(共33张PPT)
1.直线
y=ax+b
在坐标系中的位置如图，
则方程
ax+b=0
的解是
x=
____
0
-4
3
x
y
-
4
温故知新
2、画出一次函数
y=3x+2
的图象。
x
0
y=3x+2
2
0
温故知新
思考：
问题1与问题2有什么关系?
问题2：
自变量为何值时，函数y=2x-4的值大于0？
问题1：解不等式2x-4>0
导入新课
19.2.3 一次函数与
方程、不等式
人教版八年级数学
下册
第2课时
一次函数与一元一次不等式
目标导航
1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义；
2．经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想
认真阅读课本的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
1、观察下面3个不等式有什么共同点与不同点？
（1）
＞2；
（2）
＜0；
（3）
＜-1
合作探究
3个不等式相同的特点是：不等号左边都是_______；不同点是：不等号及不等号右边分别是____
，_____，_____。
2
0
-1
合作探究
你能从函数的角度对以上3个不等式
进行解释吗？
例1 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函
数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的
结论推广到一般情形吗？
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
不等式ax+b＞c的解集就是
使函数y
=ax+b
的函数值大于c
的对应的自变量取值范围；
不等式ax+b＜c的解集就是
使函数y
=ax+b
的函数值小于c
的对应的自变量取值范围．
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y
=3x+2
y
=2
y
=0
y
=-1
精典例题
解释1：
解这3个不等式相当于在一次函数
的函数值分别为_____、_____
、
_____时，求自变量的取值范围。
大于2
小于0
小于-1
合作探究
解释2：
在直线
上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点，看他们的横坐标分别满足什么条件。
当y>2时，则x>0
当y<0时，则x<
当y<-1时，则x<-1
合作探究
结论
因为任何一个以为求知数的一元一次不等式都可以变形为
ax+b＞0
或
ax+b＜0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值
_____或_____时，求自变量x的________。
大于0
小于0
取值范围
合作探究
试一试(根据一次函数与不等式的关系填空):
求一次函数y=3x-6的函数值
小于0的自变量的取值范围。
求不等式3x+8>0的解集。
(1)
解不等式3x－6<0，可看作
（2）“当自变量x取何值时，函数y=3x+8的值大于0”可看作
即学即练
-2
x
y=3x+6
y
例2
根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集
3x+6>0
(3)
–x+3
≥0
x
y
3
y=-x+3
(2)3x+6
≤0
X>-2
(4)
–x+3<0
x≤3
X≤-2
x>3
(即y>0)
(即y≤0)
(即y<0)
(即y≥0)
1.利用y=
的图像，直接写出：
y
2
5
x
y=
x+5
X=2
X<2
X>2
X<0
(即y=0)
(即y>0)
(即y<0)
(即y>5)
即学即练
2.直线
y=x-1
上的点在
x
轴上方时对应的自变量的范围是（
?
）
A.
x>1??
B.
x≥1
C.
x<1?????D.
x≤1
3.已知直线
y=2x+k
与
x
轴的交点为
（-2，0），则关于x的不等式
2x+k<0
的解集是
（?
）
A.
x>-2????B.
x≥-2
C.
x<-2????D.
