北师大版八年级下册数学 6.3三角形中位线定理中的计算问题(Word版 含解析)

三角形中位线定理中的计算问题
一、选择题
1、如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(
)
A
.1
B
.2
C
.
D
.1+
2、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6,
若DE是△ABC的中位线，若在DE交△ABC的外角平分线于点F，
则线段DF
的长为(
)
A
.7
B
.8
C
.9
D
.10
3、如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E，若DE的长度为30m，则A，B两地的距离是(
)
A
.15m
B
.30m?
C
.60m
D
.90m
4、如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，连接OA，点G、F分别为OC、OB的中点，BC=8，AO=6，则四边形DEFG的周长为（　　）
A．12
B．14
C．16
D．18
5、在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC．交DE于点F．AB=8，BC=6，则EF的长为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
6、如图，D、E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的点C′处，若∠CDE=35°，则∠AC′D等于（　　）
A．35°
B．55°
C．70°
D．110°
7、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（　　）
A．
B．
C．3
D．4
8、如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　）
A．
B．1
C．
D．7
9、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为(
)
A
.3
B
.4
C
.
D
.
10、如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（　　）
A．2
B．3
C．4
D．1.5
11、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若BC=4，CD=2，则BE的长为（　　）
A．2
B．3
C．2
D．4
12、如图，在Rt△ABC?中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（　　）
A．30，2
B．60，2
C．60，
D．60，
13、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（　　）
A．2
B．3
C．
D．4
14、如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=12，AD⊥BC于D，点E、F分别在AB、AC边上，把△ABC沿EF折叠，使点A与点D恰好重合，则△DEF的周长是（　　）
A．14
B．15
C．16
D．17
15、如图，△ABC中，AB=AC=6，BC=8，AE平分∠BAC交BC于E，D为AB的中点，连结DE，则△ADE的周长是（　　）
A．6+2
B．10
C．6+2
D．12
16、如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE=3，则△ABC的周长是（　　）
A．6
B．9
C．18
D．24
17、三角形三条中位线的长为3、4、5，则此三角形的面积为（　　）
A．12
B．24
C．36
D．48
18、△ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若△DEF的周长为6，则△ABC的周长为（　　）
A．3
B．6
C．12
D．24
19、如图，△ABC中，已知AB=8，∠C=90°，∠A=60°，DE是中位线，则DE的长为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．2
20、如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠C=90°，AB=6，CD=8，M，N，P分别为AD、BC、BD的中点，则MN的长为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
二、填空题
21、
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、F分别在AB、AC上，DF垂直平分AB，E是BC的中点，若∠C＝70°，则∠EDF＝__________
°.
22、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为__________.
23、如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为
__________
（n为正整数）．
24、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE的最小值是
__________
．
25、如图,在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B=50°，现将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为，则的度数为__________°.
