2020-2021学年北师大版八年级下册数学1.4角平分线 同步练习（Word版含解析）

1.4角平分线 同步练习
一．选择题
1．如图，AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，则下列结论不正确的是（　　）
A．EF＝EB B．AF＝AB C．AE＝CE D．∠AEF＝∠AEB
2．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点O，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（　　）
A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD＝OE D．不能确定
3．在△ABC中，∠C＝90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC长为（　　）
A．10 B．20 C．15 D．25
4．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（　　）
A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．不能确定
5．如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，△ABC中，DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，则下列结论中正确有（　　）个．
（1）DE＝DF；（2）AD⊥BC；（3）AE＝AF；（4）∠EDA＝∠FDA；（5）AB＝AC；（6）∠B＝∠C；（7）BD＝CD．
A．3 B．4 C．6 D．7
7．到三角形三边所在直线距离相等的点是（　　）
A．三条高的交点
B．三条中线的交点
C．三条内角平分线的交点
D．三条内角平分线的交点或两外角及一内角角平分线的交点
8．如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P＝（　　）
A．120° B．90° C．75° D．60°
9．某地为了发展旅游业，要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址地点共有（　　）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，∠BAC和∠BCA的角平分线相交于点N，∠BDE和∠BED的角平分线相交于点M，连接MN．下列说法错误的是（　　）
A．直线MN平分线段AC B．直线MN平分∠ABC
C．∠ANC＝∠DME D．∠ADE+∠DEC＝180°+∠B
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线且DC＝3cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离是　 　cm．
12．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB＝4cm，AC＝10cm，则△APC的面积是　 　．
13．如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E，DE＝4，AB＝6，则△ABD面积是　 　．
14．如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD＝5，BE＝2，则AB的长是　 　．
15．如图，已知△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，连接AO并延长交BC于D，OH⊥BC于H，若∠BAC＝60°，OH＝5cm，则∠BAD＝　 　，点O到AB的距离为　 　cm．
三．解答题
16．如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等．
求证：AD平分∠BAC．
17．如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CF与∠ABC的平分线BG相交于点O．求证：点O到三边AB，BC，AC的距离相等．
18．如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，分别交AB于点E，交BC于点F，P是BM上的另一点，连接PE，PF．
（1）若∠EDF＝124°，求∠ABC的度数；
（2）求证：PE＝PF．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AE为∠BAC的平分线，EB⊥AB，EF⊥AC，
∴EF＝EB，
在Rt△ABE和Rt△AFE中，，
∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），
∴AF＝AB，∠AEF＝∠AEB，
∴结论不正确的是AE＝CE．
故选：C．
2．解：如图，连接AO，∵∠B、∠C的角平分线交于点0，
∴AO平分∠BAC，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE．
故选：C．
3．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵点D到AB的距离为6，
∴DE＝6，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，
∴DC＝DE＝6，
∵BD：DC＝3：2，
∴BD＝×3＝9，
∴BC＝BD+DE＝9+6＝15．
故选：C．
4．解：∵PC⊥OC，PD⊥OD，PC＝PD，
∴P在∠COD的角平分线上，
即∠1＝∠2，
故选：B．
5．解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，
∴PF＝PG＝3，PG＝PH，
∴PF＝PG＝PH＝3．
故选：C．
6．解：∵在△ADE和△ADF中AD为公共边，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，
∴△AED≌△ADF，
∴DE＝DF，AE＝AF，∠EDA＝∠FDA，
故（1）（3）（4）正确．
要想证得（2）（5）（6）（7）那就要求△ABC为等腰三角形，但是已知条件没有，从已知条件中也不能证得．
∴只有三个答案是正确的．
故选：A．
7．解：由图一可知，三角形三条内角平分线的交点符合题意；
由图二可知：点D为两外角及一内角角平分线的交点符合题意，
同理点E、F也符合题意．
故选：D．
8．解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等，
∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，
∴∠CBP+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD），
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠CBP+∠BCP＝×180°＝90°，
∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣90°＝90°．
故选：B．
9．解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴度假村应该在围成的三角形三条角平分线的交点处．
故选：A．
10．解：A．只有当AB＝BC时，直线MN才平分线段AC，根据已知条件不能推出直线MN平分线段AC，故本选项符合题意；
B．过N作NG⊥BC于G，NH⊥AC于H，NF⊥AB于F，
∵∠BAC和∠BCA的角平分线相交于点N，
∴NF＝NH，NH＝NG，
∴NF＝NG，
∴BN平分∠ABC，
即直线MN平分∠ABC，故本选项不符合题意；
C．∵∠BAC和∠BCA的角平分线相交于点N，
∴∠NAC＝BAC，∠NCA＝BCA，
∵∠ABC+∠BCA+∠BAC＝180°，
∴∠NAC+∠NCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣ABC，
∴∠ANC＝180°﹣（∠NAC+∠NCA）＝180°﹣（90°﹣ABC）＝90°+ABC，
同理，∠DME＝90°+ABC，
∴∠ANC＝∠DME，故本选项不符合题意；
D．∵∠ADE＝∠ABC+∠BED，∠DEC＝∠ABC+∠BDE，∠ABC+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠ADE+∠DEC＝∠ABC+∠BED+∠ABC+∠BDE＝180°+∠ABC，故本选项不符合题意；
故选：A．
二．填空题
11．解：作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝3，
故答案为3．
12．解：过P作PD⊥AC于D，
∵点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB＝4cm，
∴PD＝PB＝4cm，
∵AC＝10cm，
∴△APC的面积是＝，
故答案为：20cm2．
13．解：如图，过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，
∴DF＝DE＝4，
又∵AB＝6，
∴△ABD面积＝×AB×DF＝×6×4＝12，
故答案为：12．
14．解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
∴∠DAC＝∠FAC，∠FBC＝∠EBC，
在△ADC和△AFC中，
∵，
∴△ADC≌△AFC（AAS），
∴AD＝AF，
在△CBE≌△CBF中，
∵，
∴△CBE≌△CBF（AAS），
∴BE＝BF，
∴AB＝AF+BF＝AD+BE＝5+2＝7，
故答案为：7．
15．解：作OP⊥AB于P，OQ⊥AC于Q，
∵点O是∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OP⊥AB，OQ⊥AC，OH⊥BC，
∴OP＝OH，OQ＝OH，
∴OP＝OQ，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，OP＝OH＝5cm，
故答案为：30°；5．
三．解答题
16．证明：过D作DN⊥AC，DM⊥AB，
△DBF的面积为：BF?DM，
△DCE的面积为：DN?CE，
∵△DCE和△DBF的面积相等，
∴BF?DM＝DN?CE，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴AD平分∠BAC（到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
17．证明：如图，过点O作OM⊥AB交BA的延长线于M，过点O作ON⊥BC于N，过点O作OH⊥AC于H，
∵∠ACD的平分线CF与∠ABC的平分线BG相交于点O，
∴ON＝OH，OM＝ON，
∴OM＝ON＝OH，
即点O到三边AB，BC，AC的距离相等．
18．解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°，
∵∠EDF＝124°，
∴∠ABC＝360°﹣90°﹣90°﹣124°＝56°；
（2）∵BM平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ED＝FD，∠EDB＝∠FDB，
∴∠EDP＝∠FDP，
在△EDP和△FDP中，
，
∴△EDP≌△FDP（SAS），
∴PE＝PF．