型电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m＝50
kg的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O匀速运动，重锤转动半径为R＝0.5
m．电动机连同打夯机底座的质量为M＝25
kg，重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度g取10
m/s2.求：
(1)重锤转动的角速度为多大时，才能使打夯机底座刚好离开地面；
(2)若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大．
16．如图所示，一根结实的轻绳穿过固定在天花板上的内壁光滑的弯曲细钢管，两端分别拴着一个小球A和B.当小球A在水平面内做匀速圆周运动时，小球A到管口的绳长为l，轻绳与竖直方向的夹角θ＝60°，此时小球B恰好静止．重力加速度为g，求：
(1)小球A和B的质量之比；
(2)小球A转动的周期．
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