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教学设计
椭圆及其标准方程
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)
1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题学习，培养学生的数学运算素养．2．借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养．
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
[提示] (1)点的轨迹是线段F1F2．
(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点
(－c,0)与(c,0)
(0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；
(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．
[解] (1)由于椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)由于椭圆的焦点在y轴上，
∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1．
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1．
(3)法一：①当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1．
②当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
依题意有解得
因为a＞b＞0，所以无解．
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．
1．利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
1．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
[答案] B
1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a．
平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．
2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在＋＝1与＋＝1这两个标准方程中，都有a＞b＞0的要求，如方程＋＝1(m＞0，n＞0，m≠n)就不能确定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式＋＝1类比，如＋＝1中，由于a>b，所以在x轴上的“截距”更大，因而焦点在x轴上(即看x2，y2分母的大小)．
3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．
1．已知A(－5,0)，B(5,0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是( )
A．椭圆
B．直线
C．线段
D．点
C [由|AC|＋|BC|＝10＝|AB|知点C的轨迹是线段AB．]
2．“2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当方程表示椭圆时，应满足所以2因此应为必要不充分条件，故选B．]
3．已知椭圆＋＝1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________．
48 [由题意知
①2－②得2|PF1||PF2|＝96．
所以|PF1||PF2|＝48．]
4．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
[解] 设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，
由已知条件得解得
所以b2＝a2－c2＝12．
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
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4
-评测练习
层级一 学业水平达标
1．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
2．若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为( )
A．5
B．3
C．5或3
D．8
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a>3
B．a<－2
C．a>3或a<－2
D．a>3或－65．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
6．已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________________．
8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．
9．求符合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点和；
(2)过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．(共19张PPT)
课程名称：椭圆及其标准方程
学科：数学
年级：高二
版本：人教A版
圆锥曲线
1.
圆锥曲线---椭圆，双曲线，抛物线统称为圆锥曲线。
2.
古希腊人们用纯几何方法研究圆锥曲线。
3.
17世纪笛卡尔开始用坐标法研究圆锥曲线。
1.通过动手画椭圆，感受椭圆的产生过程，归纳出椭圆的定义。
2.掌握椭圆的定义和标准方程。
3.会用待定系数法求椭圆的标准方程。
教学目标
课堂探究：
自然界处处存在椭圆，那么我们用自己的双手怎么画一个椭圆？
(1)取一条定长的细绳；
(2)把它的两端固定在两点；
(3)套上铅笔，拉紧绳子，
移动笔尖，画出椭圆。
数学实验—探究1：椭圆定义
以小组为单位讨论以下问题：
1.视笔尖为动点，图钉为定点，动点到两定点距离之和满足什么条件？其轨迹是椭圆。
2.改变两图钉间距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
3.绳长能小于图钉间距离吗？
4.请给椭圆下定义。
知识探究：通过作图归纳椭圆定义
探究一、椭圆的定义
1.椭圆--平面内与两个定点F1,F2的
距离的和等于常数2a
(大于F1F2)
的点的轨迹叫椭圆.
①焦点----定点F1,F2
。
②焦距----两焦点间的距离。
③当2a>|F1F2|时，
M的轨迹表示椭圆。
当
2a=|F1F2|时，M的轨迹表示F1F2
线段。
当
2a<|F1F2|时，M的轨迹不表示任何图形
探究二、椭圆的标准方程
1.建系。
2.设动点M坐标为（x，y）.
设焦距为2c，
|MF1|+|MF2|=2a
3.几何条件：|MF1|+|MF2|=2a。
4.几何条件代数化。
知识点二、椭圆的标准方程
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已知椭圆标准方程，如何判断椭圆的焦点位置？
x2，y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上
课堂演练
例1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并写出焦点坐标
答：在
X
轴。（-3，0）和（3，0）
答：在
y
轴。（0，-5）和（0，5）
答：在y
轴。（0，-1）和（0，1）
题型探究—椭圆的定义及应用
和是否为定值不清楚
错误
和2a错误
F1F2
的中垂线。
错误
正确
小结：注意2a必须是定值，且2a>焦距.
题型探究—求椭圆的标准方程
题型探究—求椭圆的标准方程
题型探究—求椭圆的标准方程
注意:1.设椭圆方程要先确定焦点的位置,不确定时要讨论.
总结归纳
1.定义：
2.标准方程：
3.求椭圆标准方程的步骤：
1.定位,
2.定型,
3.定量。
布置作业
1.导学案练习题。
2.预习：椭圆几何性质。