26、如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝45cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为__________cm．
27、如图，△ABC中，AB=6，AC=4，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为__________．
28、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为__________秒．
29、如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点A，C的坐标分别为（2，0），（0，2），D是x轴正半轴上的一点（点D在点A的右边），以BD为边向外作正方形BDEF（E，F两点在第一象限），连接FC交AB的延长线于点G．若反比例函数y=的图象经过点E，G两点，则k的值为__________．
30、如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若CD=2EF=6，BC=6，则∠C等于__________．
31、如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为
__________
m．
32、如图，在等边△ABC中，AB=6，AN=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，则BM+MN的最小值是__________．
33、如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=50°，∠CBA=70°，P、M、N分别是AB，AC、BD的中点，若BC=8，则△PMN的周长是__________．
34、如图，?ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAD和∠ABC的平分线相交于点E．若?ABCD的周长为18，△AOB的周长比△AOD的周长少3，则OE=__________．
35、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点．已知AC+BD=12厘米，△OAB的周长是10厘米，则EF=
__________
厘米．
36、如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点AD=BC=8，EF=7.6，则△PEF的周长是
__________
．
37、如图平行四边形ABCD中，∠ABD=30°，AB=4，AE⊥BD，CF⊥BD，且，E，F恰好是BD的三等分点，又M、N分别是AB，CD的中点，那么四边形MENF的面积是__________．
38、如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为__________．
39、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是
__________
．
40、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，E、F分别是AB，BC的中点，若∠D=108°，则∠1=
__________
．
41、如图，将直角△ABC绕点C顺时针旋转90°至△A′B′C的位置，已知AB=10，BC=6，M是A′B′的中点，则AM=__________．
三、解答题
42、
如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，AB=12，AC=22，求MD的长。
43、
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点。
（1）求∠A的度数；
（2）求EF的长。
44、如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A=28°，∠B=130°，则∠A′NC=
__________
°．
45、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．
（1）求∠A的度数；
（2）求EF的长．
46、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB边上的中线，且CD=5，则△ABC的中位线EF的长是
__________
．
试卷
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三角形中位线定理中的计算问题的答案和解析
一、选择题
1、答案：
A
试题分析：
由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2．
又∵点D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE是△ACB的中位线，
∴DE=AB=1．
故选：A．
2、答案：
B
试题分析：
∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC.根据平行线的性质可求得DF的长度。
解：根据题意可求得AC===10
∵DE为△ABC的中位线
∴DE∥BC
∴DF∥BM
∴∠ACB=∠CEF?∠FCM=∠CFE
又∵CF平分∠ECM
∴∠ECF=∠FCM
∴∠ECF=∠EFC
∴△EFC为等腰三角形
∴EC=EF
又∵DE为△ABC的中位线
∴DE=BC=3，EC=AC=5
∴DF=DE+EC=8
故选：B.
3、答案：
C
试题分析：
根据三角形中位线求出AB=2DE，代入求出即可。
解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=30m，
∴AB=2DE=60m
故选：C．
4、答案：
B
试题分析：根据三角形中位线定理，可得ED=FG=BC=4，GD=EF=AO=3，进而求出四边形DEFG的周长．
试题解析：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴ED∥BC且ED=BC，
∵F是BO的中点，G是CO的中点，
∴FG∥BC且FG=BC，
∴ED=FG=BC=4，
同理GD=EF=AO=3，
∴四边形DEFG的周长为3+4+3+4=14．
故选B．
5、答案：
A