x≤-2
A
C
即学即练
例3.利用函数图象解不等式：3x－4＜x+2(用两种方法)
解法1：化简不等式得2x－6＜0，画出函数y＝2x－6的图象。
当x＜3时y＝2x－6＜0，所以不等式的解集为x＜3。
解法2：画出函数y＝3x－4和函数y＝x+2的图象，交点横坐标为3。
当x＜3时，对于同一个x，直线y＝3x－4上的点在直线y＝x+2上相应点的下方，这表示3x－4＜x+2，所以不等式的解集为x＜
3。
y
x
0
-6
3
Y=2x-6
3
y
x
0
y＝x＋2
y＝3x－4
精典例题
1.已知直线y=x-2与y=-x+2相交于点(2,0),则不等式x-2≥-x+2的解集是______。
2.当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0？
解：由题意，得
2x-4＞0
x＞2
∴当自变量x＞2时，函数y=2x-4的
值大于0
x≥2
即学即练
3.看图象解不等式
x
o
y=5x-3
2
y=3x+1
7
y
从图中看出，当x>2时，直线y=5x-3上的点在直线y=3x+1上相应点的上方，即5x-3>3x+1，所以不等式的解集为x>2。
即学即练
因为任何一个以x为求知数的一元一次不等式都可以变形为____________
_______________
的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值大于0或小于0时，求自变量x的_________。
ax+b＞0
或
ax+b＜0（a≠0）
取值范围
归纳小结
合理消费呀！
例4.某通讯公司升级了两种通讯业务，
方式A：使用者先缴20元月租费，然后每通话1分，话费0.2元；
方式B：不缴月租费，每通话1分，付话费0.3元，设通话x分。
（1）通话多少时间，两种费用相等？
20+0.2x=0.3x
解得
x=200
答：当x=200时，两种费用相同。
精典例题
例4.某通讯公司升级了两种通讯业务，
方式A：使用者先缴20元月租费，然后每通话1分，话费0.2元；
方式B：不缴月租费，每通话1分，付话费0.3元，设通话x分。
（2）通话时间在什么范围内，方式A比方
式B优惠？（用不等式解决）
20+0.2x＜0.3x
解得
x＞200
答：当x
＞
200时，A比B优惠。
精典例题
例4.某通讯公司升级了两种通讯业务，
方式A：使用者先缴20元月租费，然后每通话1分，话费0.2元；
方式B：不缴月租费，每通话1分，付话费0.3元，设通话x分。
（3）通话时间在什么范围内，方式B比方式A更优惠？（用不等式解决）
20+0.2x
＞
0.3x
解得
x
＜
200
答：当x
＜
200时，B比A优惠。
精典例题
一次函数与一元一次不等式的关系
求ax+b>0（或<0）(a,
b
是常数，a≠0)的解集
函数y=
ax+b的函数值
大于0（或小于0）时x
的取值范围
直线y=
ax+b在X轴上方或
下方时自变量的取值范围
从数的角度看
从形的角度看
求ax+b>0（或<0）(a,
b
是常数，a≠0)的解集
课堂小结
1.如图，直线L1,
L2交于一点P，若y1
≥y2
，则（
）
x
≥
3
x
≤3
2
≤
x
≤
3
x
≤
4
B
检测目标
2.如右图,
一次函数
的图象
经过点
,则关于x的不等式
的解集为________________.
分析：即求y>-2时x的取值范围
检测目标
x>2
3.如图是一次函数
的图象,则关于x的方程
的解为 ；关于x的不等式
的解集为 ；
的解集为 ．
关于x的不等式
x=2
x<2
检测目标
4.若关于x的不等式
的解集为
则一次函数
当
时,图象在
时,图象在x轴______.
x轴_________;当
分析：可以画出函数草图进行解答
检测目标
下方
5.若关于x的不等式
的解集为
则一次函数
当
时,图象在
时,图象在x轴______.
x轴_________;当
上方
分析：可以画出函数草图进行解答
检测目标
6.我们学校做一批校徽，需要拍照，若到照相馆拍，每张需要8元；若学校自己拍，除买摄象机，需120元，每张还需成本4元，设需要拍X张，到照相馆拍需要Y1
元，学校自己拍需要Y2元。
（1）求Y1和Y2与X的函数关系式
（2）问拍这批照片到照相馆拍，费用省还是由学校自己拍费用省？请说明理由。
解:(1)
Y1＝8x,Y2=4x+120
(2)由图象可知，当x=30
时，两家一样，
当X>30时，照相馆省钱，
当X<30时，学校自己省钱.
30
y
x
0
Y=4x+120
Y=8x
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题(共31张PPT)
温故知新
1.什么是一次函数？
2.一次函数的解析式？
3.一次函数的性质？
1号探测气球从海拔5
m
处出发，以1
m/min
的速度
上升．与此同时，2
号探测气球从海拔15
m
处出发，以
0.5
m/min
的速度上升．两个气球都上升了1
h．
请用解析式分别表示两个气
球所在位置的海拔
y（m）与气球
上升时间
x（min）的函数关系．
h1
h2
气球1
海拔高度：y
=x+5；
气球2
海拔高度：y
=0.5x+15．
一元一次方程与一次函数有
什么关系？
导入新课
19.2.3 一次函数与
方程、不等式
人教版八年级数学
下册
第1课时
一次函数与一元一次方程
目标导航
1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系。会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义。
2．经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想。
（1）解方程：2x+20=0
（2）当x为何值时函数
y=2x+20的值为0?
