人教高中数学B版选修4-5 1.4绝对值的三角不等式 教案 Word

1.4绝对值三角不等式
☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；
2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义；
3.理解绝对值三角不等式；
4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。
☆教学重点：定理1的证明及几何意义。
☆教学难点：换元思想的渗透。
☆教学过程：
一、引入：
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？
实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？
显然，当且仅当时等号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）。同样，当且仅当时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值的和的性质。
二、典型例题：
例1、证明
（1），
（2）。
证明（1）如果那么所以
如果那么所以
（2）根据（1）的结果，有，就是，。
所以，。
例2、证明
。
例3、证明
。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）
探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？
定理1
如果,
那么.
在上面不等式中,用向量分别替换实数,
则当不共线时,
由向量加法三角形法则:
向量构成三角形,
因此有｜a+b｜<｜a｜+｜b｜
其几何意义是什么？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
例4、已知
，求证
证明
（1）
，
∴
（2）
由（1），（2）得：
例5、已知
求证：。
证明
，∴，
由例1及上式，。
注意：
在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
四、巩固性练习：
1、已知求证：。
2、已知求证：。
作业：习题1.2
2、3、5
1.4绝对值三角不等式学案
☆预习目标：
1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程；
2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;
3.理解绝对值三角不等式。
☆预习内容：
1．绝对值的定义：，
2.
绝对值的几何意义：
10.
实数的绝对值，表示数轴上坐标为的点A
20.
两个实数，它们在数轴上对应的点分别为，
那么的几何意义是
3.定理1的内容是什么？其证法有几种？
4.若实数分别换成向量定理1还成立吗？
5、定理2是怎么利用定理1证明的？
☆探究学习：
1、绝对值的定义的应用
例1
设函数．
解不等式；求函数的最值．
2.
绝对值三角不等式：探究，，之间的关系.
①时,如下图,
容易得：.
②时,如图,
容易得：.
③时,显然有：.
综上,得
定理1
如果,
那么.
当且仅当
时,
等号成立.
在上面不等式中,用向量分别替换实数,
则当不共线时,
由向量加法三角形法则:
向量构成三角形,
因此有
它的几何意义就是:
定理1的证明:
定理2
如果,
那么.
当且仅当
时,
等号成立.
3、定理应用
例2
（1）证明，
（2）已知
，求证
。
☆课后练习
：
当
成立的充要条件是
A．
B．
C．
D．
对任意实数，恒成立，则的取值范围是
；
对任意实数，恒成立，则的取值范围是
若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是
方程的解集为
,不等式的解集是
已知方程有实数解，则a的取值范围为
。
画出不等式的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式
1、;
2、
解不等式：1、;
2、;
3、
;
4、
1、已知
求证：。
2、已知求证：。
3、已知
求证：
1、已知
求证：
2、已知
求证：
参考答案:
☆课后练习
B.
2、a＜3
3
、a＞4
4、a＞7
5、｛-3＜x＜=-2或x＞=0｝{x<0或x>2}
6、-3<=a<-1
7、先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于：
，，.
其图形是由第一象限中直线下方的点所组成。
同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式的图形是以原点O为中心，四个等点分别在坐标轴上的正方形。不等式解的范围一目了然。
探究：利用不等式的图形解不等式
1.
;
2．
答案：1、-0.52.为一菱形区域。
8、1、02、x>-1/2
3、x<-3或x>0
4、x>-2
1、已知
求证：。
证明
，∴，
由例1及上式，。
2、
3（解答略）
10、（解答略）
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