试题分析：利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC=∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF=DB，进而求出DF的长，易求EF的长度．
试题解析：∵在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，
∴DE∥AB，DE=AB=4．
∴∠EDC=∠ABC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠EDC=2∠FBD．
∵在△BDF中，∠EDC=∠FBD+∠BFD，
∴∠DBF=∠DFB，
∴FD=BD=BC=×6=3．
∴FE=DE-DF=4-3=1．
故选：A．
6、答案：
A
试题分析：先根据图形翻折不变性的性质可得：∠C'DE=∠CDE=35°，再由DE是三角形的中位线，则DE∥AB，根据平行线的性质求解．
试题解析：∵∠C'DE=∠CDE=35°，
又∵D、E分别为△ABC的AC，BC边的中点，
∴DE∥AB，
∴∠AC'D=∠C'DE=35°．
故选A．
7、答案：
C
试题分析：首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．
∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，
∴DE=BE+CD-BC=6，
∴PQ=DE=3．
故选：C．
8、答案：
A
试题分析：由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．
试题解析：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG=AC=3，GF=CF，
∵AB=4，AC=3，
∴BG=1，
∵AE是中线，
∴BE=CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF=BG=，
故选：A．
9、答案：
A
试题分析：
首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．
解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，
∴DE=BE+CD-BC=6，
∴PQ=DE=3．
故选：A．
10、答案：
A
试题分析：先根据图形旋转不变性的性质求出B′C′的长，再根据三角形中位线定理即可得出结论．
∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴B′C′=BC=4，
∵D′E′是△A′B′C′的中位线，
∴D′E′=B′C′=×4=2．
故选：A．
11、答案：
D
试题分析：首先，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得斜边AB=2CD=4，则在Rt△ABC中由勾股定理求得线段AC=8；其次，利用三角形中位线定理求得CE=AC=4；最后，在Rt△BCE中，利用勾股定理来求线段BE的长度．
试题解析：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，CD=2，
∴AB=2CD=4．
又∵BC=4，
∴AC===8．
∵∠ACB=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC．
∵点D是斜边AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴CE=AC=4，
∴在Rt△BCE中，BE===4．
故选D．
12、答案：
C
试题分析：先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．
∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4，
∵△EDC是△ABC旋转而成，
∴BC=CD=BD=AB=2，
∵∠B=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BCD=60°，
∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵BD=AB=2，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，
∴S阴影=DF×CF=×=．
故选C．
13、答案：
B
试题分析：利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC=∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF=DB，进而求出DF的长．
试题解析：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点
∴DE∥AB
∴∠EDC=∠ABC
∵BF平分∠ABC
∴∠EDC=2∠FBD
在△BDF中，∠EDC=∠FBD+∠BFD
∴∠DBF=∠DFB
∴FD=BD=BC=×6=3．
故选B．
14、答案：
B
试题分析：根据折叠的性质可得EF为△ABC的中位线，△AEF≌△DEF，分别求出EF、DE、DF的长度，即可求得周长．
试题解析：由折叠的性质可得，△AEF≌△DEF，EF为△ABC的中位线，
∵AB=10，AC=8，BC=12，
∴AE=ED=5，AF=FC=4，EF=6，
∴△DEF的周长=5+4+6=15．
故选B．
15、答案：
A
试题分析：根据等腰三角形的性质求出AE⊥BC，BE=EC=3，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE和AD，根据勾股定理求出AE，即可求出答案．
试题解析：如图所示，
∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于点E，
∴BE=CE=4，AE⊥BC．
∴在直角△ABE中，由勾股定理知，AE===2
又∵D为AB的中点，
∴DE是△BAC的中位线，
∴DE=AC=3，
∴△ADE的周长=3+3+2=6+2．
故选：A．
16、答案：
C
试题分析：根据三角形的中位线定理，即可求得等边三角形的一边长，再根据等边三角形的三边相等求得其周长．
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE=3，
∴BC=2DE=2×3=6，