（3）问题（1）与（2）有什么关系呢？
目标导学：函数与一元一次方程
合作探究
（1）解方程
．
（2）当自变量
x
为何值时，函数y
=2x+20
的值为0？
以下两个问题有什么关系？
解：(1)
2x+20=0
(2)
令
y=0
，即
两个问题实际上是同一个问题．
从“数”上看
合作探究
从“数”上看
一元一次方程问题
一次函数问题
1
解方程2x-4=0
当x为何值时，y=2x-4的函数值为0.
2
解方程2x-4=2
3
当x为何值时，y=2x-4的函数值为4.
4
解方程kx+b=0
当x为何值时，y=2x-4的函数值为2.
解方程2x-4=4
当x
为何值时，y=kx+b的函数值为0.
从函数图象看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标是
（-10、0）
说明了方程2x+20=0的解是
从“形”上看
合作探究
一次函数的问题
图象
?
当x为何值时，y=2x-4的函数值为2
?
当x为何值时，y=kx+b的函数值为c
y=2x-4
2
3
直线y=kx+b上y=c对应点的横坐标
从“形”上看
求kx+b=c（k≠0，b,c是常数）的解
当x为何值时，y=kx+b的值为c
当函数y=kx+b纵坐标为c时，所对应点的横坐标x的值
求kx+b=c（k≠0,b,c是常数）的解
（从“数”的角度）
一元一次方程都可以转化为kx+b=c的形式.
规律总结
（从“形”的角度）
数形结合
例1.已知一次函数y=2x+1，当y=3时，2x+1等于几？当y=0，y=-1时，2x+1又等于几呢？你能把它们写成一个方程的形式吗？怎样从函数的角度对解这三个方程进行解释呢？
典型例题
【答案】
见解析
【解析】
可以写成2x+1=3，2x+1=0，2x+1=-1的形式，就变成了一元一次方程，也就是说当一个一次函数y=kx+b，只要确定了y的值，它就变成了一个一元一次方程，每个一元一次方程都可以看成一次函数的一种具体情况。
典型例题
观察图象，上面的三个方程可以看成函数y=2x+1的一种具体情况。
这三个方程的解则刚好是自变量x的一个值。
用函数的观点看：解一元一次方程ax+b=c就是求当函数值为c时对应的自变量的值。
合作探究
序号
一元一次方程问题
一次函数问题
1
解方程
3x-2=0
当x为何值时，
y=3x-2的值为0?
2
解方程
8x-3=0
3
当x为何值时，
y=-7x+2的值为0?
4
解方程
8x-3=2
举一反三
当x为何值时，___________的值为0?
解方程
-
7x+2=0
8x-5=0
y=8x-3
当x为何值时，___________的值为0?
y=8x-5
因为任何一个以x为求知数的一元一次方程都可以变形为
（a≠0）的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数
的函数值为
时，
求
__的值.
0
自变量x
归纳小结
1.解方程2x+3=5就是求当y=
时，函数y=2x+3的自变量x的取值.
5
即学即练
2.如图，直线y＝ax＋b过点A(0，2)和点
B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是( )
A．x＝2
B．x＝0
C．x＝－1
D．x＝－3
D
(0，2)
(－3，0)
即学即练
3.直线
y=3x+9
与
x
轴的交点是（?
）
A．（0，-3）??
?B．（-3，0）????
C．（0，3）??
?
D．（0，-3）
B
即学即练
解：由图象可知x+3=0的
解为x=
?3．
3
x
y
0
-3
从“形”上看
析：直线y=x+3的图象与x轴交点坐标为（-3,0
），这说明方程χ＋3＝0的解是x=-3）
4.根据图象，你能直接说出一元一次方程
的解吗？
即学即练
解一元一次方程ax+b=0
(a
，b为常数)可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值。
深入探究
方程（组）与函数之的互相联系，从函数的角度可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑。
深入探究
求一元一次方程
kx+b=0的解
一次函数与一元一次方程的关系
求y=0时一次函数
y=
kx+b中x的值
从函数
值看
求一元一次方程
kx+b=0的解
求直线y=
kx+b
与
x
轴交点的横
坐标
从函数
图象看
课堂小结
1.已知关于的不等式的解集是，则直线＝与轴的交点是（
）
A.
