苏科版七年级数学下册7.2平行线的性质自主学习同步提升训练（Word版 附答案）

2021年苏科新版七年级数学下册7.2平行线的性质自主学习同步提升训练（附答案）
1．如图，若直线a∥b，那么∠x＝（　　）
A．64°
B．68°
C．69°
D．66°
2．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（　　）
A．第一次向右拐40°第二次向左拐140°
B．第一次向左拐40°第二次向右拐40°C．第一次向左拐40°第二次向右拐140°
D．第一次向右拐40°第二次向右拐40°
3．小张同学观察如图1所示的北斗七星图，小张同学把北斗七星：摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢按图2分别标为点A，B，C，D，E，F，G，然后将点A，B，C，D，E，F，G顺次首尾连接，发现AG恰好经过点C，且∠B﹣∠DCG＝115°，∠B﹣∠D＝10°，若AG∥EF，则∠E＝m°，这里的m＝　
　．
4．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝　
　．
5．如图，已知直线AB∥CD，MN分别交AB，CD于点E，F，∠BEF与∠DFE的两条平分线相交于点P1，∠BEP1与∠DFP1的两条平分线相交于点P2，则∠P2的度数为　
　．
6．如图1，已知∠ACB＝80°，点A在直线EF上，点B在直线GH上，且∠CAE+∠CBG＝80°．
（1）试判断直线EF与GH的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若点B在直线GH上运动，作∠CAP＝2∠CAE，作∠CBP＝2∠CBG，试判断∠APB的大小是否会随着点B的运动而发生变化？若不变，求出∠APB的大小；若变化，请说明理由．
7．如图，直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．
（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由．
8．阅读下?材料，完成（1）～（3）题．
数学课上，?师出示了这样?道题：
如图1，已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，EP⊥FP，∠1＝60°．求∠2的度数．
同学们经过思考后，?明、?伟、?华三位同学?不同的?法添加辅助线，交流了??的想法：
?明：“如图2，通过作平?线，发现∠1＝∠3，∠2＝∠4，由已知EP⊥FP，可以求出∠2的度数．”
?伟：“如图3这样作平?线，经过推理，得∠2＝∠3＝∠4，也能求出∠2的度数．”
?华：“如图4，也能求出∠2的度数．”
（1）请你根据?明同学所画的图形（图2），描述?明同学辅助线的做法，辅助线：　
　；
（2）请你根据以上同学所画的图形，直接写出∠2的度数为　
　°；
?师：“这三位同学解法的共同点，都是过?点作平?线来解决问题，这个?法可以推?．”
请?家参考这三位同学的?法，使?与他们类似的?法，解决下?的问题：
（3）如图5，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，FP平分∠EFD，∠PEF＝∠PDF，若∠EPD＝α，请探究∠CFE与∠PEF的数量关系（?含α的式?表示），并验证你的结论．
9．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°．
（1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；
（3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值．
10．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
（1）求证：∠AEP+∠CFP＝∠EPF；
（2）在图2中，画∠BEP的平分线与∠DFP的平分线，两条角平分线交于点Q，请你补全图形，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，已知∠BEP和∠DFP均为钝角，点G在直线AB、CD之间，且满足∠BEG＝∠BEP，∠DFG＝∠DFP，（其中n为常数且n＞1），直接写出∠EGF与∠EPF的数量关系．
11．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系并说明理由．
（2）把Rt△ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF，求的值．
（3）如图3，若点D是MN下方一点，BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，已知∠PBC＝25°，求∠ACB+∠ADB的度数．
12．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．
如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，求证：∠EGF＝90°．
证明：∵AB∥GH（已知），
∴∠1＝∠3（　
　），
又∵CD∥GH（已知），
∴　
　（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），
∴∠BEF+　
　＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵EG平分∠BEF（已知），
∴∠1＝　
　（　
　），
又∵FG平分∠EFD（已知），
∴∠2＝∠EFD（　
　），
∴∠1+∠2＝（　
　+∠EFD），
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3+∠4＝90°（　
　），即∠EGF＝90°．
13．（1）如图甲，AB∥CD，∠BEC与∠1+∠3的关系是什么？并写出推理过程；
（2）如图乙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系　
　；
（3）如图丙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的数量关系　
　．
14．已知：直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M为两平行线内部一点．
（1）如图1，∠AEM，∠M，∠CFM的数量关系为　
　；（直接写出答案）
（2）如图2，∠MEB和∠MFD的角平分线交于点N，若∠EMF等于130°，求∠ENF的度数；
（3）如图3，点G为直线CD上一点，延长GM交直线AB于点Q，点P为MG上一点，射线PF、EH相交于点H，满足∠PFG＝∠MFG，∠BEH＝∠BEM，设∠EMF＝α，求∠H的度数（用含α的代数式表示）．
15．如图，AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E（不与B，D点重合），∠ADC＝70°．设∠BED＝n°．