在等边△ABC中，AB=BC=CA，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=3BC=3×6=18．
故选C．
17、答案：
B
试题分析：根据中位线定理可以求出原三角形的边长分别为6、8、10，再利用勾股定理的逆定理判断其形状，易证原三角形是直角三角形，再求面积．
试题解析：∵三角形三条中位线的长为3、4、5，
根据中位线定理，三角形三条边长为
2×3=6，2×4=8，2×5=10，
根据勾股定理的逆定理，62+82=102，
所以此三角形为直角三角形．
此三角形的面积为：×6×8=24．
故选B．
18、答案：
C
试题分析：根据题意△DEF的周长为：DF+EF+DE=6，△ABC的周长为：AB+BC+AC=2EF+2DE+2DF=12．
试题解析：∵D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，
∴AB=2EF，BC=2DE，AC=2DF，
∵DF+EF+DE=6，
∴AB+BC+AC=2EF+2DE+2DF=12．
故选C．
19、答案：
C
试题分析：根据三角形的内角和定理求得∠B=30°，再根据30°所对的直角边是斜边的一半求得AC=4，再根据勾股定理求得BC的长，从而根据三角形的中位线定理即可求得DE的长．
试题解析：∵△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
又AB=8，
∴AC=4，
根据勾股定理，得BC==4，
根据三角形的中位线定理，得DE=BC=2．
故选C．
20、答案：
B
试题分析：根据三角形的中位线定理，得MP∥AB，PN∥CD，MP=AB=3，PN=CD=4；再根据平行线的性质，得∠MPD=∠ABD，∠PNB=∠C；根据三角形的外角的性质和已知∠ABC+∠C=90°，得∠MPN=90°，进而根据勾股定理求解．
试题解析：∵M，N，P分别为AD、BC、BD的中点，
∴MP∥AB，PN∥CD，MP=AB=3，PN=CD=4．
∴∠MPD=∠ABD，∠PNB=∠C．
又∠ABC+∠C=90°，∠DPN=∠PBN+∠PNB，
∴∠MPN=90°．
∴MN==5．
故选B．
二、填空题
21、答案：
50°
试题分析：
根据线段垂直平分线的性质，可得∠BDF度数，根据等腰三角形的性质，可得∠B的度数，根据三角形中位线的性质，可得∠DEB的度数，根据三角形内角和定理，可得∠BDE的度数，根据余角的定义，可得答案。
解：由DF垂直平分AB，得
∠BDF=90°，AD=BD．
又由E是BC的中点，得
DE∥AC，
∠DEB=∠C=70°．
由AB=AC，得
∠B=∠C=70°．
由三角形的内角和定理，得
∠BDE=180°-∠B-∠DEB=180°-70°-70°=40°．
由余角的定义，得
∠EDF=∠BDF-∠BDE=90°-40°=50°，
故答案为：50°．
22、答案：
3
试题分析：
首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．
解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，
∴DE=BE+CD-BC=6，
∴PQ=DE=3．
故答案为：3．
23、答案：
试题分析：根据中位线的定理得出规律解答即可．
试题解析：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，
可得：P1M1=，P2M2=，故PnMn=，
故答案为：
24、答案：
试题分析：由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
试题解析：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=1.5，
∴ED=2OD=3．
故答案为：3．
25、答案：
80
试题分析：
由折叠的性质可知AD=，根据中位线的性质得DE∥BC；然后由两直线平行，同位角相等推知∠ADE=∠B=50°；最后由折叠的性质知∠ADE=，所以=180°-2∠B=80°．
解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=50°；
又∵∠ADE=∠，
∴∠=2∠B，
∴=180°-2∠B=80°；
故答案是：80．
26、答案：
90
试题分析：
判断出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC=2OD．
解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AC=2OD=2×45=90（cm）．
故答案是：90．
27、答案：
试题分析：首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=4，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
试题解析：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF，
∴AG=AC=4，GF=CF，
则BG=AB-AG=6-4=2．
又∵BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=BG=1．
故答案是：1．
28、答案：
试题分析：先求出AB的长，再分①∠BDE=90°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED=90°时，利用∠B的余弦列式求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可．
试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=BC÷cos60°=4÷=8，
①∠BDE=90°时，
∵D为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AE=AB=×8=4，
点E在AB上时，t=4÷1=4秒；
②∠BED=90°时，BE=BD?cos60°=×4×=1，
点E在AB上时，t=（8-1）÷1=7，
综上所述，t的值为4或7．
故答案为：4或7．
29、答案：
试题分析：过F作FN垂直于x轴，交CB延长线于点M，利用AAS得到三角形ABD与三角形BMF全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=FM，进而表示出F坐标，根据B为CM中点，得出G的CF中点，表示出G坐标，进而得出E坐标，把G与E代入反比例解析式求出a的值，确定出E坐标，代入反比例解析式求出k的值即可．