B.
C.
D.
D
检测目标
2.已知一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图像经过（2,3），则方程kx+b=-3的解为（
）
A.x=1
B.x=2
C.x=3
D.x=4
B
检测目标
3、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b的是（
）
A
B
C
D
B
检测目标
4.一次函数y=ax+b交x轴于点(-5,0)，则关于x的方程ax+b=0的解是（
）
A.x=-5
B.x=5
C.x=10
D.x=0
A
检测目标
5.函数y=-kx+1
的图象如图所示，则方程kx=1的解是（
）
A.x=0
B.x=1
C.x=-2
D.x=-3
C
检测目标
6.根据下列图像，你能说出哪些一元一次方程的解？并直接写出相应方程的解？
5x=0的解
其解为X=0
X+2=0的解
其解为X=-2
3x+6=0的解
其解为X=2
X-1=0的解
其解为X=1
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题(共38张PPT)
25
15
5
10
20
x
0
y
1.画出一次函数y=x+5与y=0.5x+15的图象。
解：列表，得
x
0
20
y=x+5
5
25
y=0.5x+15
15
25
描点、连线得：
y=0.5x+15
y=x+5
3.上图中两条直线的交点坐标是(
，
)
20
25
温故知新
2.直线
y=ax+b
在坐标系中的位置如图，
则方程
ax+b>0
的解是
x
____
x
y
0
3
-4
＞-
4
温故知新
19.2.3 一次函数与
方程、不等式
人教版八年级数学
下册
第3课时
一次函数与二元一次方程组
目标导航
1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义；
2．经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想
认真阅读课本的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
把二元一次方程y-x=1
写成一次函数y=_____的形式
2、你能找出方程的几组解吗?
3、把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来，你发现了什么?
x+1
1、画出一次函数y=x+1的图像
4、以二元一次方程y-x=1的所有解为坐标的点都在一次函数y=x+1的图像上吗？
问题探究
x
y
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
-1
6
7
y=x+1
合作交流
即:
二元一次方程
(数)
相应的一次函数的图象一条直线
(形)
对应
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.反过来,
一次函数图象上的点的坐标都是相应的二元一次方程的解.
知识归纳
例1.
1号探测气球从海拔5
m
处出发，以1
m/min
的速度
上升．与此同时，2
号探测气球从海拔15
m
处出发，以
0.5
m/min
的速度上升．两个气球都上升了1
h．
请用解析式分别表示两个气
球所在位置的海拔
y（m）与气球
上升时间
x（min）的函数关系．
h1
h2
气球1
海拔高度：y
=x+5；
气球2
海拔高度：y
=0.5x+15．
二元一次方程与一次函数有
什么关系？
精典例题
解：联立方程组：
y=x+5
y=0.5x+15
解二元一次方程组得：
x=_____
y=_____
答：当气球上升
分钟时，两气球都位于海拔
米的高度.
