河北省邯郸市第十一中学2020——2021学年八年级上学期期末数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年河北省邯郸十一中八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共16小题，1-10题每题3分，11-16题每题2分，共42分）
1．下列图形具有稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
2．若□×xy＝3x2y+2xy，则□内应填的式子是（　　）
A．3x+2 B．x+2 C．3xy+2 D．xy+2
3．如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，△ABC的BC边上的高是（　　）
A．BE B．AF C．CD D．CF
5．对于分式来说，当x＝﹣1时，无意义，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
6．计算：（a?a3）2＝a2?（a3）2＝a2?a6＝a8，其中，第一步运算的依据是（　　）
A．积的乘方法则 B．幂的乘方法则
C．乘法分配律 D．同底数幂的乘法法则
7．如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝5，AC＝4，∠C＝45°
9．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（　　）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
10．如图，已知点D、E分别在∠CAB的边AB、AC上，若PD＝6，由作图痕迹可得，PE的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．12
11．（2分）若化简?□的最终结果是整式，则□的式子可以是（　　）
A．m﹣1 B．m+1 C．m D．2
12．（2分）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（　　）
A．（BM垂直于a） B．（AM不平行BN）
C．（AN垂直于b） D．（AM平行BN）
13．（2分）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　）
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②
14．（2分）当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（　　）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
15．（2分）如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至C'时，另一端D向右滑到D'，则下列说法正确的是（　　）
A．下滑过程中，始终有CC'＝DD'
B．下滑过程中，始终有CC'≠DD'
C．若OC＜OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD'
D．若OC＞OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD'
16．（2分）如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
二、填空题（共3小题，17-18每题3分，19题每空2分，共12分）
17．﹣b?b3＝　 　．
18．用科学记数法表示（2.5）8（0.4）10＝　 　．
19．（6分）如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝　 　；
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝　 　；
（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为　 　．
三、解答题（共66分）
20．（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1的顶点坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
21．（8分）小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．
22．（9分）在化简（x+1）●（x﹣1）+（◆x2﹣1）题目中，●表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个，◆表示二次项的系数．
（1）若●表示“×”；
①把◆猜成1时，请化简（x+1）（x﹣1）+（x2﹣1）；
②若结果是一个常数，请说明◆表示的数是几？
（2）若◆表示数﹣2，当x＝1时，（x+1）●（x﹣1）+（﹣2x2﹣1）的值为﹣1，请推算●所表示的符号．
23．（9分）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
24．（10分）发现：两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方．
验证：（1）9×7+1是几的平方？
（2）设较小的一个正整数为n，写出这两个正整数积与1的和，并说明它是一个正整数的平方．
延伸：两个差为4的正偶数，它们的积与常数a的和是一个正整数的平方，求a．
25．（10分）两个小组攀登一座450m高的山，第二组的攀登速度是第一组的a倍．
（1）若两个小组同时开始攀登，当a＝1.2时，第二组比第一组早15min到达顶峰，求两个小组的攀登速度；
（2）元旦假期这两个小组去攀登另一座hm高的山，第二组比第一组晚出发30min，结果两组同时到达顶峰，问第二组的平均攀登速度比第一组快多少？（用含a，h的代数式表示）
26．（12分）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F．
（Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC；
（Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD；
（Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　．
2020-2021学年河北省邯郸十一中八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共16小题，1-10题每题3分，11-16题每题2分，共42分）
1．下列图形具有稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
【解答】解：三角形、四边形、五边形及六边形中只有三角形具有稳定性．
故选：A．
2．若□×xy＝3x2y+2xy，则□内应填的式子是（　　）
A．3x+2 B．x+2 C．3xy+2 D．xy+2
【分析】利用乘除法的关系可得□内应填的式子是：（3x2y+2xy）与xy的商，计算即可．
