6.2矩形的性质与判定 课件（共34张PPT）
文档属性
| 名称 | 6.2矩形的性质与判定 课件（共34张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-19 16:57:52 | ||
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文档简介
第六章 特殊平行四边形
2 矩形的性质与判定
知识点一 矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
平行四边形 矩形
例1 如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.求证:四边形OCED是矩形.
例1 如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.求证:四边形OCED是矩形.
证明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形.
例1 如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.求证:四边形OCED是矩形.
证明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形.
温馨提示 由定义来判定矩形，首先，要判定四边形是平行四边形，其次，要有一个角是90°，两者缺一不可.
知识点二 矩形的性质
性质
符号语言
图示
矩形的性质
角
对角线
对称性
重点解读
知识点二 矩形的性质
性质
符号语言
图示
矩形的性质
矩形具有平行四边形的一切性质
角
四个角都是直角
如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠CBA＝90°
对角线
对角线相等且互相平分
如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO
对称性
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是经过对边中点的直线.矩形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点
重点解读
（1）矩形一定是平行四边形，而平行四边形不一定是矩形；（2）矩形是特殊的平行四边形，它的特殊性表现在四个角都是直角和对角线相等；（3）利用矩形的性质可以说明线段相等或平分、角相等、两直线平行或垂直，还可以计算角的大小； （4）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质
例2 如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1.求矩形的边BC的长和矩形ABCD的面积.
例2 如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1.求矩形的边BC的长和矩形ABCD的面积.
分析 由矩形的性质可得∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，从而证出△AOB是等边三角形，得出OA＝OB＝AB＝1，进而求出AC的长，再由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形的面积.
例2 如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1.求矩形的边BC的长和矩形ABCD的面积.
分析 由矩形的性质可得∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，从而证出△AOB是等边三角形，得出OA＝OB＝AB＝1，进而求出AC的长，再由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形的面积.
解析 ∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°-120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝1，
∴AC＝2OA＝2，在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ，∴矩形ABCD的面积为AB·BC＝1× ＝ .
例2 如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1.求矩形的边BC的长和矩形ABCD的面积.
分析 由矩形的性质可得∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，从而证出△AOB是等边三角形，得出OA＝OB＝AB＝1，进而求出AC的长，再由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形的面积.
解析 ∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°-120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝1，
∴AC＝2OA＝2，在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ，∴矩形ABCD的面积为AB·BC＝1× ＝ .
温馨提示 矩形的对角线相等且互相平分，因此矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形，当矩形的两条对角线夹角为120°或60°时，会出现一对全等的等边三角形.
知识点三 直角三角形斜边上的中线的性质
名称
直角三角形斜边上的中线
图示
性质
应用格式
重点解读
知识点三 直角三角形斜边上的中线的性质
名称
直角三角形斜边上的中线
图示
性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
应用格式
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，则CD＝ AB＝AD＝BD
重点解读
（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论，该性质的前提是三角形为直角三角形，对一般的三角形不适用；
（2）此性质可以用来解决有关线段倍分的问题；
（3）如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
例3 如图所示，BD，CE是△ABC的高，G，F分别是BC，DE的中点，求证:FG⊥DE.
例3 如图所示，BD，CE是△ABC的高，G，F分别是BC，DE的中点，求证:FG⊥DE.
分析 连接EG，DG，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得EG＝DG，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可解决.
例3 如图所示，BD，CE是△ABC的高，G，F分别是BC，DE的中点，求证:FG⊥DE.
分析 连接EG，DG，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得EG＝DG，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可解决.
证明： 如图所示，连接EG，DG.∵CE是AB边上的高，∴CE⊥AB.在Rt△CEB中，G是BC的中点，∴EG＝ BC，同理，DG＝ BC，∴EG＝DG.∴△GED是等腰三角形.∵F是ED的中点，∴FG⊥DE.
