山东省临沂市2020-2021学年高三上学期期末检测数学试题（word解析版）

山东省临沂市2021届高三第一学期期末检测
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝{﹣1，2}，B＝，若AB＝A，则所有符合条件的实数m组成的集合是
A．{，0，1}
B．{﹣1，0，2}
C．{﹣1，2}
D．{﹣1，0，}
2．复数z满足，则＝
A．
B．
C．
D．
3．若向量＝(x，2)，＝(2，3)，＝(2，﹣4)，且∥，则＝
A．3
B．
C．
D．
4．在数列中，，，若为等差数列，则＝
A．
B．
C．
D．
5．“”是“”的
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．函数的部分图象大致为
7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过拋物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为
A．
B．
C．
D．
8．函数的图象关于y轴对称，x(，0]时，，．又，则的解集为
A．(3，)
B．
C．(1，)
D．
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是
A．这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h
的概率为0.65
C．若从样本中车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，
则至少有一辆车的车速在[65，70)的概率为
D．若从样本中车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，
第9题
则车速都在[65，70)内的概率为
10．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是
A．直线BM与平面ADD1A1平行
B．平面BMD1截正方体所得的截面为三角形
C．异面直线AD1与A1C1所成的角为
D．的最小值为
11．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：(3＋m)x＋4y﹣3＋3m＝0(mR)．则下列四个命题正确的是
A．直线l恒过定点(﹣3，3)
B．当m＝0时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1
C．圆C与曲线：x2＋y2﹣6x﹣8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝16
D．当m＝13时，直线l上一个动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点(，)
12．已知函数，则以下结论正确的是
A．在R上单调递增
B．
C．方程有实数解
D．存在实数k，使得方程有4个实数解
A．0
B．1
C．2
D．3
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知，若(0，)，则＝
．
14．的展开式中的系数为
．
15．有六条线段，其长度分别为2，3，4，5，6，7．现任取三条，则这三条线段在可以构成三角形的前提下，能构成锐角三角形的概率是
．
16．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，当PB＝时，三棱锥P—ABC的外接球的体积为
．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
正项等比数列的前n项和为，，若，，且点(，)在函数的图像上．
（1）求，的通项公式；
（2）记，求的前n项和．
18．（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，且△ABC的外接圆的面积为3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
在①bsin2A﹣asinAcosC＝csin2A；②bsin＝asinB；③2acosB＝2c﹣b这三个条件中任选一个补充在上面问题中，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
19．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2，CD＝3BC，E为AB的中点，点F在CD上，且EF∥BC，以EF为折痕把四边形EBCF折起，使二面角B—EF—D为直角，点B，C折起后的位置分别记为点G，H．
（1）求证：AD⊥平面AHF；
（2）在线段HD上存在一点P，使平面PAE与平面AEG所成的二面角的余弦值为，延长GH到点M，使HM＝GH，判断直线PM是否在平面PAE中，说明理由．
20．（本小题满分12分）
随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步的步数．某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了2000人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天健步的步数均在3千步至21千步之间）．将样本数据分成[3，5)，[5，7)，[7，9)，[9，11)，[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布．
（1）求图中a的值；
（2）设该企业正常上班的员工健步步数（单位：千步）近似服从正态分布N(，)，其中近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算），取＝3.64，若该企业恰有10万正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数Z位于区间[4.88，15.8]范围内的人数；
（3）现从该企业员工中随机抽取20人，其中有k名员工的日健步步数在13千步至15千步内的概率为P(X＝k)，其中k＝0，1，2，…，20，当P(X＝k)最大时，求k的值．
参考数据：若随机变量服从正态分布N(，)，则P(＜≤)≈0.6827，P(＜≤)≈0.9545，P(＜≤)≈0.9973．
21．（本小题满分12分）