【解答】解：（3x2y+2xy）÷xy，
＝3x+2，
故选：A．
3．如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用轴对称的性质得出符合题意答案．
【解答】解：从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走2，就可以成为一个轴对称图形．
故选：B．
4．如图，△ABC的BC边上的高是（　　）
A．BE B．AF C．CD D．CF
【分析】根据三角形的高解答即可．
【解答】解：△ABC的BC边上的高是AF，
故选：B．
5．对于分式来说，当x＝﹣1时，无意义，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据分式无意义分条件计算即可．
【解答】解：当x﹣a＝0，即x＝a时，分式无意义，
∵当x＝﹣1时，分式无意义，
∴a＝﹣1，
故选：C．
6．计算：（a?a3）2＝a2?（a3）2＝a2?a6＝a8，其中，第一步运算的依据是（　　）
A．积的乘方法则 B．幂的乘方法则
C．乘法分配律 D．同底数幂的乘法法则
【分析】积的乘方法则：积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此判断即可．
【解答】解：（a?a3）2＝a2?（a3）2的依据是积的乘方法则．
故选：A．
7．如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，求出∠ACD＝60°，∠CAD＝90°，求出∠ADC＝30°，根据很30度角的直角三角形性质得出DC＝2AC，求出即可．
【解答】解：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，AB＝3，∠BAD＝150°，
∴AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝60°，∠CAD＝150°﹣60°＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∴DC＝2AC＝6，
∴DE＝DC＝6，
故选：D．
8．根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝5，AC＝4，∠C＝45°
【分析】判断其是否为三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形并不是唯一存在，可能有多种情况存在．
【解答】解：A、∵AC与BC两边之和大于第三边，∴能作出三角形，且三边知道能唯一画出△ABC；
B、∠B是AB，BC的夹角，故能唯一画出△ABC；
C、AB＝5，AC＝4，∠C＝90°，得出BC＝3，可唯一画出△ABC；
D、AB＝5，AC＝4，∠C＝45°，不能画出一个三角形．
故选：D．
9．如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，则A，B，C三岛组成一个（　　）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【分析】如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，可得∠DCA＝∠EAC＝35°，根据AE∥BF，可得CD∥BF，可得∠BCD＝∠CBF＝55°，进而得△ABC是等腰直角三角形．
【解答】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，
∴∠DCA＝∠EAC＝35°，
∵AE∥BF，
∴CD∥BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝55°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+55°＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
∵∠CAD＝∠EAD﹣∠CAE＝80°﹣35°＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠CAD＝45°，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故选：A．
10．如图，已知点D、E分别在∠CAB的边AB、AC上，若PD＝6，由作图痕迹可得，PE的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．6 D．12
【分析】根据作图痕迹可得，AP是∠BAC的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得PE的最小值．
【解答】解：根据作图痕迹可知：
AP是∠BAC的平分线，
∵PD⊥AB，且PD＝6，
当PE⊥AC时，
PE＝PD＝6，
∴PE的最小值是6．
故选：C．
11．（2分）若化简?□的最终结果是整式，则□的式子可以是（　　）
A．m﹣1 B．m+1 C．m D．2
【分析】根据同分母分子的加减法法则判断即可．
【解答】解：A.＝，故本选项符合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项不合题意．
故选：A．
12．（2分）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（　　）
A．（BM垂直于a） B．（AM不平行BN）
C．（AN垂直于b） D．（AM平行BN）
【分析】过A作河的垂线AH，要使最短，MN⊥直线a，AI＝MN，连接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．
【解答】解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），只要AM+BN最短即可，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．
连结IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选：D．
13．（2分）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD＝∠AOB．以下是排乱的作图过程：则正确的作图顺序是（　　）
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
A．①﹣②﹣③﹣④ B．③﹣②﹣④﹣① C．④﹣①﹣③﹣② D．④﹣③﹣①﹣②
【分析】根据作一个角等于已知角的作图过程即可判断．
【解答】解：根据作一个角等于已知角的过程可知：
④以O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点E，F．
①以C为圆心，OE长为半径画，交OB于点M．
③以M为圆心，EF长为半径画弧，交于点D．
②作射线CD，则∠BCD＝∠AOB．
故选：C．
14．（2分）当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（　　）
A．被5整除 B．被6整除 C．被7整除 D．被8整除