例3 如图所示，BD，CE是△ABC的高，G，F分别是BC，DE的中点，求证:FG⊥DE.
分析 连接EG，DG，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得EG＝DG，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可解决.
证明： 如图所示，连接EG，DG.∵CE是AB边上的高，∴CE⊥AB.在Rt△CEB中，G是BC的中点，∴EG＝ BC，同理，DG＝ BC，∴EG＝DG.∴△GED是等腰三角形.∵F是ED的中点，∴FG⊥DE.
解题归纳 在直角三角形中，当出现斜边的中点时，常见的辅助线是构造中线，从而得到相等的角以及线段之间的数量关系.
知识点四 矩形的判定
判定方法
符号语言
图示
矩形的判定
角
对角线
特别提醒
知识点四 矩形的判定
判定方法
符号语言
图示
矩形的判定
角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
在平行四边形ABCD中，∵∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
在四边形ABCD中，∵∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是矩形
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
在平行四边形ABCD中，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形
特别提醒
判定一个四边形是矩形的方法和思路如下:
有三个角是直角→矩形
四边形
对角线相等→矩形
平行四边形
有一个角是直角→矩形
例4 如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，试添加一个条件:
_______________，使四边形ABCD为矩形.并说明理由.
例4 如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，试添加一个条件:
_______________，使四边形ABCD为矩形.并说明理由.
解析 （答案不唯一）
可添加条件:AC＝BD.理由如下:
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形.
例5 已知:如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，且CE交AN于点E.求证:四边形ADCE是矩形.
例5 已知:如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，且CE交AN于点E.求证:四边形ADCE是矩形.
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，
∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形.
例5 已知:如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，且CE交AN于点E.求证:四边形ADCE是矩形.
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，
∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形.
温馨提示 应用三个角为直角判定四边形是矩形时，不用证明该四边形是平行四边形.
经典例题
题型一 利用矩形的性质求边长或角的度数
例1 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝10.
（1）求矩形较短边的长；
（2）求矩形较长边的长；
（3）求矩形的面积；
（4）如果把本题改为“在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.”你能求出个矩形的面积吗？试写出解答过程.（结果用根号表示，不用化简）
解析 （1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝ AC，
又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形.∴AB＝OA＝ AC＝5，即矩形较短边的长为5.
（2）在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，AC＝10，则BC＝ ＝ ＝ ，即矩形较长边的长是 .
（3）矩形的面积为AB·BC＝5× ＝5 .
（4）能. ∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2OA，BD＝2OB，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°∴△AOB是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB＝8，
∴在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝ ，
∴这个矩形的面积为4× ＝4 .
解析 （1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝ AC，
又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形.∴AB＝OA＝ AC＝5，即矩形较短边的长为5.
（2）在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，AC＝10，则BC＝ ＝ ＝ ，即矩形较长边的长是 .
（3）矩形的面积为AB·BC＝5× ＝5 .
（4）能. ∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2OA，BD＝2OB，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°∴△AOB是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB＝8，
∴在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝ ，
∴这个矩形的面积为4× ＝4 .
点拨 当矩形对角线的夹角为60°或120°时，可得等边三角形和含30°角的直角三角形，从而利用它们的性质求解.
题型二 矩形中的折叠问题
例2 如图所示，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处，AE＝1，DE＝3，∠EFB′＝60°，求矩形ABCD的面积.
题型二 矩形中的折叠问题
例2 如图所示，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处，AE＝1，DE＝3，∠EFB′＝60°，求矩形ABCD的面积.
解析 ∵把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B＇处，∴∠BFE＝∠EFB′＝60°，AB＝AB′，∠A＝∠A′＝90°，AE＝A′E＝1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝60°，∵AE∥B＇F，
∴∠A′EF＋∠EFB′＝180°，∴∠A′EF＝120°，∴∠A′EB′＝60°且∠A′＝90°，∴∠A′BE＝30°，∴B′E＝2，AB′＝ ＝AB，∵AE＝1，DE＝3，∴AD＝4，
∴S矩形ABCD＝AB×AD＝ ×4＝4 .