（1）若点B在点A的左侧，求∠ABC的度数；（用含n的代数式表示）
（2）将（1）中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断∠ABC的度数是否改变．若改变，请求出∠ABC的度数（用含n的代数式表示）；若不变，请说明理由．
16．如图所示，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF、∠DFE的平分线相交于点K．
（1）求∠EKF的度数；
（2）如图（2）所示，作∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，问∠K1与∠K的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明．
（3）在图（2）中作∠BEK1、∠DFK1的平分线相交于点K2，作∠BEK2、∠DFK2的平分线相交于点K3，依此类推，……，请直接写出∠K4的度数．
17．如图所示，四边形ABCD中，AE平分∠DAB，AE∥CF，∠B＝∠D＝90°．求证：CF平分∠BCD．
18．直线AB∥CD，E为直线AB、CD之间的一点，完成以下问题：
（1）如图1，若∠B＝15°，∠BED＝90°，则∠D＝　
　；
（2）如图2，若∠B＝α，∠D＝β，求出∠BED的度数（用a、β表示）；
（3）如图3，若∠B＝α，∠C＝β，则a、β与∠BEC之间有什么等量关系？请猜想证明．
19．如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD．
在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时，我们需要对点P的位置进行分类讨论：
（1）如图1，当P点在EF的右侧时，若∠EPF＝110°，则∠EQF＝　
　；
猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，请直接写出结果；
（2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由；
（3）若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；…以此类推，则∠EPF与∠EQnF满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
20．直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点．
（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α＝50°，则∠2＝　
　°．
（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；
（3）若点P在直线CD的下方，如图③，（2）中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．
21．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．
（1）求证：∠AEP+∠CFP＝∠EPF；
（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．
（3）已知∠BEQ＝∠BEP，∠DFQ＝∠DFP，有∠P与∠Q的关系为　
　．（直接写结论）
22．综合探究：
已知，AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．
（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝40°，求∠MGN+∠MPN的度数．
23．如图，已知AB∥CD，点P是AB、CD之间的任意一点且在AC右侧．
（1）∠APC与∠BAP、∠DCP的数量关系是　
　；
（2）∠BAP的平分线所在直线与∠DCP的邻补角平分线相交于点Q，∠BAP＝α．
①根据题意，在图中补全图形，判断∠APC与∠AQC的数量关系并说明理由；
②若AP∥CQ，求∠DCP的度数（用含α的式子表示）．
24．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2有何关系？说明理由；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2有何关系？说明理由；
（3）由（1）（2）你能得出的结论是：如果　
　，那么　
　；
（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少60°，则这两个角度数的分别是　
　．
25．已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．
（1）图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．
（3）图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．
26．如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
在下列解答中，填空：
证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），
∴AB∥DE（　
　）．
∴∠ABC＝∠BCD（　
　）．
∵∠P＝∠Q（已知），
∴PB∥（　
　）（　
　）．
∴∠PBC＝（　
　）（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠ABC﹣（　
　），∠2＝∠BCD﹣（　
　），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
27．已知点A在射线CE上，∠BDA＝∠C．
（1）如图1，若AC∥BD，求证：AD∥BC；
（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请证明∠DAE+2∠C＝90°；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．（直接写出结果）
28．如图，已知AD∥BC，AE平分∠BAD交BC延长线于点E，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E，求证：AB∥DC．
29．（1）阅读并回答：
科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①由条件可知：∠1与∠3的大小关系是　
　，理由是　
　；∠2与∠4的大小关系是　
　；
②反射光线BC与EF的位置关系是　
　，理由是　
　．
（2）解决问题：
如图2．一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1＝40°，求∠2和∠3的度数．