【分析】将所求式子用完全平方公式展开可得原式＝8（n﹣1），即可进行求解．
【解答】解：（n+1）2﹣（n﹣3）2＝n2+2n+1﹣n2+6n﹣9＝8n﹣8＝8（n﹣1），
∴能被8整除，
故选：D．
15．（2分）如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至C'时，另一端D向右滑到D'，则下列说法正确的是（　　）
A．下滑过程中，始终有CC'＝DD'
B．下滑过程中，始终有CC'≠DD'
C．若OC＜OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD'
D．若OC＞OD，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC'＝DD'
【分析】根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB中，初始位置为CD，当一端C下滑至C'时，另一端D向右滑到D'，
可得：CD＝C'D'，
A、下滑过程中，CC'与DD'不一定相等，说法错误；
B、下滑过程中，当△OCD与△OD'C'全等时，CC'＝DD'，说法错误；
C、若OC＜OD，则下滑过程中，不存在某个位置使得CC'＝DD'，说法错误；
D、若OC＞OD，则下滑过程中，当△OCD与△OD'C'全等时，一定存在某个位置使得CC'＝DD'，说法正确；
故选：D．
16．（2分）如图，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝10，ab＝18，则阴影部分的面积为（　　）
A．21 B．22 C．23 D．24
【分析】表示出空白三角形的面积，用总面积减去两个空白三角形的面积即可，再将得到的等式变形后，利用整体代入求值即可．
【解答】解：如图，三角形②的一条直角边为a，另一条直角边为b，因此S△②＝（a﹣b）b＝ab﹣b2，
S△①＝a2，
∴S阴影部分＝S大正方形﹣S△①﹣S△②，
＝a2﹣ab+b2，
＝[（a+b）2﹣3ab]，
＝（100﹣54）
＝23，
故选：C．
二、填空题（共3小题，17-18每题3分，19题每空2分，共12分）
17．﹣b?b3＝　﹣b4　．
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【解答】解：﹣b?b3＝﹣b1+3＝﹣b4．
故答案为：﹣b4．
18．用科学记数法表示（2.5）8（0.4）10＝　1.6×10﹣1　．
【分析】积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，据此化简后用科学记数法表示结果即可．
【解答】解：（2.5）8（0.4）10
＝
＝
＝
＝18×0.16
＝1.6×10﹣1．
故答案为：1.6×10﹣1．
19．（6分）如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝　20°　；
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝　70°　；
（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为　1＜m＜17　．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，AN＝CN，根据三角形内角和定理计算即可；
（3）根据三角形的周长公式得到△AEN的周长＝BC，根据三角形的三边关系计算，得到答案．
【解答】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B＝20°；
（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，
∴∠BAE+∠CAN＝70°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，
∵∠ADF＝∠AMF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；
（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，
在△ABC中，AB＝8，AC＝9，
∴9﹣8＜BC＜9+8，
∴1＜m＜17．
故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）1＜m＜17．
三、解答题（共66分）
20．（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△A1B1C1的顶点坐标．
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）依据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出△A1B1C1的位置以及顶点坐标．
（2）依据割补法进行计算，即可得出△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1的顶点坐标为：A1（1，﹣4），B1（4，﹣2），C1（3，﹣5）．
（2）△ABC的面积为：3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3＝9﹣1﹣1.5﹣3＝3.5．
21．（8分）小明采用如图所示的方法作∠AOB的平分线OC：将带刻度的直角尺DEMN按如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上并标记出点D的位置，量出OD的长，再重新如图放置直角尺，在DN边上截取DP＝OD，过点P画射线OC，则OC平分∠AOB．请判断小明的做法是否可行？并说明理由．
【分析】根据平行线的性质得到∠DPO＝∠POM，根据等腰三角形的性质得到∠DPO＝∠DOP，由等量代换得到∠POM＝∠DOP，由此可判断小明的做法可行．
【解答】解：小明的做法可行．理由如下：
在直角尺DEMN中，DN∥EM，
∴∠DPO＝∠POM，
∵DP＝OD，
∴∠DPO＝∠DOP，
∴∠POM＝∠DOP，
∴OC平分∠AOB．
22．（9分）在化简（x+1）●（x﹣1）+（◆x2﹣1）题目中，●表示+，﹣，×，÷四个运算符号中的某一个，◆表示二次项的系数．
（1）若●表示“×”；
①把◆猜成1时，请化简（x+1）（x﹣1）+（x2﹣1）；
②若结果是一个常数，请说明◆表示的数是几？
（2）若◆表示数﹣2，当x＝1时，（x+1）●（x﹣1）+（﹣2x2﹣1）的值为﹣1，请推算●所表示的符号．
【分析】（1）①原式利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
②原式化简后，根据结果为常数，确定出◆表示的数即可；
（2）把x＝1代入原式，使其值为﹣1，确定出●所表示的符号即可．
【解答】解：（1）①（x+1）（x﹣1）+（x2﹣1）＝x2﹣1+x2﹣1＝2x2﹣2；
②原式＝x2﹣1+◆x2﹣1＝（1+◆）x2﹣2，
若结果是一个常数，1+◆＝0，
则◆＝﹣1；
（2）把x＝1代入得，2●0+（﹣2﹣1）＝﹣1，
整理得：2●0＝2，
则●为+或﹣．
23．（9分）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，
