2020-2021学年高一上学期数学人教B版)（2019）必修第二册第四章4.5增长速度的比较-课件（ 共33张PPT）

增长速度的比较
高一年级 数学
情境与问题
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起
情境与问题
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起
问题一：凭直觉，你认为答案是什么？为什么？
情境与问题
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起
问题一：凭直觉，答案是E；
因为房价的增长速度大于积蓄的增长速度.
情境与问题
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起
问题二：请判断房价的增长速度一直都比积蓄的增长速度快吗？
情境与问题
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起
问题二：不是，如第一年房价的增长速度为20万元，
积蓄的增长速度为40万元.
情境与问题
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起
问题三：可以用我们学过的哪个数学概念描述它们的
增长速度？
情境与问题
设 年后房价为 万元，
这个人的积蓄为 万元.
则 .
自变量每增加1个单位，函数值平均增加 个单位.
因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢.
情境与问题
一般地，当 时， 称 为函数
在区间 （ 时）或 （ 时）上的
平均变化率.
问题四：请回忆什么是函数的平均变化率？

情境与问题
几何意义：对应两点 连线的斜率.
问题五：平均变化率的几何意义是什么？
例题讲解
例1. 分别计算下列函数在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值的变化规律.
（1）
（2）
（3）
例题讲解
解：(1)∵ ，

∴ 在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率都是2；
当自变量每增加1个单位时，函数值增长速度相同.
例题讲解
解：(2)∵ ，

∴ 在区间[1,2]与[2,3]上的平均变化率都是3；
当自变量每增加1个单位时，函数值增长速度相同.
例题讲解
例题讲解
解：(3)∵ ，

∴ 在区间[1,2]上的平均变化率是1，
在区间[2,3]上的平均变化率是3.
当自变量每增加1个单位时，
区间左端点的值越大，函数值增长速度越快.
例题讲解
例题讲解
思考1：你能比较 ， ，
在区间[1,2]和区间[2,3]上的大小吗？
在区间[1,2]上， ；
在区间[2,3]上 ， .
例题讲解
思考2：当a≥1时，任取一个长度为1的区间 [a,a+1]，
你能比较 ， ， 在此区间上的大小吗？
例题讲解
当 时， ；
， ， .
当 时， ；
当 时， .
例题讲解
一次函数的平均变化率是常数；
同一函数在不同区间上可能有不同的平均变化率；
不同函数在同一区间上可能有不同的平均变化率.
例题讲解
例2. 已知函数 ，
分别计算这三个函数在区间 上的平均变化率，
并比较它们的大小.
例题讲解
解：∵ ，

，
，
又 ∵ 时
∴ 在区间 上
的平均变化率最大，
的平均变化率最小.
例题讲解
增长模型
指数增长：类似指数函数的增长.
一般地，当 时，指数函数 具有如下特征：
当自变量每增加一个单位时，随着自变量的无限增大，函数值的增长速度会越来越快.
增长模型
线性增长：类似一次函数的增长.
当自变量每增加一个单位时， 函数值的增长速度不变.
增长模型
思考：你能举出生活中指数增长、线性增长的例子吗？
情境与问题
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，在不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
A.5年 B.7年 C.8年 D.9年 E.永远也买不起
情境与问题
设 年后房价为 万元，这个人的积蓄为 万元.
则 .
在区间 上，
情境与问题
令 ，即 .
解得 .
∴ 时，积蓄的增长速度较快；
时，房价的增长速度较快.
又∵ 时，
∴房价永远大于积蓄.
情境与问题
我们还可以用表格来理解这一问题.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}年数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
房价/万元
220
242
266
293
322
354
390
429
472
积蓄/万元
40
80
120
160
200
240
280
320
360
小结
1.数学建模思想：
2.常见的增长速度模型：指数增长、线性增长.
实际问题
数学问题
平均变化率
作业
数学书第41页练习4-5A.
谢谢