30．已知：如图，点B，C，E在一条直线上，点A、E、F在一条直线上，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE．
31．某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：
已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．
（1）如图1，过点E作EH∥AB，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE、∠CQE之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，类比（1）中的方法，运用上述结论，探究∠PEQ、∠APE、∠CQE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，直接写出∠PFQ的度数．
32．实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图有两块互相垂直的平面镜MN、NP．一束光线AB射在其中一块MN上，经另外一块NP反射．两束光线会平行吗？若不平行，请说明理由，若平行，请给予证明．
33．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型﹣﹣﹣“猪蹄模型”．即
已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到∠AEC．
求证：∠AEC＝∠A+∠C．
小明笔记上写出的证明过程如下：
证明：过点E作EF∥AB，
∴∠1＝∠A．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD．
∴∠2＝∠C．
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠C．
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
（1）如图2，若AB∥CD，∠E＝60°，则∠B+∠C+∠F＝　
　．
（2）如图3，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G＝∠H+27°，则∠H＝　
　．
34．实验证明，平面镜反射光线的规律是：照射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线MA照射到平面镜CE上，被CE反射到平面镜CF上，又被CF反射．已知被CF反射出的光线BN与光线MA平行．若∠1＝35°，则∠2＝　
　，∠3＝　
　；若∠1＝50°，∠3＝　
　．
（2）由（1）猜想：当两平面镜CE，CF的夹角∠3为多少度时，可以使任何射到平面镜CE上的光线MA，经过平面镜CE，CF的两次反射后，入射光线MA与反射光线BN平行，请你写出推理过程．
35．感知与填空：如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D＝∠BED．
阅读下面的解答过程，井填上适当的理由．
解：过点E作直线EF∥CD
∴∠2＝∠D（　
　）
∵AB∥CD（已知），EF∥CD，
∴AB∥EF（　
　）
∴∠B＝∠1（　
　）
∵∠1+∠2＝∠BED，
∴∠B+∠D＝∠BED（　
　）
应用与拓展：如图②，直线AB∥CD．若∠B＝22°，∠G＝35°，∠D＝25°，则∠E+∠F＝　
　度．
方法与实践：如图③，直线AB∥CD．若∠E＝∠B＝60°，∠F＝80°，则∠D＝　
　度．
36．如图（1），AB∥CD，试求∠BPD与∠B、∠D的数量关系，说明理由．
（1）填空：
解：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE＝180°
∵AB∥CD，EF∥AB
∴　
　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∠EPD+　
　＝180°
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°
（2）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，直接写出图中的∠BPD与∠B、∠D的数量关系，不用说明理由．
37．已知：如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：∠A＝∠D．
38．已知如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．
39．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB
参考答案
1．解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．
∵∠1+130°＝180°，
∴∠1＝50°．
∵a∥b，
∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，
∴x＝64°．
故选：A．
2．解：A、如图1：∵∠1＝40°，∠2＝140°，
∴AB与CD不平行；
故本选项错误；
B、如图2：∵∠1＝40°，∠2＝40°，
∴∠1＝∠2，
∴AB与CD平行；
故本选项正确；
C、如图3：∵∠1＝40°，∠2＝140°，
∴∠1≠∠2，
∴AB不平行CD；
故本选项错误；
D、如图4：∠1＝40°，∠2＝40°，
∴∠3＝140°，
∴∠1≠∠3，
∴AB与CD不平行；
故本选项错误．
故选：B．
3．解：延长ED交AG于点H，
∵AG∥EF，
∴∠E＝∠CHD，
∴∠CHD＝∠CDE﹣∠DCG，
∵∠B﹣∠DCG＝115°，∠B﹣∠CDE＝10°，
∴∠CDE＝∠B﹣10°，∠DCG＝∠B﹣115°，
∴∠E＝∠CHD＝∠B﹣10°﹣（∠B﹣115°）＝105°，
故答案为：105．
4．解：∵DE∥AF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠A，
∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，
∴∠A＝50°，
故答案为：50°．
5．解：过P1作P1G∥AB，可得P1G∥CD，如图，
∴∠BEP1＝∠EP1G，∠GP1F＝∠P1FD，
∵EP1、FP1分别为∠BEF与∠EFD的平分线，
∴∠BEP1＝∠FEP1，∠EFP1＝∠DFP1，
∵AB∥CD，
∴∠BEP1+∠FEP1+∠EFP1+∠DFP1＝180°，即2（∠BEP1+∠DFP1）＝180°，
∴∠BEP1+∠DFP1＝90°，
∵∠BEP1、∠DFP1的平分线相交于点K1，
∴∠BEP2＝∠P1EP2，∠P1FP2＝∠DFP2，
∵∠BEP1+∠FEP1+∠EFP1+∠DFP1＝180°，即2（∠BEP1+∠P1FD）＝180°，
