双曲线及其标准方程

(共34张PPT)
双曲线及其标准方程
复习与问题
1，椭圆的第一定义是什么？
平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。
F1
F2
M
M
定义
图
象
标准
方程
焦点
a,b,c的关系
|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
x
y
o
F1
F2
·
·
·
M
y
o
x
F1
F2
·
M
·
a2=b2+c2
(－c,0), (c,0)
(0, －c) ,(0, c)
（a>b>0）
（a>b>0）
探究新知
平面内M与两定点F1、F2的距离的差等于非零常数2a的点的轨迹是什么图形？
思考：
探求轨迹
平面内到两个定点F1、F2的距离的差等于常数的动点的轨迹又是怎样的？
新知探究
上面两条曲线合起来叫做双曲线
②如右图下，当
时同理可得：
①
如右图，当
2
1
MF
MF
>
时
∵
F
F
MF
MF
1
2
1
+
=
∴
a
F
F
MF
MF
2
1
2
1
=
=
-
思考
：上述试验中，曲线上的点
M
满足的几何
条件是什么？
由①②可得：
（差的绝对值）
a
MF
MF
2
2
1
=
-
1
2
归纳总结
双曲线的定义
（1）2a<2c ；
（2）2a >0 ；
注意
平面内与两
定点
1
F
,
2
F
)
2
(
2
1
c
F
F
=
的距离的
差的绝对值
等于
常数
a
2
（小于
2
1
F
F
）
的点
M
的
轨迹
叫做
双曲线
,
，
其中
两
定点
1
F
2
F
叫做
双曲线的
焦点
c
F
F
2
2
1
=
叫做双曲线的
焦距
2
理解定义
对双曲线定义中的条件加以改变，则动点
M的轨迹是怎么样的呢？
例如：
（
1
）
0
2
=
a
；
（
2
）
c
a
2
2
=
；
（
3
）
c
a
2
2
>
2
||MF1|－|MF2||=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P，F2Q 上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。
②常数大于|F1F2 |时
①常数等于|F1F2|时
|MF1|－|MF2| >|F1F2|
F2
F1
P
M
Q
M
是不可能的，因为三角形两边之差小于第三边。此时无轨迹。
此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。
则|MF1|=|MF2|
F1
F2
M
③常数等于0时
∵若常数2a= |MF1|－|MF2| =0
试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？
（F1、F2是两定点, |F1F2| =2c (0当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 ；
当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 ；
因此，在应用定义时，首先要考查 .
双曲线的右支
双曲线的左支
以F1、F2为端点的两条射线
不存在
2a与2c的大小
线段F1F2的垂直平分线
F1
F2
M
F1
F2
M
|MF1|－|MF2| =2a,
F1
F2
若a=0，动点M的是轨迹_______________________.
若a=c，动点M的轨迹 ；
若a>c，动点M的轨迹 .
已知A（0，﹣4），B（0，4），
︱PA︱－︱PB︱=2a,当a=3和4时，点 p 轨迹分别为（ ）
A、双曲线和一条直线 B、双曲线和两条射线
C、双曲线一支和一条直线 D、双曲线一支和一条射
线
练一练:
如何求双曲线的方程呢？
y
o
F1
P
F2
以F1,F2所在的直线为X轴，线段F1F2的中垂线为 y轴建立直角坐标系,则F1(-C,0),F2(C,0)
2C
(-c,0)
(c,0)
师生互动
二、双曲线的标准方程
设点
列条件
建系
P(x，y)
x
y
o
F1
F2
M
双曲线的标准方程：
=
x2
a2
-
y2
b2
1
(a>0,b>0)
方程
叫做双曲线的标准方程
它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2
双曲线的标准方程
思考
3
：
取过焦点
1
F
，
2
F
的直线为
y
轴,线段
F1F2
的垂直平分线为
x
轴，建立直角坐标系，双曲
线的标准方程会是怎样的呢？
，
其中焦点是
(
,
)
c
F
-
0
1
(
)
c
F
,
0
2
x
O
y
x
y
o
F1
F2
M
y
x
x
y
o
F1
F2
双曲线的标准方程：
=
x2
a2
-
y2
b2
1
(a>0,b>0)
方程
叫做双曲线的标准方程
它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2
M
y
x
x
y
o
F1
F2
M
y
x
x
y
o
F1
F2
M
y
x
x
y
o
F1
F2
M
y
x
y
x
y
x
F2
F1
M
y
x
o
y
x
y
x
F2
F1
M
y
o
x
y
x
=
x2
a2
-
y2
b2
1
(a>0,b>0)
x2
y2
方程
叫做双曲线的标准方程
它表示的双曲线焦点在y轴上，焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2
定义
图象
方程
焦点
a.b.c的关系
P
如果x2的系数是正时，那么焦点在x轴上
P
如果y2的系数是正时，那么焦点在y轴上
a、b、c的关系
焦 点
方 程
定 义
x2
a2
-
y2
b2
=
1
x2
y2
a2
+
b2
=1
F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系：
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
x2
a2
+
y2
b2
=
1
椭 圆
双曲线
y2
x2
a2
-
b2
=
1
F（0，±c）
F（0，±c）
已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是____________.
解：
若此方程表示椭圆， 的取值范围？
解：
练一练:
练一练:
求下列双曲线的焦点坐标及a:
y2
9
-
x2
16
=
1
(1)
(2) x2 - 3 y2 = 3
(0,-5),(0,5) a=3
(-2,0),(2,0) a=
课本 48页 练习 1
课本 48页 练习 2
课本 54页 练习 1
例题分析
解：由双曲线的定义知点 的轨迹是双曲线.因为双曲线的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为
所求双曲线的方程为：
例1. 已知 , 动点 到 、 的距离之差的绝对值为6，求点 的轨迹方程.
例题分析
所求轨迹的方程为：
例1. 已知 , 动点 到 、 的距离之差的绝对值为6，求点 的轨迹方程.
两条射线
轨迹不存在
B
A
例2 一炮弹在某处爆炸，在 A处听到的时 间比在 B处晚2S，
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？
（2）已知 A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程．
分析：解应用题的关键是建 立 根据本题题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处 ,这里声速取定值.
数学模型
晚2s
联系实际，数学建模
P
解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为定值，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.
因为爆炸点 更远，所以爆炸点应在靠近 处的一支上．
离A处比离B处
B
四、联系实际，数学建模
p
B
A
（2）已知 A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程．
y
x
设爆炸点P的坐标为 ，
则 |PA|－|PB|= 340×2 =680 ,即 2 ＝680，
＝340．
o
(2)如图：建立直角坐标系，使A、B两点在轴 上，并且点O与线段AB的中点重合.
又|AB|=800,∴2c=800,c=400，
∵|PA|－|PB|＝680＞0，
∴　 ＞0
所求双曲线的方程为:
四、联系实际，数学建模
本题若|AB|=680m，曲线的方程是什么？
A到B的距离恰好等于680米
B
A
p
解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为定值，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.
因为爆炸点离A处比离B处 更远，所以爆炸点应在靠近 B 处的一支上．
解：(1) 若A、B两处距离差恰为2秒×声速，则爆炸点应在以B为端点的射线上.
故本题答案若为：爆炸点位于以A、B为焦点的双曲线靠近 B 处的一支上或在线段AB的延长线上，就更完美了。
联系实际，
数学建模
p
A到B的距离恰好等于680米
p
B
A
归纳应用：
本例（2）利用两个不同的观测点得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置，如果再增设一个观测点C ，利用 A、C或（B、 C ）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置．这是双曲线的一个重要应用．
课本 54页 练习 5