2020-2021学年鲁教版（五四制）八年级数学下册《6.1菱形的判定与性质》同步课时训练（Word版 附答案）

2021年度鲁教版八年级数学下册《6.1菱形的判定与性质》同步训练（附答案）
1．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：
①FB⊥OC，OM＝CM；
②△EOB≌△CMB；
③四边形EBFD是菱形；
④MB：OE＝3：2．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（　　）
A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cm
3．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为（　　）
A．16 B．15 C．14 D．13
4．下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等
5．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG＝（BC﹣AD），其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．40 B．24 C．20 D．15
8．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC
C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为（　　）
A．60° B．90° C．100° D．110°
11．下列说法中错误的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形 B．菱形的对角线长度等于边长
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
12．如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（　　）
A．EF＝DO B．EF⊥AO
C．四边形EOFA是菱形 D．四边形EBOF是菱形
13．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
14．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
15．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（　　）
A．5 cm B．4.8 cm C．4.6 cm D．4 cm
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为　 　．
17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是　 　．
18．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为　 　．
19．如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE＝AC，CF∥AE，则∠BCF的度数为　 　．
20．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则BD的长为　 　．
21．如图，将两张一样（长为8cm，宽为2cm）的矩形纸条交叉叠放，重合部分为四边形；则四边形的周长的最大值是　 　cm．
22．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和，则此平行四边形的面积为　 　．
23．如图，将两张长为18，宽为6的矩形纸条交叉，可知重叠部分是一个　 　形（图形形状），那么该图形周长的最大值与最小值的差等于　 　．
24．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：
①可以得到无数个平行四边形EGFH；
②可以得到无数个矩形EGFH；
③可以得到无数个菱形EGFH；
④至少得到一个正方形EGFH．
所有正确结论的序号是　 　．
25．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
26．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．
参考答案
1．解：连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB＝OC，
∵∠COB＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，
在△OBF与△CBF中
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM＝CM；
∴①正确，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM＝∠CBM＝30°，
∴∠ABO＝∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
∵OA＝OC，
易证△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误，
∵∠OMB＝∠BOF＝90°，∠OBF＝30°，
∴MB＝，OF＝，
∵OE＝OF，
∴MB：OE＝3：2，
∴④正确；
故选：C．
2．解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR＝AS，
∵AR?BC＝AS?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝AC＝6cm，OB＝BD＝8cm，
∴AB＝＝10（cm），
故选：B．
3．解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AO平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
同理：AF＝BE，
又∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA＝＝＝8，
∴AE＝2OA＝16．
故选：A．
4．解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
D．菱形的邻边相等；正确；
故选：C．
5．解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，
∵AB＝CD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，
∴四边形EFGH是菱形，
∴①EG⊥FH，正确；
②四边形EFGH是菱形，正确；
③HF平分∠EHG，正确；
④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，
∴连接CD，延长EG到CD上一点N，
∴EN＝BC，GN＝AD，
∴EG＝（BC﹣AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误．
综上所述，①②③共3个正确．
故选：C．
6．解：根据作图，AC＝BC＝OA，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝BC＝AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，
∴AB?OC＝×2×OC＝4，
解得OC＝4cm．
故选：C．
7．解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，
∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB＝5，BO＝BD＝4，
∴AO＝3，
∴AC＝2AO＝6，
∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，
故选：B．
8．解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO
∴∠CPO＝∠POD，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA
∴四边形COMP为菱形，PM＝4
PM∥CO?∠PMD＝∠AOP+∠BOP＝30°，
又∵PD⊥OA
∴PD＝PC＝2．
另解：作CN⊥OA．
∴CN＝OC＝2，
又∵∠CNO＝∠PDO，
∴CN∥PD，
∵PC∥OD，
∴四边形CNDP是长方形，
∴PD＝CN＝2
故选：C．
9．解∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则
