奉贤中学2020学年高二第一学期期末考试
数学试卷（2021.1）
考生注意：
1、本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分。
2、所有答案务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位。
3、用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔答非选择题。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-1其中i为虚数单位，1、设复数，其中为虚数单位，则z的虚部是_________。
直线y=-2x
+3的倾斜角是____________（结果用反三角表示）。
设向量满足，则___________。
已知直线l1∶（k-3）x+（4-k）y+1=0与l2∶2（k-3）x-2y+3=0平行，则k的值是_____。
设复数满足（i是虚数单位），则_________。
6、已知圆C在y轴正半轴所截得弦长为8，且圆切x轴于点（3，0），则圆C的标准方程为________________________。
7、若过椭圆上焦点的直线交椭圆于点A，B，为椭圆下焦点，则三角
形的周长为___________。
8、若变量x，y满足约束条件则目标函数z=-2x+y的最大值为_______。
9、数学家欧拉在1765年提出定理；三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线。已知
?ABC的顶点A（4，0），B（0，2），，则?ABC的欧拉线所在直线方程为______。
10、若向量=（1，1）与向量=（1，x）的夹角为锐角，则x的取值范围是________。
11、复平面上点Z（a，b）对应着复数z=a+bi以及向量=（a，b），对于复数，下列命题都成立;①；②；③；④；⑤若非零复数，满足，则。则对于非零向量仍然成立的命题的所有序号是______________。
12、已知直线y=x+b与单位圆x2+y?=1交于A，B两个不同点，设直线OA，OB的倾斜角分别是α，β，则cos
α+cos
β的取值范围是_________________。
二、选择题（本大题满分20分，共4题，每题5分）
13、关于实数m、n，“m
n>0”是方程“m
x?+n
y?=1对应的曲线是椭圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14、已知关于x的方程，其中都是非零向量，且不共线，则该方程的解的情况是（
）
A.至少有一个解
B.至多有一个解
C.至多有两个解
D.可能有无数个解
15、如图，平面上过点P（1，2）的直线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B。过点P分别作直线垂直于x轴与y轴，垂足分别为M，N。则满足的直线有（
）条
A.0
B.1
C.
2
D.3
16、已知矩形ABCD中，AB=3，CB=2，该矩形所在平面内一点P满足，记，则（
）
A.存在点p，使得
B．存在点p，使得
C.对任意的点P，有
D.对任意的点P，有
三、解答题（本大题共有5
题，满分76
分）
17、（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知关于x的方程x?-p
x+25=0（p∈R）的两根为x1、x2。
（1）若x1=3+4i，求p的值
（2）若，求实数
p的值。
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知双曲线。
（1）求双曲线的两条渐近线的夹角的大小；
（2）设定点A(a，0）（a>0），求双曲线上的动点P到A的距离d的最小值。
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图所示，其探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道T1绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道T2绕月飞行.