20
25
25
20
合作探究
分析：
(1)
气球上升时间满足__________。
1号气球的函数解析式为_________；
2号气球的函数解析式为_________
。
(2)
在某个
时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值（0≤x≤60），函数y=x+5和y=0.5x+15有__________。
则只需求出x和y的值。
0≤x≤60
y=x+5
y=0.5x+15
相同的y值
合作探究
一次函数
二元一次方程
一次函数
y
=0.5x+15
二元一次方程
y
-0.5x
=15
二元一次方程
y
=0.5x+15
用方程观点看
用函数观点看
从式子（数）角度看：
分析归纳
从“数”的角度看，解二元一次方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值_____，以及这个函数值是多少；
从“形”的角度看，解二元一次方程组,相当于确定________的交点坐标。因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解。
相等
两条直线
得出结论
（1）在同一坐标系中
画出以
y
=0.5x+15
的解为
坐标的点组成的图形和一
次函数y
=0.5x+15
的图象，
你有什么发现？
例2.从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关系？
15
10
5
-5
5
10
O
x
y
y
=0.5x+15
精典例题
（2）一般地，以方程
y
=kx+b（其中k，b
为常数，
k≠0）的解为坐标的点组
成的图形与一次函数
y
=kx
+b
的图象有什么关系？
15
10
5
-5
5
10
O
x
y
y
=0.5x+15
例2.从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关系？
精典例题
从形的角度看：
以二元一次方程
y
=kx+b（其中k，b为
常数，k≠0）的解为
坐标的点组成的图形
一次函数y
=
kx+b的图象
分析归纳
1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数
__
____的图像上。
2、方程组
的解是
，由此可知
一次函数
与
的图像必有一个交点，且交点坐标是
。
x-y=4
3x-y=16
y=2x-1
x=6
y=2
y=x+4
y=-3x+16
(6，2)
即学即练
3.看图象解不等式
x
o
y=5x-3
2
y=3x+1
7
y
从图中看出，当x>2时，直线y=5x-3上的点在直线y=3x+1上相应点的上方，即5x-3>3x+1，所以不等式的解集为x>2。
检测目标
4.一次函数y=3x-4的图象是一条直线，它由无数个点组成的，那么方程3x-y=4
的解有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数个
D
即学即练
例3
利用函数图象解方程组
解：由方程组得一次函数y=－x+3和y=3x－5
由图可知，两直线的交点坐标为（2，1），所以原方程组的解是
图象法解二元一次方程组的一般步骤:
⑴把两个方程化为一次函数y=kx+b的形式；
⑵再把它们的图象画在同一直角坐标系中；
⑶确定两直线交点的坐标.
方法归纳
二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数图象的交点坐标相对应。
由此可得:
二元一次方程组的图象解法.
写函数，作图象，找交点，下结论
方法归纳
y
o
x
x-y=0
2x+y=5
作出图象：
观察图象得：交点(1.7,1.7)
∴方程组的解为
x=1.7
y=1.7
精确！
图象法：
你有哪些方法？
例4.解方程组
代数法：
x=5/3
y=5/3
∴方程组的解为
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难以准确.为了获得准确的结果,我们一般用代数方法.
近似！
精典例题
y=x
y=-2x+5
例：一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分0.05元的价格按上网时间计费，如何选择收费方式能使上网者更合算？
精典例题
解法1：设上网时间为x分，若按方式A则收y=0.1x元；若按方式B则收y=0.05x+20元，在同一坐标系分别画出这两个函数的图象。
两图象的交点坐标是多少？
精典例题
答：当一个月内上网时间少于400分时，选择方式A省钱；当上网时间等于400分时，选择方式A、方式B没有区别；当上网时间多于400分时，选择方式B省钱.
得
所以图象交点坐标（400，40）
当0当x=400时，0.1x=0.05x+20
当x>400时，0.1x>0.05x+20
解法2：设上网时间为x分，方式B与方式A两种计费的差额为y元，则y与x的函数关系式为y=(0.05x+20)-0.1x化简为y=－0.05x+20
精典例题
方程（组）与函数之的互相联系，从函数的角度可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地把它们结合起来考虑。
归纳小结
二元一次方程组与一次函数之间的关系
每个二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
1.从形的角度看，二元一次方程组的解就是两直线交点的坐标；
2.从数的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值.
课堂小结
X=
-1
A
C
B
D
无法确定
-2
-1
x
y
o
B
两个区域
检测目标
2.用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象，则所解的二元一次方程组是（
）
B
C
D
A
｛
｛
｛
｛
3.
D
检测目标
3.直线y=kx+3经过点A（2，1），则不等式kx+3≥0的解集是（ ）
A．x≤3
B．x≥3
C．x≥﹣3
D．x≤0
A
检测目标
4.直线y=ax+b过点A（0，2）和点
B（﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（ ）
A．x=2
B．x=0
C．x=﹣1
D．x=﹣3
D
检测目标
5.如右图,
一次函数
的图象
经过点
,则关于x的不等式
的解集为________________.
x<-2
分析：即求y>-2时x的取值范围
检测目标
x
y
o
P（1，1）
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题