∴∠BEP1+∠P1FD＝90°，即∠P1EP2+∠P1FP2＝45°，
∴∠K1＝180°﹣（∠P1EF+∠EFP1）﹣（∠P1EP2+∠P1FP2）＝45°，
故答案为：45°．
6．解；（1）直线EF与GH的位置关系是平行，理由如下：
如图1，过点C作CD∥EF，
∴∠CAE＝∠ACD，
∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝80°，∠CAE+∠CBG＝80°．
∴∠BCD＝∠CBG，
∴CD∥GH，
∴EF∥GH；
（2）∠APB的大小不会随着点B的运动而发生变化，理由如下：
如图2，∵∠CAP＝2∠CAE，∠CBP＝2∠CBG，
∴∠CAP+∠CBP＝2∠CAE+2∠CBG＝2（∠CAE+∠CBG）＝2×80°＝160°，
∴∠APB＝360°﹣∠ACB﹣（∠CAP+∠CBP）＝360°﹣80°﹣160°＝120°．
所以∠APB的大小为120°．
7．解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠EOF，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠EOB＝∠EOF+∠FOB＝∠AOC＝×80°＝40°；
（2）∵CB∥OA，
∴∠AOB＝∠OBC，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠FOB＝∠OBC，
∴∠OFC＝∠FOB+∠OBC＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2，是定值；
（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC＝∠OBA，∠C＝∠OAB，
∴∠COE＝∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE＝∠AOC＝×80°＝20°，
∴∠OEC＝180°﹣∠C﹣∠COE＝180°﹣100°﹣20°＝60°，
故存在某种情况，使∠OEC＝∠OBA，此时∠OEC＝∠OBA＝60°．
8．解：（1）?明同学辅助线的做法为：过点P作PQ∥AB；
（2）如图2，
∵AB∥PQ∥CD，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠2，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°，
如图3，
∵AB∥CD，PF∥EQ，
∴∠2＝∠3，∠4＝∠3，
∵∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°，
如图4，
∵AB∥CD，PE∥FQ，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∵∠2+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°；
（3）设∠CFE＝x，∠PEF＝∠PDF＝y，
过点P作PQ∥AB，
∴∠BEP+∠EPQ＝180°，∠CFE＝∠FEB＝x，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PDF＝∠DPQ，
∴∠DPQ＝∠PEF＝∠PDF＝y，
由∠CFE＝∠FEB＝x＝∠FEP+∠BEP，
∴x＝y+（180°﹣α+y），
∴x﹣2y＝180°﹣α，
即∠CFE﹣2∠PEF＝180°﹣α．
故答案为：（1）过点P作PQ∥AC；（2）30．
9．解：（1）结论：∠BED+∠D＝120°，
证明：如图①，延长AB交DE于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BFE＝∠D，
∵∠ABE＝120°，
∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°，
∴∠D+∠BED＝120°；
（2）如图②，
∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，
即∠CDE＝3∠CDF，
设∠BEF＝α，∠CDF＝β，
∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，
由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，
∴3α+3β＝120°，
∴α+β＝40°，
∴2α+2β＝80°，
∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°，
答：∠EFD的度数为100°；
（3）如图③，
∵BG⊥AB，
∴∠ABG＝90°，
∵∠ABE＝120°．
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°，
∵∠CDE＝4∠GDE，
∴∠GDE＝∠CDE，
∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE，
∴∠G+30°＝∠E+∠CDE，
由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°，
∴∠CDE＝120°﹣∠E，
∴∠G+30°＝∠E+（120°﹣∠E），
∴∠G＝∠E，
∴＝．
10．证明：（1）如图1，过点P作PG∥AB，
，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，
又∵∠1+∠2＝∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF；
（2）如图2，
，
由（1）可得：∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]＝（360﹣∠EPF），
∴∠EPF+2∠EQF＝360°；
（3）由（1）可得：
∠EGF＝∠AEG+∠CFG，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵∠BEP＝∠BEG，∠DFP＝∠DFG，
∴∠EPF＝∠BEP+∠DFP＝（∠BEG+∠DFG）＝[360°﹣（∠AEG+∠CFG）]＝×（360°﹣∠EGF），
∴∠EGF+n∠EPF＝360°．
11．解：（1）∠C＝∠1+∠2，
证明：过C作l∥MN，如下图所示，
∵l∥MN，
∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵l∥MN，PQ∥MN，
∴l∥PQ，
∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4＝∠1+∠2，
∴∠C＝∠1+∠2；
（2）
∵∠BDF＝∠GDF，
∵∠BDF＝∠PDC，
∴∠GDF＝∠PDC，
∵∠PDC+∠CDG+∠GDF＝180°，
∴∠CDG+2∠PDC＝180°，
∴∠PDC＝90°﹣∠CDG，
