人教版九年级数学上册寒假讲义 第三讲 二次函数（含答案）

2021年寒假班九年级数学教案
第二讲
二次函数的图像和性质
第三讲
二次函数系数相关
知识点1：二次函数的图象与系数的关系
1、a的符号：由抛物线的开口方向决定．开口向上，则a＞0；开口向下，则a＜0．
2、b的符号：由对称轴和a的符号决定，若对称轴是y轴，则b=0；若对称轴在y轴左侧，顶点的横坐标－＜0，即＞0，则a、b为同号；若对称轴在y轴右侧，顶点的横坐标－＞0，即＜0．则a、b异号．
“左同右异”．
3．c的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定．若抛物线交y轴于正半，则c＞0，抛物线交y轴于负半轴．则c＜0；若抛物线过原点，则c=0．
4．△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．若抛物线与x轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0
．
5、a+b+c与a－b+c的符号：根据x＝1或x＝－1时，y对应的值的符号确定.
例1、已知二次函数的图象如图
l－2－2所示，则a、b、c满足（
）
A．a＜0，b＜0，c＞0
B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0
D．a＞0，b＜0，c＞0
例2、已知二次函数
(a≠0）且a＜0，a－b+c＞0，则一定有（
）
A．b2－4ac＞0
B．b2－4ac＝0
C．b2－4ac＜0
D．b2－4ac≤0
例3、二次函数的图象如图1－2－10，则点（b，）在（
）
A．第一象限　
　B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
例4、已知函数的图象如图1－2－11所示，给出下列关于系数a、b、c的不等式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b
＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正确的不等式的序号为___________-
例5、已知抛物线与x轴交点的横坐标为－1，则a＋c=_________.
例6、抛物线中，已知a：b：c=l：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为____________
例7、抛物线如图1－2－12
所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式是___________.
例8、若抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为1，则它的解析式为___________．（任写一个）
例9、已知二次函数的图象与x轴交于点（－2，0），(x1，0)且1＜x1＜2，与y·轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜0；②2a+c＞0；③4a+c<
0，④2a－b+l＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．
知识点2：二次函数解析式求法
1．二次函数的三种表示方法：
⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系；
⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；
⑶表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．
2．二次函数表达式的求法：
⑴一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得；将已知的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。
⑵顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：其中顶点为(h，k)，对称轴为直线x=h；
⑶交点式法：若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：,其中与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0）。
解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二次函数的顶点在坐标原点可设；已知顶点（0，c），即在y轴上时可设；已知顶点（h，0）即顶点在x轴上可设.
注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。
例10、已知抛物线的对称轴为x=2，且经过点(0，4）和点（5，0），则该抛物线解析式为__________.
例11、若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y=-2x2-2x+3相同，则此函数关系式______.
例12、在直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕O点按逆时针方向旋转900到△COD。
（1）求C，D两点的坐标；
（2）求经过C，D，B三点的抛物线解析式。
例13、如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点。点A,C的坐标分别是(－1，0)，(0，)。
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP的面积的最大值。
例14、在ΔABC中，∠ABC＝90○
，点C在x轴正半轴上，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上(图1－2－26所示），若
tan∠BAC=
，OB=2，求经过
A、B、C点的抛物线的解析式．
例15、已知：如图1－2－27所示，直线y=－x+3与x
轴、y轴分别交于点B、C，抛物线y=－x2＋bx＋c经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC上，且SΔPAC=SΔPAB，求点P的坐标．
综合训练三
选择题：
1、抛物线的对称轴是（
）
A.
直线
B.
直线
C.
直线
D.
直线
2、二次函数的图象如右图，则点在（
）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
3、已知二次函数，且，，则一定有（
）
A.
B.
C.
D.
≤0
4、把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（
）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
5、已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（
）
6、下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（
）
7、抛物线的对称轴是直线（
）
A.
B.
C.
D.
8、二次函数的最小值是（
）
A.
B.
2
C.
D.
1
9、二次函数的图象如图所示，若
，，则（
）
A.
，，
B.
，，
C.
，，
D.
，，
二、填空题：
将二次函数配方成的形式，则y=______________________.
10、有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：
甲：对称轴是直线；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：
11、已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.
12、如图，抛物线的对称轴是，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是，则A点的坐标是________________.
三、解答题：
13、已知函数的图象经过点（3，2）.
（1）求这个函数的解析式；
（2）当时，求使y≥2的x的取值范围.
14、如右图，抛物线经过点，与y轴交于点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.
15、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；
求第8个月公司所获利润是多少万元？
16、卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分.
在大桥截面1:11000的比例图上去，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）.
在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）.
（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
（2）如果DE与AB的距离OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：≈1.4，计算结果精确到1米）.
17、已知二次函数的图象交x轴于、两点，，交y轴的负半轴与C点，且AB=3，tan∠BAC=
tan∠ABC=1.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P，使S△PAB=6？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请你说明理由.
18、已知抛物线与x轴只有一个交点，且交点为.
（1）求b、c的值；
（2）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的周长与面积（答案可带根号）.
参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
D
A
A
D
D
D
B
D
二、填空题：
1.
2.
有两个不相等的实数根
3.
1
4.
（1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）
5.
或或或
6.
等（只须，）
7.
8.
，，1，4
三、解答题：
1.
解：（1）∵函数的图象经过点（3，2），∴.
解得.
∴函数解析式为.
（2）当时，.
根据图象知当x≥3时，y≥2.
∴当时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.
2.
解：（1）由题意得.
∴.
∴抛物线的解析式为.
（2）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为.
∴OA=1，OB=4.
在Rt△OAB中，，且点P在y轴正半轴上.
①当PB=PA时，.
∴.
此时点P的坐标为.
②当PA=AB时，OP=OB=4
此时点P的坐标为（0，4）.
3.
解：（1）设s与t的函数关系式为，
由题意得或
解得
∴.
（2）把s=30代入，得
解得，（舍去）
答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元.
（3）把代入，得
把代入，得
.
答：第8个月获利润5.5万元.
4.
解：（1）由于顶点在y轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为.
因为点或在抛物线上，所以，得.
因此所求函数解析式为（≤x≤）.
（2）因为点D、E的纵坐标为，所以，得.
所以点D的坐标为，点E的坐标为.
所以.
因此卢浦大桥拱内实际桥长为（米）.
5.
解：（1）∵AB=3，，∴.
由根与系数的关系有.
∴，.
∴OA=1，OB=2，.
∵，∴.
∴OC=2.
∴,.
∴此二次函数的解析式为.
（2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使S△PAC=6.
解法一：过点P作直线MN∥AC，交x轴于点M，交y轴于N，连结PA、PC、MC、NA.
∵MN∥AC，∴S△MAC=S△NAC=
S△PAC=6.
由（1）有OA=1，OC=2.
∴.
∴AM=6，CN=12.
∴M（5，0），N（0，10）.
∴直线MN的解析式为.
由
得（舍去）
∴在
第一象限，抛物线上存在点，使S△PAC=6.
解法二：设AP与y轴交于点（m>0）
∴直线AP的解析式为.
∴.
∴，∴.
又S△PAC=
S△ADC+
S△PDC==.
∴，
∴（舍去）或.
∴在
第一象限，抛物线上存在点，使S△PAC=6.
1.
解：（1）∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，即.
①
又点A的坐标为（2，0），∴.
②
由①②得，.
（2）由（1）得抛物线的解析式为.
当时，.
∴点B的坐标为（0，4）.
在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，得.
∴△OAB的周长为.