题型三 矩形的性质与判定的综合应用
例3 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为t秒.
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由.
解析 （1）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，
∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，
由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16-t，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16-t，解得t＝8，
∴当t＝8时，四边形ABQP为矩形.
（2）四边形AQCP为菱形理由如下:
∵t＝6，∴BQ＝6，DP＝6，∴CQ＝16-6＝10，AP＝16-6＝10，∴AP＝CQ，∵AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，
在Rt△ABQ中，AQ＝ ＝ ＝10，∴AQ＝CQ，
∴平行四边形AQCP为菱形，
即当t＝6时，四边形AQCP为菱形.
易错易混
易错点 混淆判定方法的前提——平行四边形与四边形
例 下列说法中，正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
易错易混
易错点 混淆判定方法的前提——平行四边形与四边形
例 下列说法中，正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
解析 在判定四边形是矩形时，可以先判定四边形是平行四边形，再寻求一个角是直角或对角线相等的条件；若不判定四边形是平行四边形，则应寻求三个角是直角或对角线互相平分且相等的条件.
答案 C
易错易混
易错点 混淆判定方法的前提——平行四边形与四边形
例 下列说法中，正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
解析 在判定四边形是矩形时，可以先判定四边形是平行四边形，再寻求一个角是直角或对角线相等的条件；若不判定四边形是平行四边形，则应寻求三个角是直角或对角线互相平分且相等的条件.
答案 C
易错警示 错选A或B的原因是没有正确理解和掌握矩形的判定方法，忽略了选项A和B判定矩形的前提是“平行四边形”，正确的判定定理应该是有一个角是直角的平行四边形是矩形或对角线相等的平行四边形是矩形.
2 矩形的性质与判定
知识点一 矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
平行四边形 矩形
例1 如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.求证:四边形OCED是矩形.
例1 如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.求证:四边形OCED是矩形.
证明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形.
例1 如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.求证:四边形OCED是矩形.
证明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形.
温馨提示 由定义来判定矩形，首先，要判定四边形是平行四边形，其次，要有一个角是90°，两者缺一不可.
知识点二 矩形的性质
性质
符号语言
图示
矩形的性质
角
对角线
对称性
重点解读
知识点二 矩形的性质
性质
符号语言
图示
矩形的性质
矩形具有平行四边形的一切性质
角
四个角都是直角
如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠CBA＝90°
对角线
对角线相等且互相平分
如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO
对称性
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是经过对边中点的直线.矩形也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点
重点解读
（1）矩形一定是平行四边形，而平行四边形不一定是矩形；（2）矩形是特殊的平行四边形，它的特殊性表现在四个角都是直角和对角线相等；（3）利用矩形的性质可以说明线段相等或平分、角相等、两直线平行或垂直，还可以计算角的大小； （4）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质
例2 如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1.求矩形的边BC的长和矩形ABCD的面积.
例2 如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1.求矩形的边BC的长和矩形ABCD的面积.
分析 由矩形的性质可得∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，从而证出△AOB是等边三角形，得出OA＝OB＝AB＝1，进而求出AC的长，再由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形的面积.
例2 如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1.求矩形的边BC的长和矩形ABCD的面积.
分析 由矩形的性质可得∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，从而证出△AOB是等边三角形，得出OA＝OB＝AB＝1，进而求出AC的长，再由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形的面积.
解析 ∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°-120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝1，
∴AC＝2OA＝2，在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ，∴矩形ABCD的面积为AB·BC＝1× ＝ .
例2 如图所示，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝1.求矩形的边BC的长和矩形ABCD的面积.
分析 由矩形的性质可得∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，从而证出△AOB是等边三角形，得出OA＝OB＝AB＝1，进而求出AC的长，再由勾股定理求出BC的长，即可得出矩形的面积.