由（1）可得，∠PDC+∠CEM＝∠C＝90°，
∴∠AEN＝∠CEM，
∴＝；
（3）
∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC＝25°，
∴∠PBD＝2∠PBC＝50°，∠CAM＝∠MAD，
∵PQ∥MN，
∴∠BMA＝∠PBD＝50°，
∴∠ADB＝∠AMB﹣∠MAD＝50°﹣∠MAD＝50°﹣∠CAM，
由（1）可得，∠ACB＝∠PBC+∠CAM，
∴∠ACB+∠ADB＝∠PBC+∠CAM+50°﹣∠CAM＝25°+50°＝75°．
12．证明：∵AB∥GH（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
又∵CD∥GH（已知），
∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），
∴∠BEF+∠EFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵EG平分∠BEF（已知），
∴∠1＝∠BEF（角平分线定义），
又∵FG平分∠EFD（已知），
∴∠2＝∠EFD（角平分线定义），
∴∠1+∠2＝（∠BEF+∠EFD），
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3+∠4＝90°（等量代换），
即∠EGF＝90°．
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠4＝∠2；∠EFD；∠BEF；角平分线定义；角平分线定义；∠BEF；等量代换．
13．解：（1）∠BEC＝∠1+∠3．
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠1，∠CEF＝∠3，
∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝∠1+∠3；
（2）∠2+∠4＝∠1+∠3+∠5．
理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，
∴∠1＝∠BEF，∠FEG＝∠EGH，∠HGM＝∠GMN，∠CMN＝∠5，
∴∠2+∠4＝∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN＝∠1+∠EGH+∠MGH+∠5＝∠1+∠3+∠5；
（3）∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7．
理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，
∴∠1＝∠BEF，∠FEG＝∠EGH，∠HGM＝∠GMN，∠KMN＝∠LKM，∠LKP＝∠KPQ，∠QPC＝∠7，
∴∠2+∠4+∠6＝∠1+∠3+∠5+∠7．
14．解：（1）如图1，过点M作ML∥AB，
∵AB∥CD，
∴ML∥AB∥CD，
∴∠1＝∠AEM，∠2＝∠CFM，
∵∠EMF＝∠1+∠2，
∴∠M＝∠AEM+∠CFM．
故答案为：∠M＝∠AEM+∠CFM；
（2）如图2，过M作ME'∥AB，
∵AB∥CD，
∴ME'∥CD，
∴∠BEM+∠2＝∠DFM+∠4＝180°，
∴∠BEM＝180°﹣∠2，∠DFM＝180°﹣∠4，
∵EN，FN分别平分∠MEB和∠DFM，
∴∠1＝∠BEM，∠3＝∠DFM，
∴∠1+∠3＝（180°﹣∠2）+（180°﹣∠4）＝180°﹣×（∠2+∠4）＝180°﹣×130°＝115°，
∴∠ENF＝360°﹣∠1﹣∠3﹣∠E'MF＝360°﹣115°﹣130°＝115°；
（3）如图3中设∠BEH＝x，∠PFG＝y，则∠BEM＝3x，∠MFG＝3y，设EH交CD于K．
∵AB∥CD，
∴∠BEH＝∠DKH＝x，
∵∠PFG＝∠HFK＝y，∠DKH＝∠H+∠HFK，
∴∠H＝x﹣y，
∵∠EMF＝α＝∠AEM+∠MFG，
∴∠EMF＝180°﹣3x+3y＝α
∴x﹣y＝60°﹣α，
∴∠H＝60°﹣α．
15．解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ADC＝70°，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2∠BEF，，
∵∠BED＝n°，
∴∠BEF＝（n﹣35）°，
∴∠ABC＝2∠BEF＝2（n﹣35）°＝（2n﹣70）°；
（2）∠ABC的度数改变，
画出的图形如图2，过点E作EF∥AB，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ADC＝70°，
∴∠ABC＝2∠ABE，，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE+∠BEF＝180°，∠CDE＝∠DEF＝35°，
∵∠BED＝n°，
∴∠BEF＝（n﹣35）°，
∴∠ABE＝180°﹣∠BEF＝180°﹣（n﹣35）°＝180°﹣n°+35°＝（215﹣n）°，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2（215﹣n）°＝（430﹣2n）°．
16．解：（1）如图（1），过K作KG∥AB，交EF于G，
∵AB∥CD，
∴KG∥CD，
∴∠BEK＝∠EKG，∠GKF＝∠KFD，
∵EK、FK分别为∠BEF与∠EFD的平分线，
∴∠BEK＝∠FEK，∠EFK＝∠DFK，
∵AB∥CD，
∴∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠DFK）＝180°，
∴∠BEK+∠DFK＝90°，
则∠EKF＝∠EKG+∠GKF＝90°；
（2）∠K＝2∠K1，理由为：
∵∠BEK、∠DFK的平分线相交于点K1，
∴∠BEK1＝∠KEK1，∠KFK1＝∠DFK1，
∵∠BEK+∠FEK+∠EFK+∠DFK＝180°，即2（∠BEK+∠KFD）＝180°，
∴∠BEK+∠KFD＝90°，即∠BEK1+∠DFK1＝45°，
同理得∠K1＝∠BEK1+∠DFK1＝45°，
则∠K＝2∠K1；
（3）如图（3），
根据（2）中的规律可得：∠K2＝∠K1＝22.5°，∠K3＝∠K2＝11.25°，∠K4＝∠K3＝5.625°．
17．解：∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠DAB+∠BCD＝180°，
∵EA∥CF，
∴∠3＝∠1，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠2+∠5＝90°，
∵AE平分∠BAD交CD于点E，
∴∠4＝∠6，
∴∠4＝∠5，
∴∠1＝∠2，
∴CF平分∠BCD．
18．解：（1）过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∵∠B＝15°，
∴∠BEF＝15°，
又∵∠BED＝90°，
∴∠DEF＝75°，
∵EF∥CD，
∴∠D＝75°，
故答案为：75°；
