6.3正方形的性质与判定 课件（共24张PPT）

第六章 特殊平行四边形
3 正方形的性质与判定
知识点一 正方形的定义
定义
有一组邻边相等的矩形叫做正方形
重
点
解
读
（1）正方形的定义有两个条件:①有一组邻边相等；②是矩形，这两个条件必须同时具备，缺一不可.
（2）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的菱形、特殊的矩形，它们的关系如图所示:
例1 下列命题错误的是（ ）
A.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
B.有一组邻边相等的矩形是正方形
C.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.有一个角是直角的菱形是正方形
例1 下列命题错误的是（ ）
A.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
B.有一组邻边相等的矩形是正方形
C.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.有一个角是直角的菱形是正方形
解析 由定义可知，正方形是有一组邻边相等的矩形，A不正确，故选A.
答案 A
例1 下列命题错误的是（ ）
A.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
B.有一组邻边相等的矩形是正方形
C.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
D.有一个角是直角的菱形是正方形
解析 由定义可知，正方形是有一组邻边相等的矩形，A不正确，故选A.
答案 A
点拨 根据定义判定正方形的方法:先判定是矩形，再证明是正方形
知识点二 正方形的性质
性质
符号语言
图示
正方形的性质
角

边
对角线
对称性
重点解读
知识点二 正方形的性质
性质
符号语言
图示
正方形的性质
角
正方形的四个角都是直角
如图所示，在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°

边
正方形的四条边都相等
如图所示，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA
对角线
正方形的对角线相等且互相垂直平分
如图所示，在正方形ABCD中，AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO
对称性
正方形是轴对称图形，对称轴有四条，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形也是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
如图所示，在正方形ABCD中，点O是它的对称中心
重点解读
（1）正方形既是菱形，又是矩形，而菱形、矩形又是平行四边形，因此正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质；
（2）正方形每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
（3）正方形的面积等于边长的平方或对角线乘积的一半
例2 如图所示，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于点F.



（1）求证:PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数
分析 （1）先证出△ADP≌△CDP，得PA＝PC，再由PA＝PE，得PC＝PE；
（2）由△ADP≌△CDP，得∠DAP＝∠DCP，进而得∠DCP＝∠E，最后∠CPF＝∠EDF＝90°得到结论.
分析 （1）先证出△ADP≌△CDP，得PA＝PC，再由PA＝PE，得PC＝PE；
（2）由△ADP≌△CDP，得∠DAP＝∠DCP，进而得∠DCP＝∠E，最后∠CPF＝∠EDF＝90°得到结论.
解析 （1）证明:在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，
在△ADP和△CDP中， ∴△ADP≌△CDP（SAS），∴PA＝PC.
∵∠PAE＝∠E，∴PA＝E，∴PC＝PE.
（2）在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠EDF＝90°，
由（1）知，△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，
∵∠DAP＝∠E，∴∠DCP＝∠E，
∵∠PFC＝∠DFE（对顶角相等），
∴180°-∠PFC-∠PCF＝180°-∠DFE-∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°.
知识点三 正方形的判定
判定方法
符号语言
图示
正方形的判定

解题思路
知识点三 正方形的判定
判定方法
符号语言
图示
正方形的判定
对角线相等的菱形是正方形
在菱形ABCD中，若AC＝BD，则菱形ABCD是正方形

对角线互相垂直的矩形是正方形
在矩形ABCD中，若AC⊥BD，则矩形ABCD是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
在菱形ABCD中，若∠ABC＝90°，则菱形ABCD是正方形
解题思路
判定一个四边形是正方形时，先判定它是矩形再判定它是正方思形，或先判定它是菱形，再判定它是正方形
例3 如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
（1）求证:∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝90°，求证:四边形MPND是正方形.
分析 （1）根据SAS可证明△ABD≌△CBD，从而得∠ADB＝∠CDB.（2）先根据“有三个角是直角的四边形是矩形”证得四边形MPND是矩形，再根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”得PM＝PN，从而证得矩形MPND是正方形.
证明（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.
又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD∴∠ADB＝∠CDB.
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，
又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形.
由（1）知∠ADB＝∠CDB，又PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.
∴四边形MPND是正方形.
经典例题
题型一 正方形的性质与判定的综合应用
例1 如图所示，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，DE＝EC.求证:四边形DFCE是正方形.



经典例题



分析 先根据正方形的性质得到∠FDC＝∠DCF＝45°，再根据DE＝EC，∠E＝90°，得到∠EDC＝∠ECD＝45°，从而得到四边形DFCE为矩形，进而证明是正方形.
经典例题



证明 ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形.
题型二 开放探究题
例2 如图①，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转.
（1）如图②，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图③所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
分析（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质可证明△OBM≌△OFN，所以根据全等的性质可知BM＝FN；
（2）同（1）中的证明方法一样，根据正方形和等腰直角三角形的性质得OB＝OF，∠MBO＝∠NFO＝135°，又∠MOB＝∠NOF，所以可证△OBM≌△OFN，所以BM＝FN.
解析 （1）BM＝FN.
证明 ∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠F＝45°，OB＝OF，
在△OBM与△OFN中， ∴△OBM≌△OFN（ASA），∴BM＝FN.
（2）BM＝FN仍然成立
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA＝∠GFE＝45°，OB＝OF，∴∠MBO＝∠NFO＝135°，

在△OBM与△OFN中， ∴△OB≌△OFN（ASA），∴BM＝FN.
易错易混
易错点 没有图形的几何题，因考虑问题不周导致漏解
例 以正方形ABCD的边AD为一边作等边△ADE，则∠AEB的度数为__________.
解析 因为等边三角形ADE可能在正方形的内部，也可能在正方形的外部，所以应分两种情况考虑:
（1）当点E在正方形ABCD的外部时，如图①，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝150°，AB＝AE，
∴∠AEB＝∠ABE＝ ＝15°.
（2）当点E在正方形ABCD的内部时，如图②，
易知∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD-∠DAE＝30°.
∵AE＝AD＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝ ＝75°.




综上，∠AEB的度数为15°或75°.
答案 15°或75°
易错警示 ：
对于没有给出图形的几何求解题，要认真分析题意，把满足条件的情况考虑全面，然后分情况讨论解答，不要漏解.