设函数(aR)．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若有两个极值点，，记过点A(，)，B(，)的直线斜率为k，问：是否存在a，使得k＝2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知P(0，1)为椭圆(a＞b＞0)上的一点，焦距长为2．PA、PB为椭圆的两条动弦，其倾斜角分别为、，且＋＝(0＜＜，0＜＜)．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）探究直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
山东省临沂市2021届高三第一学期期末检测
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝{﹣1，2}，B＝，若AB＝A，则所有符合条件的实数m组成的集合是
A．{，0，1}
B．{﹣1，0，2}
C．{﹣1，2}
D．{﹣1，0，}
答案：D
解析：若AB＝A，则BA，①当B＝，即m＝0，符合题意；②当B≠时，即m≠0，此时B＝{}，要使BA，则＝﹣1或2，则m＝﹣1或．故选D．
2．复数z满足，则＝
A．
B．
C．
D．
答案：C
解析：．故选C．
3．若向量＝(x，2)，＝(2，3)，＝(2，﹣4)，且∥，则＝
A．3
B．
C．
D．
答案：C
解析：因为向量＝(x，2)，＝(2，﹣4)，且∥，
所以，所以＝(﹣1，2)，故＝(﹣3，﹣1)，
所以．故选C．
4．在数列中，，，若为等差数列，则＝
A．
B．
C．
D．
答案：A
解析：．故选A．
5．“”是“”的
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：因为，所以，又因为(﹣2，﹣1)(，0)，故选C．
6．函数的部分图象大致为
答案：B
解析：首先判断出该函数是奇函数，排除D，其次该函数与x轴的交点坐标为(1，0)，(﹣1，0)，排除A，又，排除C，故选B．
7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过拋物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△ABM的周长为
A．
B．
C．
D．
答案：B
解析：根据题意可求得A(，1)，B(4，﹣4)，从而AM＝，AB＝，MB＝，故△ABM的周长为．故选B．
8．函数的图象关于y轴对称，x(，0]时，，．又，则的解集为
A．(3，)
B．
C．(1，)
D．
答案：A
解析：根据函数的图象关于y轴对称，x(，0]时，，，可得当＞0，有x＜﹣2或x＞2，当＜0，有﹣2＜x＜2，
可转化为或，解得x＞3，选A．
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是
A．这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h
的概率为0.65
C．若从样本中车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，
则至少有一辆车的车速在[65，70)的概率为
D．若从样本中车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，
第9题
则车速都在[65，70)内的概率为
答案：ABC
解析：众数＝，故A正确；车速超过75km/h的概率＝(0.06＋0.05＋0.02)×5＝0.65，故B正确；求得车速在[60，65)的车有4辆，车速在[65，70)的车有8辆，从[60，70)的车辆中任意抽取2辆，至少有一辆车车速在[65，70)的概率＝，故C正确；从样本中车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[65，70)内的概率为，故D错误．综上选ABC．
10．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点M在棱CC1上，则下列结论正确的是
A．直线BM与平面ADD1A1平行
B．平面BMD1截正方体所得的截面为三角形
C．异面直线AD1与A1C1所成的角为
D．的最小值为
答案：AC
解析：若N为AA1上一点，使A1N＝CM，则四边形BMD1N就是平面BMD1截正方体所得的截面，故B错误；的最小值为，故D错误．综上选AC．
11．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：(3＋m)x＋4y﹣3＋3m＝0(mR)．则下列四个命题正确的是
A．直线l恒过定点(﹣3，3)
B．当m＝0时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1
C．圆C与曲线：x2＋y2﹣6x﹣8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝16
D．当m＝13时，直线l上一个动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点(，)
答案：ACD
解析：因为直线l：(3＋m)x＋4y﹣3＋3m＝0(mR)，整理得：，故直线l恒过定点(﹣3，3)，A正确；当m＝0时，直线l：3x＋4y﹣3＝0，求得圆心C到直线的距离为，，故圆C上有四个点到直线l的距离都等于1，B错误；曲线：x2＋y2﹣6x﹣8y＋m＝0是以(3，4)为圆心，为半径的圆，若圆C与曲线：x2＋y2﹣6x﹣8y＋m＝0恰有三条公切线，则，则m＝16，故C正确；当m＝13时，直线l为，设动点P为(p，﹣4p﹣9)，过P向圆C引两条切线PA，PB，则直线AB方程为：，整理得
，故直线AB过定点(，)，故D正确．综上选ACD．
12．已知函数，则以下结论正确的是
A．在R上单调递增
B．
C．方程有实数解
D．存在实数k，使得方程有4个实数解
答案：BCD
解析：，故A错误；当x＞﹣3时，，所以在(﹣3，)单调递增，因为，所以，故B正确；在(﹣3，)单调递增，在(，﹣3)单调递减，，，故在(﹣3，0)上，方程有实数解，C正确；，显然x＝0是原方程的根，当x≠0时，，令，，列表如下：
x
(，﹣2)
﹣2
(﹣2，0)
(0，)
﹢
0
﹣
﹢
单调递增
单调递减
单调递增
故当0＜k＜，直线y＝k与函数(x≠0)有三个交点，又x＝0是原方程的根，故存在实数k，使得方程有4个实数解，D正确．综上选BCD．