（2）过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝360°，
又∵∠B＝α，∠D＝β，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝360°﹣α﹣β，
故答案为：∠BED＝360°﹣α﹣β；
（3）猜想：∠BEC＝180°﹣α+β．
证明：过点E作EF∥AB，
则∠BEF＝180°﹣∠B＝180°﹣α，
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CEF＝∠C＝β，
∴∠BEC＝∠BEF+∠CEF＝180°﹣α+β．
19．解：（1）过P作PM∥AB，过Q作QN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，AB∥CD∥QN，
∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝；
猜想：∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF＝2∠EQF．理由如下：
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，AB∥CD∥QN，
∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
即∠EPF＝2∠EQF；
故答案为55°；
（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：
如图2，过P作PM∥AB，过Q作QN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PM，AB∥CD∥QN，
∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，
∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，
∴2∠EQF+∠EPF＝360°；
（3）当点P在EF的左侧，
根据（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，
∠Q2＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，
…
则∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP）＝（）n∠EQF，
∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，
∴∠EPF+2n+1?∠EQnF＝360°．
当点P在EF的右侧，同理可求∠EPF＝2n+1∠EQnF．
20．解：①∵AB∥CD，∠α＝50°
∴∠2＝∠α＝50°，
故答案为50；
（2）∠α＝∠1+∠2．
证明：过P作PG∥AB，
∵AB∥CD，
∴PG∥AB∥CD，
∴∠2＝∠EPG，∠1＝∠FPG，
∵∠α＝∠EPF＝∠EPG+∠FPG，
∴∠α＝∠1+∠2；
（3）不成立．
理由：过P作PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PH∥AB∥CD，
∴∠2＝∠EPH，∠1＝∠FPH，
∵∠α＝∠EPF＝∠EPH﹣∠FPH，
∴∠α＝∠2﹣∠1，
故不成立．
21．（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，
，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，
又∵∠1+∠2＝∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF；
（2）如图2，
，
由（1）可得：∠EPF＝∠AEP+CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]＝（360﹣∠EPF），
∴∠EPF+2∠EQF＝360°；
（3）由（1）可得：∠P＝∠AEP+CFP，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEQ＝∠BEP，∠DFQ＝∠DFP，
∴∠Q＝∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]＝×（360°﹣∠P），
∴∠P+n∠Q＝360°；
故答案为：∠P+n∠Q＝360°．
22．解：（1）如图1，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN，
∵GM⊥GN，
∴∠MGN＝∠MGH+∠HGN＝∠AMG+∠CNG＝90°；
答：∠AMG+∠CNG的度数为90°；
（2）如图2，过过点G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α，
∵GK∥AB，AB∥CD，
∴GK∥CD，
∴∠KGN＝∠GND＝α，
∵GK∥AB，∠BMG＝40°，
∴∠MGK＝∠BMG＝40°，
∵MG平分∠BMP，
∴∠GMP＝∠BMG＝40°，
∴∠BMP＝80°，
∵ND平分∠GNP，
∴∠DNP＝∠GND＝α，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠QPN＝∠DNP＝α，
∴∠MGN＝40°+α，∠MPN＝80°﹣α，
∴∠MGN+∠MPN＝40°+α+80°﹣α＝120°．
23．解：（1）作PE∥AB，
∵AB∥CD，AB∥PE，
∴CD∥PE，
∴∠APE＝∠A，∠CPE＝∠DCP，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP．
故答案为∠APC＝∠BAP+∠DCP．
（2）①作图如图1：
设∠DCP＝β，
由（1）可得，∠APC＝α+β，
∵AK平分∠BAP，
∴∠BAK＝∠BAP＝α，
同理，∠LCD＝（180°﹣β）＝90°﹣β，
过点Q作QM∥AB，如图2，则∠MQK＝∠BAK＝，
∵AB∥CD，
∴QM∥CD，
∴，
∴；
②∵AP∥QC，
∴∠AQC＝∠KAP，
由①得，∠AQC＝90°﹣（α+β），
∴，
整理得，β＝180°﹣2β，即∠DCP＝180°﹣2β．
24．解：（1）∠1＝∠2，
理由：如图1，
∵AB∥EF，
∴∠3＝∠2，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1＝∠2；
（2）∠1+∠2＝180°，
理由：如图2，
∵AB∥EF，
∴∠3+∠2＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠3＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°．
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补；