（1）求这个多边形的边数；
（2）若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？
【分析】（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，根据内角与其相邻的外角的和是180度列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°，求出此多边形的边数为360°÷α；
（2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．
【解答】解：（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，
由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．
即多边形的每个外角为40°．
又∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的外角个数＝＝9．
∴多边形的边数＝9，
答：这个多边形的边数是9；
（2）因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
当截线为经过对角2个顶点的直线时，多边形的边数减少了1条边，内角和＝（9﹣2﹣1）×180°＝1080°；
当截线为经过多边形一组对边的直线时，多边形的边数不变，内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°；
当截线为只经过正方形一组邻边的一条直线时，多边形的边数增加一条边，内角和＝（9﹣2+1）×180°＝1440°．
答：将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是1080°或1260°或1440°．
24．（10分）发现：两个差为2的正整数的积与1的和总是一个正整数的平方．
验证：（1）9×7+1是几的平方？
（2）设较小的一个正整数为n，写出这两个正整数积与1的和，并说明它是一个正整数的平方．
延伸：两个差为4的正偶数，它们的积与常数a的和是一个正整数的平方，求a．
【分析】（1）计算9×7+1，即可求解；
（2）设较小的一个正整数为n，那么这两个正整数积与1的和即为（n+2）×n+1，计算即可求解；
延伸解：设较小的正偶数为2k，计算2k（2k+4）+a＝4k2+8k+a＝，求出a＝4．
【解答】解：（1）∵9×7+1＝64＝82，
∴9×7+1是8的平方；
（2）和为（n+2）×n+1，
∵（n+2）×n+1＝n2+2n+1＝（n+1）2，
∴原式为正整数（n+1）的平方；
延伸：设较小的正偶数为2k，
∴2k（2k+4）+a＝4k2+8k+a＝，
由配方法可知a＝4，
原式＝4（k2+2k+1）＝[2（k+1）]2，
综上：a＝4．
25．（10分）两个小组攀登一座450m高的山，第二组的攀登速度是第一组的a倍．
（1）若两个小组同时开始攀登，当a＝1.2时，第二组比第一组早15min到达顶峰，求两个小组的攀登速度；
（2）元旦假期这两个小组去攀登另一座hm高的山，第二组比第一组晚出发30min，结果两组同时到达顶峰，问第二组的平均攀登速度比第一组快多少？（用含a，h的代数式表示）
【分析】（1）设第一组的速度为xm/min，则第二组的速度为1.2xm/min，根据两个小组同时开始攀登，第二组比第一组早15min，列方程求解．
（2）设第一组的速度为ym/min，则第二组的速度为aym/min，根据两个小组去攀登另一座hm高的山，第二组比第一组晚出发30min，结果两组同时到达顶峰，列方程求解．
【解答】解：（1）设第一组的速度为xm/min，则第二组的速度为1.2xm/min，
由题意得，﹣＝15，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原分式方程的解，且符合题意，
则1.2x＝6．
答：第一组的攀登速度5m/min，第二组的攀登速度6m/min；
（2）设第一组的平均速度为ym/min，则第二组的平均速度为aym/min，
由题意得，﹣＝30，
解得：y＝，
经检验：y＝是原分式方程的解，且符合题意，
则ay﹣y＝﹣＝，
答：第二组的平均攀登速度比第一组快m/min．
26．（12分）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F．
（Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC；
（Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD；
（Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　AF＝AD+BD　．
【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论；
（Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论；
（Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵AC＝AE，
∴∠ACF＝∠AEG，
∵AF⊥AD，
∴∠DAF＝90°＝∠CAB，
∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG，
∴∠CAF＝∠EAG，
在△AGE和△AFC中，
，
∴△AGE≌△AFC（ASA）；
（Ⅱ）如图1，
过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M，
∴∠ACM＝90°＝∠ABD，
由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB，
在△ACM和△ABD中，
，
∴△ACM≌△ABD（ASA），
∴AM＝AD，CM＝BD，
由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，
∴∠AGE＝∠AFC，
∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC，
∴∠AGC＝∠AFG，
∵∠CFM＝∠AFG，
∴∠AGC＝∠CFM，
∵∠BAC＝90°＝∠ACM，
∴∠BAC+∠ACM＝180°，
∴CM∥AB，
∴∠MCF＝∠AGC，
∴∠CFM＝∠MCF，
∴MF＝CM，
∴AM＝AF+CM，
∴AD＝AF+BD；
（Ⅲ）AD＝AF﹣BD；
过点C作CM⊥AC，交AF于点M，
∴∠ACM＝90°＝∠ABD，
由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB，
在△ACM和△ABD中，
，
∴△ACM≌△ABD（ASA），
∴AM＝AD，CM＝BD，
由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，
∴∠G＝∠F，
∵∠BAC＝90°＝∠ACM，
∴CM∥AB，
∴∠MCF＝∠G，
∴∠F＝∠MCF，
∴MF＝CM，
∴AF＝AM+CM＝AD+BD，
故答案为：AF＝AD+BD．