解析 ∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°-120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝1，
∴AC＝2OA＝2，在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ，∴矩形ABCD的面积为AB·BC＝1× ＝ .
温馨提示 矩形的对角线相等且互相平分，因此矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形，当矩形的两条对角线夹角为120°或60°时，会出现一对全等的等边三角形.
知识点三 直角三角形斜边上的中线的性质
名称
直角三角形斜边上的中线
图示
性质
应用格式
重点解读
知识点三 直角三角形斜边上的中线的性质
名称
直角三角形斜边上的中线
图示
性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
应用格式
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，则CD＝ AB＝AD＝BD
重点解读
（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论，该性质的前提是三角形为直角三角形，对一般的三角形不适用；
（2）此性质可以用来解决有关线段倍分的问题；
（3）如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
例3 如图所示，BD，CE是△ABC的高，G，F分别是BC，DE的中点，求证:FG⊥DE.
例3 如图所示，BD，CE是△ABC的高，G，F分别是BC，DE的中点，求证:FG⊥DE.
分析 连接EG，DG，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得EG＝DG，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可解决.
例3 如图所示，BD，CE是△ABC的高，G，F分别是BC，DE的中点，求证:FG⊥DE.
分析 连接EG，DG，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得EG＝DG，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可解决.
证明： 如图所示，连接EG，DG.∵CE是AB边上的高，∴CE⊥AB.在Rt△CEB中，G是BC的中点，∴EG＝ BC，同理，DG＝ BC，∴EG＝DG.∴△GED是等腰三角形.∵F是ED的中点，∴FG⊥DE.
例3 如图所示，BD，CE是△ABC的高，G，F分别是BC，DE的中点，求证:FG⊥DE.
分析 连接EG，DG，利用直角三角形斜边上的中线的性质可得EG＝DG，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可解决.
证明： 如图所示，连接EG，DG.∵CE是AB边上的高，∴CE⊥AB.在Rt△CEB中，G是BC的中点，∴EG＝ BC，同理，DG＝ BC，∴EG＝DG.∴△GED是等腰三角形.∵F是ED的中点，∴FG⊥DE.
解题归纳 在直角三角形中，当出现斜边的中点时，常见的辅助线是构造中线，从而得到相等的角以及线段之间的数量关系.
知识点四 矩形的判定
判定方法
符号语言
图示
矩形的判定
角
对角线
特别提醒
知识点四 矩形的判定
判定方法
符号语言
图示
矩形的判定
角
有一个角是直角的平行四边形是矩形
在平行四边形ABCD中，∵∠BAD＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
在四边形ABCD中，∵∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是矩形
对角线
对角线相等的平行四边形是矩形
在平行四边形ABCD中，∵AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形
特别提醒
判定一个四边形是矩形的方法和思路如下:
有三个角是直角→矩形
四边形
对角线相等→矩形
平行四边形
有一个角是直角→矩形
例4 如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，试添加一个条件:
_______________，使四边形ABCD为矩形.并说明理由.
例4 如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，试添加一个条件:
_______________，使四边形ABCD为矩形.并说明理由.
解析 （答案不唯一）
可添加条件:AC＝BD.理由如下:
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形.
例5 已知:如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，且CE交AN于点E.求证:四边形ADCE是矩形.
例5 已知:如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，且CE交AN于点E.求证:四边形ADCE是矩形.
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，
∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形.
例5 已知:如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，且CE交AN于点E.求证:四边形ADCE是矩形.
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，
∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形.
温馨提示 应用三个角为直角判定四边形是矩形时，不用证明该四边形是平行四边形.
经典例题
题型一 利用矩形的性质求边长或角的度数
例1 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝10.
（1）求矩形较短边的长；
（2）求矩形较长边的长；
（3）求矩形的面积；
（4）如果把本题改为“在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.”你能求出个矩形的面积吗？试写出解答过程.（结果用根号表示，不用化简）
解析 （1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝ AC，
又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形.∴AB＝OA＝ AC＝5，即矩形较短边的长为5.
