12.2 等差数列 第一课时
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12.2 等差数列 第一课时
教学目标
（1）能准确叙述等差数列的定义；
（2）能用定义判断数列是否为等差数列；
（3）会求等差数列的公差及通项公式。
教学重点，难点
等差数列的定义及等差数列的通项公式。
教学过程
一．问题情境
1．情境：观察下列数列：：
，，，，，，，……； ①
，，，，……， ②
第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 ③
某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费元，以后每分钟收话费元，那么通话费按从小到大的次序依次为：
④
如果1年期储蓄的月利率为，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ，
…… 12个月，所得的本利和依次为
10000， ⑤
2．问题：上面这些数列有何共同特征？
二．学生活动
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
三．建构数学
1．等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或．
思考：
（1）你能再举出一些等差数列的例子吗？
（2）判断下列数列是否为等差数列：
①1，1，1，1，1； ②4，7，10，13，16； ③，1，2，3。
①②是等差数列，③不是等差数列。
（3）求出下列等差数列中的未知项：
①3，，5； ② 3，，
（4）已知等差数列：4，7，10，13，16，如何写出它的第100项？
2．等差数列的通项公式：已知等差数列的首项是，公差是，求．
由等差数列的定义：，，，……
∴，，，……
所以，该等差数列的通项公式：．
另解：∵是等差数列，∴当时，有，，……
，将上面个等式的两边分别相加，得：
∴，当时，上面的等式也成立。
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。
四．数学运用
1．例题：
例1．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。奥运会如因故不能进行，届数照算。
（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，∴
（2）假设则，得
假设，无正整数解。
答：所求的通项公式是，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会。
说明：由此例说明等差数列项的判断方法。
例2．在等差数列中，已知，，求．
解：由题意可知：，解得，，
∴
例3．某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，求中间四个滑轮的直径。
解：用表示滑轮的直径所构成的等差数列，则由已知得，
由通项公式得：， 即，∴，
所以，，，，，．
答：中间四个滑轮的直径为17cm，19 cm，21 cm，23 cm。
例4．已知数列的通项公式为，其中，是常数，且，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。
解：取数列中的任意相邻两项与（），
，
∵是一个与无关的常数，故是等差数列，且公差是，
所以，这个等差数列的首项是，公差是．
例5．在与中间插入三个数，，，使得这个数成等差数列，求，，．
解：用表示这个数所成的等差数列，
由已知得：， ，
∴，，
所以，，，．
2．练习：
五．回顾小结：
1．等差数列的定义：；
2．等差数列的通项公式及其推导方法；
3．等差数列中项的判断方法。
六．课外作业：
补充：
1．已知等差数列满足，，求数列的通项公式；
2．在等差数列中，已知，，
（1）首项与公差，并写出通项公式；
（2）中有多少项属于区间？
教学目标
（1）能准确叙述等差数列的定义；
（2）能用定义判断数列是否为等差数列；
（3）会求等差数列的公差及通项公式。
教学重点，难点
等差数列的定义及等差数列的通项公式。
教学过程
一．问题情境
1．情境：观察下列数列：：
，，，，，，，……； ①
，，，，……， ②
第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 ③
某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费元，以后每分钟收话费元，那么通话费按从小到大的次序依次为：
④
如果1年期储蓄的月利率为，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ，
…… 12个月，所得的本利和依次为
10000， ⑤
2．问题：上面这些数列有何共同特征？
二．学生活动
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4；
对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；
规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
三．建构数学
1．等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或．
思考：
（1）你能再举出一些等差数列的例子吗？
（2）判断下列数列是否为等差数列：
①1，1，1，1，1； ②4，7，10，13，16； ③，1，2，3。
①②是等差数列，③不是等差数列。
（3）求出下列等差数列中的未知项：
①3，，5； ② 3，，
（4）已知等差数列：4，7，10，13，16，如何写出它的第100项？
2．等差数列的通项公式：已知等差数列的首项是，公差是，求．
由等差数列的定义：，，，……
∴，，，……
所以，该等差数列的通项公式：．
另解：∵是等差数列，∴当时，有，，……
，将上面个等式的两边分别相加，得：
∴，当时，上面的等式也成立。
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。
四．数学运用
1．例题：
例1．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。奥运会如因故不能进行，届数照算。
（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，∴
（2）假设则，得
假设，无正整数解。
答：所求的通项公式是，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会。
说明：由此例说明等差数列项的判断方法。
例2．在等差数列中，已知，，求．
解：由题意可知：，解得，，
∴
例3．某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成。已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm和25cm，求中间四个滑轮的直径。
解：用表示滑轮的直径所构成的等差数列，则由已知得，
由通项公式得：， 即，∴，
所以，，，，，．
答：中间四个滑轮的直径为17cm，19 cm，21 cm，23 cm。
例4．已知数列的通项公式为，其中，是常数，且，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。
解：取数列中的任意相邻两项与（），
，
∵是一个与无关的常数，故是等差数列，且公差是，
所以，这个等差数列的首项是，公差是．
例5．在与中间插入三个数，，，使得这个数成等差数列，求，，．
解：用表示这个数所成的等差数列，
由已知得：， ，
∴，，
所以，，，．
2．练习：
五．回顾小结：
1．等差数列的定义：；
2．等差数列的通项公式及其推导方法；
3．等差数列中项的判断方法。
六．课外作业：
补充：
1．已知等差数列满足，，求数列的通项公式；
2．在等差数列中，已知，，
（1）首项与公差，并写出通项公式；
（2）中有多少项属于区间？