2020--2021学年人教版八年级数学下册 18.2.2 菱形 （1）（24张）

18.2.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
平行四边形
邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
AB=BC
ABCD
四边形ABCD是菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形.
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
问：如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
B
D
A
C
菱形是轴对称图形
探究菱形的性质
(2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由.
提示:从边、角、对角线、面积等方面来探讨
(1) 菱形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴。
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，
故：
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四
边形的所有性质.
菱形的性质：
菱形的性质1：
菱形的四条边都相等。
B
D
A
C
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图，
证明：∵四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
在△ABD中，　　
又∵BO=DO
∴AB=AD（菱形的四条边都相等）
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD
同理： AC平分∠BCD；
BD平分∠ABC和∠ADC
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC
命题：菱形的对角线互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角；
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
归纳
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝
5，则△ABD的周长是 (　　)
A.10 B.12 C.15 D.20
C
练习
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
第1题图
第2题图
6cm
3 如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，?
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.?
又∵AD＝BA ，
∴△AOD≌△BEA ，
∴AO＝BE .
问题2 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
【菱形的面积公式】
　菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC. AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗?

ABCD=S△ABD+S△BCD= AC×BD
S菱形
面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半

例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m ）
2
A
B
C
D
O
解：
∵花坛ABCD的形状是菱形
∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC= ×60°=30°
在Rt△OAB中，AO= AB= ×20=10
BO= AB －AO = 20 －10 =10 3
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20cm，
BD=2BO=20 3 ≈34.64（cm）
≈
花坛的面积：S =4×S = AC·BD=200 3 346.4(cm )
菱形ABCD
△OAB
【变式题】 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC= ×180°=60°，
∴∠ABO= ×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形.
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
O
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
（2）有哪些特殊的三角形？
（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相　　　　　　　　等的？
相等的线段：
相等的角：
等腰三角形：
直角三角形：
全等三角形：
已知四边形ABCD是菱形
AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
△ABC △ DBC △ACD △ABD
Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
C
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于 （　　）
A.18 B.16 C.15 D.14
B
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长
是 ______.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝
_______.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长是_______.
3cm
30°
A
B
C
O
D
5cm
(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角
线长为11cm，菱形的周长为______.
44cm
(5)菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为 1∶2 ,
那么菱形最短的那条对角线长为_______.
8cm
A
B
C
O
D
4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对
角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=90°,
(2)菱形ABCD的面积
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
D
B
C
A
E
5、四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的
交点，已知AB=5cm，AO=4cm，求对角
线BD的长。
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴
∴OB=3
∴ BD=2OB=6 cm
5
4
3
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决
6如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又 CE=CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
7.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角