12.2 等差数列 第二课时

12.2 等差数列 第二课时
教学目标
（1）理解等差数列中等差中项的概念；
（2）会求两个数的等差中项；
（3）掌握等差数列的特殊性质及应用；
（4）掌握证明等差数列的方法。
教学重点，难点
等差中项的概念及等差数列性质的应用。
教学过程
一．问题情境
1．复习：等差数列的定义、通项公式 ；
2．问题：（1）已知是公差为的等差数列。
①也成等差数列吗？
如果是，公差是多少？
也成等差数列吗？
如果是，公差是多少？
（2）已知等差数列的首项为，公差为。
①将数列中的每一项都乘以常数，所得的新数列仍是等差数列吗？
如果是，公差是多少？
②由数列中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列是等差数列吗？
如果是，它的首项和公差分别是多少？
（3）已知数列是等差数列，当时，是否一定有？
（4）如果在与中间插入一个数，使得，，成等差数列，那么应满足什么条件？
二．学生活动
与学生一起讨论得出结论。
三．建构数学
1．等差中项的概念：
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中
，，成等差数列．
2．等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是
如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则
四．数学运用
1．例题：
例1．已知等差数列的通项公式是，求首项和公差。
解：，∴
或
等差数列的通项公式是，是关于的一次式，
从图象上看，表示这个数列的各点均在直线上
（如图）
例2（1） 是等差数列，证明为等差数列。
（2）在等差数列中，是否一定有？
（3）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等差数列吗？
证明：（1）设数列公差为，，
，
∵是一个与无关的常数，∴为等差数列。
（2）∵是等差数列，所以，∴
（3）在数列中，如果对于任意的正整数，都有，
则，这表明，这个数列从第二项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，∴数列一定是等差数列。
例3．在等差数列中，若，，求．
解：（法一）设首项，公差为，则 ∴，，
∴．
（法二），．
例4．①在等差数列中，，求．
②在等差数列中，，求的值。
解：①由条件：；
②：由条件：∵ ∴
∴．
例5．如图，三个正方形的边的长组成等差数列，且，这三个正方形的面积之和是。
（1）求的长； （2）以的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
解：设公差为，则
由题意得：
解得： 或（舍去）
∴
（2）正方形的边长组成已3为首项，公差为4的等差数列，
∴，∴
所求正方形的面积是。
五．回顾小结：
1．等差中项的概念；
2．等差数列性质的应用；
3．掌握证明等差数列的方法。
六．课外作业：