（2）在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，AC＝10，则BC＝ ＝ ＝ ，即矩形较长边的长是 .
（3）矩形的面积为AB·BC＝5× ＝5 .
（4）能. ∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2OA，BD＝2OB，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°∴△AOB是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB＝8，
∴在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝ ，
∴这个矩形的面积为4× ＝4 .
解析 （1）∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝ AC，
又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形.∴AB＝OA＝ AC＝5，即矩形较短边的长为5.
（2）在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，AC＝10，则BC＝ ＝ ＝ ，即矩形较长边的长是 .
（3）矩形的面积为AB·BC＝5× ＝5 .
（4）能. ∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2OA，BD＝2OB，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°∴△AOB是等边三角形，∴∠BAO＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB＝8，
∴在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝ ，
∴这个矩形的面积为4× ＝4 .
点拨 当矩形对角线的夹角为60°或120°时，可得等边三角形和含30°角的直角三角形，从而利用它们的性质求解.
题型二 矩形中的折叠问题
例2 如图所示，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处，AE＝1，DE＝3，∠EFB′＝60°，求矩形ABCD的面积.
题型二 矩形中的折叠问题
例2 如图所示，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处，AE＝1，DE＝3，∠EFB′＝60°，求矩形ABCD的面积.
解析 ∵把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B＇处，∴∠BFE＝∠EFB′＝60°，AB＝AB′，∠A＝∠A′＝90°，AE＝A′E＝1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝60°，∵AE∥B＇F，
∴∠A′EF＋∠EFB′＝180°，∴∠A′EF＝120°，∴∠A′EB′＝60°且∠A′＝90°，∴∠A′BE＝30°，∴B′E＝2，AB′＝ ＝AB，∵AE＝1，DE＝3，∴AD＝4，
∴S矩形ABCD＝AB×AD＝ ×4＝4 .
题型三 矩形的性质与判定的综合应用
例3 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、CP.设点P、Q运动的时间为t秒.
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t＝6时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由.
解析 （1）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，
∴BC＝AD＝16，AB＝CD＝8，
由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝16-t，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16-t，解得t＝8，
∴当t＝8时，四边形ABQP为矩形.
（2）四边形AQCP为菱形理由如下:
∵t＝6，∴BQ＝6，DP＝6，∴CQ＝16-6＝10，AP＝16-6＝10，∴AP＝CQ，∵AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，
在Rt△ABQ中，AQ＝ ＝ ＝10，∴AQ＝CQ，
∴平行四边形AQCP为菱形，
即当t＝6时，四边形AQCP为菱形.
易错易混
易错点 混淆判定方法的前提——平行四边形与四边形
例 下列说法中，正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
易错易混
易错点 混淆判定方法的前提——平行四边形与四边形
例 下列说法中，正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
解析 在判定四边形是矩形时，可以先判定四边形是平行四边形，再寻求一个角是直角或对角线相等的条件；若不判定四边形是平行四边形，则应寻求三个角是直角或对角线互相平分且相等的条件.
答案 C
易错易混
易错点 混淆判定方法的前提——平行四边形与四边形
例 下列说法中，正确的是（ ）
A.对角线相等的四边形是矩形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.有三个角是直角的四边形是矩形
D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
解析 在判定四边形是矩形时，可以先判定四边形是平行四边形，再寻求一个角是直角或对角线相等的条件；若不判定四边形是平行四边形，则应寻求三个角是直角或对角线互相平分且相等的条件.
答案 C
易错警示 错选A或B的原因是没有正确理解和掌握矩形的判定方法，忽略了选项A和B判定矩形的前提是“平行四边形”，正确的判定定理应该是有一个角是直角的平行四边形是矩形或对角线相等的平行四边形是矩形.