（1）求椭圆轨道T2的短轴长；
（近似到0.1）
（2）若椭圆轨道T2上有四个卫星观测点A、B、C、D，且四边形ABCD是以椭圆T2中心为对称中心的矩形，将矩形ABCD的面积称为观测覆盖面，求观测覆盖面的最大值（近似到0.1）。
20、（本题满分16分，第1小题满分4分，第2
小题满分6分，第3小题满分6分）
在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义。
（1）若=（-1，3），=（2，3），求；
（2）若=（2，1），位置向量的终点在直线x+y+1=0上，求位置向量
终点轨迹方程;
（3）对任意两个向量，求证∶。
21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
己知抛物线C∶x2=4y，不过原点的直线l与C交于不同两点。
（1）若直线l过抛物线C的焦点，设求的值;
（2）若OA垂直于OB，求证∶直线I过定点;
（3）若直线I过点（0，4），直线m∶y=ax-1，直线AO，BO分别交直线m于M，N两点，线段MN长的最小值为
f（a），求
f（a）的最大值。奉贤中学2020学年高二第一学期期末考试
数学试卷（2021.1）
考生注意：
1、本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分。
2、所有答案务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位。
3、用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔答非选择题。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-1其中i为虚数单位，1、设复数，其中为虚数单位，则z的虚部是_________。
【答案】1
【解析】，故z的虚部是1。
直线y=-2x
+3的倾斜角是____________（结果用反三角表示）。
【答案】
【解析】
设向量满足，则___________。
【答案】1
【解析】
已知直线l1∶（k-3）x+（4-k）y+1=0与l2∶2（k-3）x-2y+3=0平行，则k的值是_____。
【答案】3或5
【解析】
设复数满足（i是虚数单位），则_________。
【答案】
【解析】
6、已知圆C在y轴正半轴所截得弦长为8，且圆切x轴于点（3，0），则圆C的标准方程为________________________。
【答案】
【解析】设圆心C的坐标为（3，r）,过点C作CD弦EF
于点D,则DF=DE=4,由勾股定理得CF=5
,
r=5，则圆C的标准
方程为
7、若过椭圆上焦点的直线交椭圆于点A，B，为椭圆下焦点，则三角
形的周长为___________。
【答案】16
【解析】
由椭圆的定义得
8、若变量x，y满足约束条件则目标函数z=-2x+y的最大值为_______。
【答案】2
【解析】
由变量x，y满足约束条件作出可行域如图
联立,化目标函数z=-2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A时，直线y轴上的截距最大为2.
9、数学家欧拉在1765年提出定理；三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线。已知
?ABC的顶点A（4，0），B（0，2），，则?ABC的欧拉线所在直线方程为______。
【答案】2x-y-3=0
【解析】线段AB的中点为(2,1),，
线段AB的垂直平分线为:y=2(x-2)+1，即2x-y-3=0
AC=BC，
三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上，
因此?ABC的欧拉线方程为2x-y-3=0.
10、若向量=（1，1）与向量=（1，x）的夹角为锐角，则x的取值范围是________。
【答案】
【解析】设向量与向量的夹角为，则
夹角为锐角，
故答案为
11、复平面上点Z（a，b）对应着复数z=a+bi以及向量=（a，b），对于复数，下列命题都成立;①；②；③；④；⑤若非零复数，满足，则。则对于非零向量仍然成立的命题的所有序号是______________。
【答案】①②③
【解析】①成立，满足加法的交换律；
②在复平面内，根据复数模长的几何意义知，
分别对应三角形的三边，则，
若或对应的向量方向相同时，有，
综上，，故②正确；
③成立，
④，故④不成立，
⑤若非零复数，满足，
故⑤不成立
12、已知直线y=x+b与单位圆x2+y?=1交于A，B两个不同点，设直线OA，OB的倾斜角分别是α，β，则cos
α+cos
β的取值范围是_________________。
【答案】
【解析】设点A的坐标为，点B的坐标为，
由三角函数的定义得：cosα+cosβ=x1+x2
由，消去y得：
即cosα+cosβ=-b，
故cos
α+cos
β的取值范围是
二、选择题（本大题满分20分，共4题，每题5分）
13、关于实数m、n，“m
n>0”是方程“m
x?+n
y?=1对应的曲线是椭圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】先证必要性：方程“m
x?+n
y?=1对应的曲线是椭圆，则m>0,n>0,mn，m
n>0
故必要性成立；再证充分性：m
n>0，则m>0,n>0或m<0,n<0,故充分性不成立.
14、已知关于x的方程，其中都是非零向量，且不共线，则该方程的解的情况是（
）
A.至少有一个解
B.至多有一个解
C.至多有两个解
D.可能有无数个解
【答案】B
【解析】
由平面向量基本定理可得:
则方程可变为:
即:，不共线，
可知方程组可能无解，也可能有一个解，
故方程至多有一个解。故选:B。
15、如图，平面上过点P（1，2）的直线与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B。过点P分别作直线垂直于x轴与y轴，垂足分别为M，N。则满足的直线有（
）条
A.0
B.1
C.