（4）设另一个角为x°，根据以上结论得：
2x﹣60＝x或2x﹣60+x＝180，
解得：x＝60，或x＝80，
故答案为：60°、60°或80°，100°．
25．解：（1）如图1中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG＝∠ABE，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG＝∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG＝∠ABE+∠CDE，
即∠BED＝∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE＝2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE＝2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE＝2∠ABF+2∠CDF＝2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BED＝∠ABE+∠CDE，
∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
所以∠BED＝2∠BFD．
（3）∠BED＝360°﹣2∠BFD．
图3中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE＝180°，
因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG+∠CDE＝180°，
所以∠BEG+∠DEG＝360°﹣（∠ABE+∠CDE），
即∠BED＝360°﹣（∠ABE+∠CDE），
因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE＝2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE＝2∠CDF，
∠BED＝360°﹣2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
所以∠BED＝360°﹣2∠BFD．
26．证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），
∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
∵∠P＝∠Q（已知），
∴PB∥（CQ）（内错角相等，两直线平行）．
∴∠PBC＝（∠BCQ）（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠ABC﹣（∠PBC），∠2＝∠BCD﹣（∠BCQ），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；CQ，内错角相等，两直线平行；∠BCQ；∠PBC；∠BCQ．
27．（1）证明：∵AC∥BD，
∴∠DAE＝∠BDA，
∵∠BDA＝∠C，
∴∠DAE＝∠C，
∴AD∥BC；
（2）证明：如图2，设CE与BD相交于点G，∠BGA＝∠BDA+DAE，
∵BD⊥BC，
∴∠BGA+∠C＝90°，
∴∠BDA+∠DAE+∠C＝90°，
∵∠BDA＝∠C，
∴∠DAE+2∠C＝90°；
（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，
∵∠DFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝180°﹣8α，
∵DF∥BC，
∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，
又∵2∠C+∠DAE＝90°，
∴2（180°﹣8α）+α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，
又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝45°，
△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．
答：∠BAD的度数是99°．
28．证明：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠E，
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠E，
∵∠CFE＝∠E，
∴∠1＝∠CFE，
∴AB∥DC．
29．解：（1）①由条件可知：∠1与∠3的大小关系是相等，理由是两直线平行，同位角相等；∠2与∠4的大小关系是相等；
②反射光线BC与EF的位置关系是平行，理由是同位角相等，两直线平行；
故答案为：①相等、两直线平行，同位角相等、相等；②平行、同位角相等，两直线平行．
（2）如图，
∵∠1＝40°，
∴∠4＝∠1＝40°，
∴∠6＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵m∥n，
∴∠2+∠6＝180°，
∴∠2＝80°，
∴∠5＝∠7＝＝50°，
∴∠3＝180°﹣50°﹣40°＝90°．
30．证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠ACD，
∴∠2+∠CAE＝∠ACD+∠CAE，
∴∠DAC＝∠4，
∵∠3＝∠4，
∴∠DAC＝∠3，
∴AD∥BE．
31．解：（1）∠PEQ＝∠APE+∠CQE，理由如下：
∵AB∥CD，EH∥AB，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠APE＝∠PEH，∠CQE＝∠QEH．
∵∠PEQ＝∠PEH+∠QEH，
∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE．
（2）∠APE+∠CQE+∠PEQ＝360°；理由如下：
过点E作EG∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，EG∥AB，
∴AB∥EG∥CD，
∴∠APE+∠PEG＝180°，∠CQE+∠QEG＝180°，
∴∠APE+∠PEG+∠CQE+∠QEG＝360°，
即∠APE+∠CQE+∠PEQ＝360°；
（3）由（2）得：∠PEQ+∠BPE+∠EQD＝360°，
∵∠PEQ＝140°，
∴∠BPE+∠EQD＝360°﹣140°＝220°，
∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，
∴∠BPF＝∠BPE，∠DQF＝∠EQD，
∴∠BPF+∠DQF＝（∠BPE+∠EQD）＝110°，
由（1）得：∠PFQ＝∠BPF+∠DQF＝110°．
32．解：AB∥CD．
理由如下：作BE⊥NB，CF⊥NC，如图，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，BE∥NC，