AE＝AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD中，S△ABC＝S△ACD，即BC×AE＝CD×AF，
∴BC＝CD，即AB＝BC．故B正确；
∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
∴∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD（菱形的对角相等），故A正确；
AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等），故C正确；
如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．
故选：D．
10．解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE．
∴?AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．
故选：B．
11．解：∵四边相等的四边形是菱形
∴A选项正确
∵菱形的对角线长度不一定等于边长，
∴B选项错误
∵一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴C选项正确
∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形
∴选项D正确
故选：B．
12．解：∵菱形ABCD，
∴BO＝OD，BD⊥AC，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，
∴2EF＝BD＝BO+OD，EF∥BD，
∴EF＝DO，EF⊥AO，
∵E是AB的中点，O是BD的中点，
∴2EO＝AD，
同理可得：2FO＝AB，
∵AB＝AD，
∴AE＝OE＝OF＝AF，
∴四边形EOFA是菱形，
∵AB≠BD，
∴四边形EBOF是平行四边形，不是菱形，
故选：D．
13．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2＝∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AD＝DC，
四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长＝4×2＝8．
故选：C．
14．解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OC＝AC＝2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8．
故选：C．
15．解：如图，作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC，BD交于点O，
由题意知，AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵两张纸条等宽，
∴AR＝AS．
∵AR?BC＝AS?CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5．
故选：A．
16．解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
故四边形BDFG的周长＝4GF＝20．
故答案为：20．
17．解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝AC＝2，OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD＝2，
∴四边形CODE是菱形，
∴DE＝CE＝OC＝OD＝2，
∴四边形CODE的周长＝2×4＝8；
故答案为：8．
18．解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两张纸条的宽度都是3，
∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，
∴AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．
如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，
在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，
即AB2＝AB2+32，
解得AB＝2，
∴S四边形ABCD＝BC?AE＝2×3＝6．
故答案是：6．
19．解：过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BQ⊥AC
∵BF∥AC，
∴AO∥BQ 且∠QAB＝∠QBA＝45°
∴AO＝BQ＝AQ＝AC，
∵AE＝AC，
∴AO＝AE，
∴∠AEO＝30°，
∵BF∥AC，
∴∠CAE＝∠AEO＝30°，
∵BF∥AC，CF∥AE，
∴∠CFE＝∠CAE＝30°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF＝∠BCA＝45°，
∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFE＝180﹣45﹣30＝105°．
故答案为：105°．
20．解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
连接AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝1，
∴BO＝＝2，
∴BD＝2BO＝4，
故答案为：4．
21．解：由题意得：AB＝AG，CG∥AH，AD∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵平行四边形AECF的面积＝CE×AB＝AE×AG，
∴CE＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
如图所示，此时菱形的周长最大，
∵四边形AECF是菱形
∴AE＝CF＝EC＝AF，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴AE2＝22+（8﹣AE）2，
∴AE＝，
∴菱形AECF的周长＝×4＝17（cm）；
故答案为：17．
22．解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和，
∵22+（）2＝32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
∴S＝4×2＝4．
故答案为：4．
23．解：重叠部分是一个菱形，
当两张纸条如图1所示放置时，菱形周长最大，
设这时菱形的边长为xcm，
由勾股定理：x2＝（18﹣x）2+62，
解得：x＝10，
∴4x＝40，
即菱形的最大周长为40cm．
当两张纸条如图所2示放置时，即是正方形时取得最小值为：4×6＝24．
∴菱形周长的最大值与最小值的和是40﹣24＝16，
故答案为：16．
24．解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，
∴GH过点O，GH⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，
∴△AHO≌△CGO（AAS），
∴HO＝GO，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，
随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，
故①③正确；
若四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF＝90°；
∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°
∴∠BOG＝∠COF；
在△BOG和△COF中
，
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG＝OF，
同理可得：EO＝OH，
∴GH＝EF；
∴四边形EGFH是正方形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，
故答案为：①③④．
25．（1）证明：①∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，D是BC的中点，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF＝AC?DF＝×4×5＝10．
26．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴OB＝BD＝1，
在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，
∴OA＝＝2，
∴OE＝OA＝2．