2
D.3
【答案】B
【解析】设直线AB为y=k(x-1)+2，令x=0，y=2-k；令y=0，x=
故这样的直线有一条。
16、已知矩形ABCD中，AB=3，CB=2，该矩形所在平面内一点P满足，记，则（
）
A.存在点p，使得
B．存在点p，使得
C.对任意的点P，有
D.对任意的点P，有
【答案】C
【解析】以C为原点，以CD,CB所在直线为x轴,y轴建立坐标系，则A(-3,-2),B(0，-2)，D(-3,0),则,且点P在矩形内，
三、解答题（本大题共有5
题，满分76
分）
17、（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知关于x的方程x?-p
x+25=0（p∈R）的两根为x1、x2。
（1）若x1=3+4i，求p的值
（2）若，求实数
p的值。
【答案】(1)6；(2)
【解析】
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知双曲线。
（1）求双曲线的两条渐近线的夹角的大小；
（2）设定点A(a，0）（a>0），求双曲线上的动点P到A的距离d的最小值。
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）双曲线C的两条渐近线方程是，
则它们的夹角是；
（2）设P(x,y)为双曲线上任意一点，则
，对称轴，
综上所述
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图所示，其探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道T1绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道T2绕月飞行.
（1）求椭圆轨道T2的短轴长；
（近似到0.1）
（2）若椭圆轨道T2上有四个卫星观测点A、B、C、D，且四边形ABCD是以椭圆T2中心为对称中心的矩形，将矩形ABCD的面积称为观测覆盖面，求观测覆盖面的最大值（近似到0.1）。
【答案】（1）2.8万公里；（2）28.2万公里2
【解析】
（1）设椭圆T1的长轴长，短轴长，焦距为2a1,2b1,2c1;
设椭圆T2的长轴长，短轴长，焦距为2a2,2b2,2c2;
因此2a1=40，2b1=4，则c1=，
又
故椭圆轨道T2的短轴长为2.8万公里
（2）将椭圆T2放入平面直角坐标系中，使得长轴，短轴分别在x轴，y轴上，则椭圆的标准方程为，
设A（x,y）为椭圆上的任意点，则矩形ABCD的面积为S=,
当且仅当时，等号成立，
因此观测覆盖面的最大值为28.2万公里2.
20、（本题满分16分，第1小题满分4分，第2
小题满分6分，第3小题满分6分）
在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义。
（1）若=（-1，3），=（2，3），求；
（2）若=（2，1），位置向量的终点在直线x+y+1=0上，求位置向量
终点轨迹方程;
（3）对任意两个向量，求证∶。
【答案】（1），（2）2x+y=0，（3）见解析。
【解析】
（1）
（2）设的终点坐标是（x,y）,的终点坐标是（x0,y0）且x0+y0+1=0,
即2x+y=0即为所求轨迹方程；
（3）
而为非零向量，.
21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
己知抛物线C∶x2=4y，不过原点的直线l与C交于不同两点。
（1）若直线l过抛物线C的焦点，设求的值;
（2）若OA垂直于OB，求证∶直线I过定点;
（3）若直线I过点（0，4），直线m∶y=ax-1，直线AO，BO分别交直线m于M，N两点，线段MN长的最小值为
f（a），求
f（a）的最大值。
【答案】（1）-4；（2）见解析；（3）2.
【解析】
（1）焦点F(0,1),显然直线l的斜率一定存在，设为k，
联立方程组
则=-4.
（2）
设直线l的方程为y=kx+t，联立方程组
当时，有，得t=4
（3）设直线l的方程为y=kx+4，联立方程组
则,
;
解法一：设直线OA的方程：y=k1x，联立解得
设，则有解，
，
得到，
因此时，的最大值为2.
解法二：过点O作OH垂直m，垂足为H，则,
,
则
因此对于给定的直线m，，
又直线m过定点P(0,-1),所有,则最大值为2.