∴∠2＝∠NCB，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD．
33．解：（1）过点E、F分别作EM∥AB，FN∥AB，如图2所示：
∵EM∥AB，
∴∠1＝∠B，
又∵FN∥AB，
∴FN∥EM，
∴∠2＝∠3，
又∵AB∥CD，
∴FN∥CD，
∴∠4+∠C＝180°，
又∵∠BEF＝∠1+∠2，∠EFC＝∠3+∠4，∠BEF＝60°
∴∠B+∠EFC+∠C＝∠1+∠3+∠4+∠C
＝（∠1+∠2）+（∠4+∠C）
＝60°+180°
＝240°；
（2）过点G、H作EF∥AB，MN∥AB，如图3所示：
∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，
∴∠ABG＝2∠1，∠DCG＝2∠4，
又∵EF∥AB，
∴2∠1+∠7＝180°，
又∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴2∠4+∠8＝180°，
∴∠7+∠8＝360°﹣2（∠1+∠4），
又∵∠7+∠8+∠BGC＝180°，
∴2（∠1+∠4）＝∠BGC+180°，
又∵MN∥AB，
∴∠1＝∠5，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠4＝∠6，
∴2（∠5+∠6）＝∠BGC+180°，
又∵∠5+∠6+∠BHC＝180°，
∴∠BGC+2∠BHC＝180°，
又∠BGC＝∠BHC+27°，
∴3∠BHC+27°＝180°，
∴∠BHC＝51°；
故答案为：240°，51°．
34．解：（1）∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠2＝180°，
∵∠MAB+∠1+∠BAC＝180°，∠1＝∠BAC，∠1＝35°，
∴∠2＝2∠1＝70°，
∵∠2+∠ABC+∠NBF＝180°，∠ABC＝∠NBF，
∴∠ABC＝55°，
∴∠3＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝90°；
当∠1＝50°时，
同理可得，∠2＝100°，∠ABC＝40°，∠BAC＝∠1＝50°，
则∠3＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝90°；
故答案为：70°，90°，90°；
（2）猜想：当两平面镜CE，CF的夹角∠3为90°时，可以使任何射到平面镜CE上的光线MA，经过平面镜CE，CF的两次反射后，入射光线MA与反射光线BN平行．
理由：∵∠3＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠1＝∠BAC，∠ABC＝∠NBF，
∴∠BAC+∠1+∠ABC+∠NBF＝180°，
∴∠MAB+∠2＝180°，
∴MA∥BN．
35．解：感知与填空：过点E作直线EF∥CD，
∴∠2＝∠D（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），EF∥CD，
∴AB∥EF（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠1+∠2＝∠BED，
∴∠B+∠D＝∠BED（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换．
应用与拓展：过点G作GN∥AB，
则GN∥CD，如图②所示：
由感知与填空得：∠E＝∠B+∠EGN，∠F＝∠D+∠FGN，
∴∠E+∠F＝∠B+∠EGN+∠D+∠FGN＝∠B+∠D+∠EGF＝22°+25°+35°＝82°，
故答案为：82．
方法与实践：设AB交EF于M，如图③所示：
∠AME＝∠FMB＝180°﹣∠F﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
由感知与填空得：∠E＝∠D+∠AME，
∴∠D＝∠E﹣∠AME＝60°﹣40°＝20°，
故答案为：20．
36．解：（1）过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE＝180°，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD+∠D＝180°，
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D＝360°，
∴∠B+∠BPD+∠D＝360°，
故答案为：CD∥EF，∠D；
（2）猜想∠BPD＝∠B+∠D，
理由：过点P作EP∥AB，
∵EP∥AB，
∴∠B＝∠BPE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EP∥AB，
∴CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD＝∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（3）图③结论：∠D＝∠BPD+∠B，
理由是：过点P作EP∥AB，
∵EP∥AB，
∴∠B＝∠BPE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EP∥AB，
∴CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD＝∠D，
∴∠D＝∠BPD+∠B；
图④结论∠B＝∠BPD+∠D，
理由是：∵EP∥AB，
∴∠B＝∠BPE（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD，EP∥AB，
∴CD∥EP（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），
∴∠EPD＝∠D，
∴∠B＝∠BPD+∠D．
37．证明：∵∠1＝∠2
（已知）
又∵∠1＝∠3
（对顶角相等
）
∴∠2＝∠3
（等量代换）
∴CE∥FDB（
同位角相等，两直线平行
）
∴∠B＝∠CEA
（两直线平行，同位角相等
）
∵∠B＝∠C
（已知）
∴∠C＝∠CEA
（等量代换）
∴AB∥CD
（内错角相等，两直线平行
）
∴∠A＝∠D．（
两直线平行，内错角相等
）
38．解：BF与AC的位置关系是：BF⊥AC．
理由：∵∠AGF＝∠ABC，
∴BC∥GF，
∴∠1＝∠3；
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴BF∥DE；
∵DE⊥AC，
∴BF⊥AC．
39．证明：∵∠3＝∠4，
∴CF∥BD，
∴∠5＝∠FAB；
∵∠5＝∠6，
∴∠6＝∠FAB，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠EGA；
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠EGA，
∴ED∥FB