12.2 等差数列 第三课时

12.2 等差数列 第三课时
教学目标
（1）理解用等差数列的性质推导等差数列的前项和的方法；
（2）掌握等差数列的前项和的两个公式，并能运用公式初步解决有关问题；
（3）理解蕴含在推导过程的数学思想、掌握相关的数学方法，提高逻辑推理能力
教学重点，难点
公式的推导、理解和记忆，公式的灵活运用。
教学过程
一．问题情境
1．一堆钢管共7层，第一层钢管数为4，第七层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？
二．学生活动
引导学生思考、讨论可得出如下方法：
①数一数；②分组求和（插入高斯的故事）；③倒序相加法。
三．建构数学
1．等差数列的前和：
（1）问题：在等差数列中首项，公差，求……+．
……+……+
……+……
∴ ，∴ ，
又∵， ∴．
（2）等差数列的前和的求和公式：.
说明：（1）等差数列的前和等于首末两项和的一半的倍；
（2）在等差数列前项和公式及通项公式中有，，，，五个量，已知其中三个可以求出另外两个。
四．数学运用
1．例题：
例1．在等差数列中，
已知，，，求；
已知，，求。
答案：（1） （2）
例2．（1）在等差数列中，已知，，求及；
在等差数列中，，，，求及
解：（1）由题意，得 由（2）得： 代入（1）得，∴（舍去），∴
（2）由题意，得 解得：
例3．求集合的元素个数，并求这些元素的和。
解：由，得，故集合中的元素共有14个，将它们从小到大列出，得，
，，，……，．
这数列是等差数列，共有项，记为，其中，，
所以，，
答：集合共有14个元素 ，它们的和等于．
例4．（1）在等差数列中，若，求（答案：）
（2）在等差数列中，，第11项到第20项的和为910，求 第21项到第30项的和。
解：（2）设等差数列的首项为，公差为，由题意，得
即： 解得：
∴ ，∴
从上例中我们发现：也成等差数列，你能得出更一般的结论吗？
结论：仍成等差数列，公差为（为确定的正整数）。
2．练习：
五．回顾小结：
1．等差数列的前项和的两个公式及推导方法 ；
2．在等差数列前项和公式及通项公式中有，，，，五个量，已知其中三个可以求出另外两个。
3．等差数列前项和的性质：在等差数列中前项为，则仍成等差数列，公差为（为确定的正整数）。
六．课外作业：