试题解析：过F作FN⊥x轴，交CB的延长线于点M，过E作EH⊥x轴，交x轴于点H，
∵∠FBM+∠MBD=90°，∠MBD+∠ABD=90°，
∴∠FBM=∠ABD，
∵四边形BDEF为正方形，
∴BF=BD，
在△ABD和△BMF中，
，
∴△ABD≌△BMF（AAS），
设AD=FM=a，则有F（4，2+a），C（0，2），
由三角形中位线可得G为CF的中点，
∴G（2，2+a），
同理得到△DHE≌△BAD，
∴EH=AD=a，OH=OA+AD+DH=4+a，
∴E（4+a，a），
∴2（2+a）=a（4+a），即a2+3a-4=0，
解得：a=1或a=-4（舍去），
∴E（5，1），
把F代入反比例解析式得：k=5．
故答案为：5．
30、答案：
试题分析：连接BD，根据三角形中位线定理可得BD=2EF，再由条件CD=2EF可得BD=CD=6，再利用勾股定理逆定理证明∠BDC是90°，从而可得∠C的度数．
试题解析：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴BD=2EF，
∵CD=2EF=6，
∴DB=6，
∵62+62=（6）2，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠C==45°．
故答案为：45．
31、答案：
试题分析：根据三角形中位线求出AB=2DE，代入求出即可．
试题解析：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=30m，
∴AB=2DE=60m
故答案为：60．
32、答案：
试题分析：要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．
试题解析：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．
取BN中点E，连接DE．
∵等边△ABC的边长为6，AN=2，
∴BN=AC-AN=6-2=4，
∴BE=EN=AN=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DE是△BCN的中位线，
∴CN=2DE，CN∥DE，
又∵N为AE的中点，
∴M为AD的中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴DE=2MN，
∴CN=2DE=4MN，
∴CM=CN．
在直角△CDM中，CD=BC=3，DM=AD=，
∴CM==，
∴CN=．
∵BM+MN=CN，
∴BM+MN的最小值为．
故答案为：．
33、答案：
试题分析：根据中位线定理求得PM和PN的长，然后证明△PMN是等边三角形即可证得．
试题解析：∵P、N是AB和BD的中点，
∴PN=AD=×8=4，PN∥AD，
∴∠NPB=∠DAB=50°，
同理，PM=4，∠MPA=∠CBA=70°，
∴PM=PN=4，∠MPN=180°-50°-70°=60°，
∴△PMN是等边三角形．
∴MN=PM=PN=4，
∴△PMN的周长是12．
34、答案：
试题分析：延长AE交BC于F，利用平行四边形的性质和已知条件可证明△ABF是等腰三角形，又可证明BE⊥AF，所以AE=EF，即E是AF中点，又因为O为AC中点，所以OE为△AFC的中位线，求出CF的长，即可求出OE的长．
试题解析：延长AE交BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AO=CO，∠DAB+∠ABC=180°，
∵∠BAD和∠ABC的平分线相交于点E，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BE，
∴∠DAF=∠AFB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AE⊥BE，
∴AE=EF，
∴OE是△AFC的中位线，
∵?ABCD的周长为18，△AOB的周长比△AOD的周长少3，
∴AB=3，AD=6，
∴CF=BC-BF=AD-AB=3，
∴OE=CF=，
故答案为：．
35、答案：
试题分析：根据AC+BD=12厘米，可得出出OA+OB=6cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．
试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
又∵AC+BD=12厘米，
∴OA+OB=6cm，
∵△OAB的周长是10厘米，
∴AB=4cm，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF是△OAB的中位线，
∴EF=AB=2cm．
故答案为：2．
36、答案：
试题分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PE=AD，PF=BC，然后根据三角形的周长公式代入数据进行计算即可得解．
试题解析：∵P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，
∴PE是△ABD的中位线，PF是△BCD的中位线，
∴PE=AD=×8=4，PF=BC=×8=4，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=4+7.6+4=15.6．
故答案为：15.6．
37、答案：
试题分析：由已知条件可得MF与EF的长，进而可得Rt△MEF的面积，即可求解四边形MENF的面积．
∵E，F为BD的三等分点，
∴BF=EF．又AM=BM，
∴MF是△ABE的中位线．．
又，
∴，
∴．
38、答案：
试题分析：
延长CF交AB于点G，证明△AFG≌△AFC，从而可得△ACG是等腰三角形，GF=FC，点F是CG中点，判断出DF是△CBG的中位线，继而可得出答案。
解：延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF=∠CAF，
∵AF垂直CG，
∴∠AFG=∠AFC，
在△AFG和△AFC中，
∵
?，
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴AC=AG，GF=CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF=BG=（AB-AG）=（AB-AC）=．
故答案为：.
39、答案：
试题分析：根据E是AB边的中点，F是AC边的中点可以得到EF为三角形的中位线，根据中位线定理求得EF的长；根据对称点的性质，当点D与点C重合是，此时△EFD的周长最短，根据三角形斜边的中线等于斜边的一半求得ED的长和CD的长后即可求得周长的最小值．
试题解析：作点F关于BC的对称点G，连接EG，交BC于D点，D点即为所求，
∵E是AB边的中点，F是AC边的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∵BC=2，
∴EF=BC=×2=1；
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠EFG=∠C=90°，
又∵∠ABC=60°，BC=2，FG=AC=2，
EG==，
∴DE+FE+DF=EG+EF=1+．
故答案为：1+．
40、答案：
试题分析：由于∠D=108°，AD=CD，继而求出∠ACD的度数，又∵E、F分别是AB，BC的中点，EF∥AC，∠1=∠CAB=∠DCA，继而即可得出答案．
试题解析：∵∠D=108°，AD=CD，
∴∠ACD=72°÷2=36°，
又∵E、F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
∴∠1=∠CAB=∠ACD=36°．
故答案为：36°．
41、答案：
试题分析：此类型题要结合旋转的性质以及勾股定理解答．由题目可知，AB=A'B'，BC=B'C'．利用辅助线可求解．
∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8．
过M点作AC的垂线，垂足设为N，那么MN平行于A′C，且N是B′C的中点，
∴NC=B′C=BC=3，MN=A′C=AC=4．
∴AN=AC-NC=5．
在△AMN中，∠ANM=90°，MN=4，AN=5，
∴AM==．
故填：．
三、解答题
42、答案：
5
试题分析：
延长BD交AC于点N，通过证明全等三角形得到D点是BN的中点，然后求出CN的长，利用三角形中位线定理求得DM的长即可。
解：延长BD交AC于点N．
∵BD⊥AD，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=∠ADN=90°，∠BAD=∠NAD．
在△ABD与△AND中，，
∴△ABD≌△AND
（角边角），
∴BD=DN，AB=AN=12，
∴CN=AC-AN=10，
又∵BM=MC，
∴DM=CN=5．
43、答案：
（1）30°
（2）2cm
试题分析：
（1）由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求∠A的度数；
（2）由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC，则BC=4cm．然后根据三角形中位线定理求得EF=BC．
解：（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°-∠B=30°，即∠A的度数是30°；
（2）∵由（1）知，∠A=30°．
∴在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm，
∴BC=AB=4cm．
又E、F分别为边AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC=2cm．
44、答案：
试题分析：先利用内角和定理求∠C，根据三角形的中位线定理可知MN∥BC，由平行线的性质可求∠A′NM、∠CNM，再利用角的和差关系求∠A′NC．
试题解析：∵∠A=28°，∠B=120°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-28°-130°=22°，
∵MN是三角形的中位线，
∴MN∥BC，
∴∠A′NM=∠C=22°，∠CNM=180°-∠C=180°-22°=158°，
∴∠A′NC=∠CNM-∠A′NM=158°-22°=136°．
故答案为：136．
45、答案：
试题分析：（1）由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求∠A的度数；
（2）由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC，则BC=4cm．然后根据三角形中位线定理求得EF=BC．
（1）如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°-∠B=30°，即∠A的度数是30°；
（2）∵由（1）知，∠A=30°．
∴在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm，
∴BC=AB=4cm．
又E、F分别为边AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC=2cm．
46、答案：
试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出AB的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可求出EF的长．
试题解析：∵∠C=90°，CD是AB边上的中线，
∴AB=2CD=2×5=10，
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF=AB=×10=5．
故答案为：5．