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知，若(0，)，则＝
．
答案：或
解析：，
(，)，或，故＝或．
14．的展开式中的系数为
．
答案：25
解析：的第r＋1项为，故原式展开式中的系数＝．
15．有六条线段，其长度分别为2，3，4，5，6，7．现任取三条，则这三条线段在可以构成三角形的前提下，能构成锐角三角形的概率是
．
答案：
解析：从长度为2，3，4，5，6，7的六条线段中任取三条，构成三角形的可能性有13种，其中能构成锐角三角形的有3种，故概率为．
16．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，当PB＝时，三棱锥P—ABC的外接球的体积为
．
答案：
解析：由题意可知，P是正方体对角线BD1的中点，取AC中点Q，则三棱锥P—ABC的外接球的球心在直线PQ上，设球的半径为R，则，解得R＝，故V＝．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
正项等比数列的前n项和为，，若，，且点(，)在函数的图像上．
（1）求，的通项公式；
（2）记，求的前n项和．
解：（1）设数列的公比为q，由题意可得，
解得：或（舍），，
故的通项公式为，
因为点(，)在函数的图像上，所以，
所以．
（2）由题意知，
．
18．（本小题满分12分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，且△ABC的外接圆的面积为3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
在①bsin2A﹣asinAcosC＝csin2A；②bsin＝asinB；③2acosB＝2c﹣b这三个条件中任选一个补充在上面问题中，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
解：若选①由bsin2A﹣asinAcosC＝csin2A及正弦定理可得：
，
A(0，π)，，，
所以，
所以，，
因为△ABC的外接圆的面积为3π，由正弦定理可得，，
又△ABC的面积为，所以，即，所以．
由余弦定理得，则，
所以，即，
所以△ABC的周长；
若选②，由正弦定理得，
因为，所以，
由，可得，故，
因为，故，
因此．
其余步骤同①
若选③，由正弦定理可得，，
将，
代入上式可得，，
所以，
因为，所以，即，由于，所以，
其余步骤同①．
19．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2，CD＝3BC，E为AB的中点，点F在CD上，且EF∥BC，以EF为折痕把四边形EBCF折起，使二面角B—EF—D为直角，点B，C折起后的位置分别记为点G，H．
（1）求证：AD⊥平面AHF；
（2）在线段HD上存在一点P，使平面PAE与平面AEG所成的二面角的余弦值为，延长GH到点M，使HM＝GH，判断直线PM是否在平面PAE中，说明理由．
解：（1）证明：
∴EF⊥CF，即EF⊥HF，
又∵平面EGHF⊥平面AEFD，平面EGHF平面AEFD＝EF，
∴HF⊥平面AEFD，∴HF⊥AD，
∵点E为AB的中点，AB＝2BC＝2，CD＝3BC，AB∥CD，EF∥BC，
∴AE＝EF＝1，DF＝2，
∴AF＝，AD＝，
又HFAF＝F，∴AD⊥平面AHF；
（2）由（1）知HF⊥平面AEFD，EF⊥FD，∴HF⊥FD，HF⊥EF，
如图，以F为原点，FE，FD，FH所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系F—xyz，
则E(1，0，0)，D(0，2，0)，H(0，0，1)，A(1，1，0)，G(1，0，1)
，
∴
设平面PAE的法向量为，
则，
令，得，
易知平面AEG的一个法向量为
由，解得
∴P为HD中点，
由，得，又，∴，
又平面PAE的一个法向量
，因为点P在平面PAE内，
∴直线PM在平面PAE内．
20．（本小题满分12分）
随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步的步数．某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了2000人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天健步的步数均在3千步至21千步之间）．将样本数据分成[3，5)，[5，7)，[7，9)，[9，11)，[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布．
（1）求图中a的值；
（2）设该企业正常上班的员工健步步数（单位：千步）近似服从正态分布N(，)，其中近似为样本的平均数（各区间数据用中点值近似计算），取＝3.64，若该企业恰有10万正常上班的员工，试估计这些员工中日健步步数Z位于区间[4.88，15.8]范围内的人数；
（3）现从该企业员工中随机抽取20人，其中有k名员工的日健步步数在13千步至15千步内的概率为P(X＝k)，其中k＝0，1，2，…，20，当P(X＝k)最大时，求k的值．
参考数据：若随机变量服从正态分布N(，)，则P(＜≤)≈0.6827，P(＜≤)≈0.9545，P(＜≤)≈0.9973．
解：（1）由，
解得．
（2）
则（人），所以日健步步数Z位于区间[4.88，15.8]范围内的人数约为8186人；
（3）设从该企业员工中随机抽取20人日健步步数在13千步至15千步的员工有X人，则X~B(20，0.2)，
其中有k名员工的概率为
，其中k＝0，1，2，…，20，
记，
当时，，则；
当时，，则，
所以当k＝4时，最大．
21．（本小题满分12分）
设函数(aR)．
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若有两个极值点，，记过点A(，)，B(，)的直线斜率为k，问：是否存在a，使得k＝2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）的定义域为
令，其判别式
上单调递增，
的两根都小于0，在上故在上单调递增，
③当a＞2时，，的两根为
上单调递增，上单调递减；
（2）由（1）知，若有两个极值点，，则只能是情况③，故a＞2，
因为
所以
又由（1）知，，于是
若存在，使得，则，即
即
再由（1）知，函数在上单调递增，而，
所以
22．（本小题满分12分）
已知P(0，1)为椭圆(a＞b＞0)上的一点，焦距长为2．PA、PB为椭圆的两条动弦，其倾斜角分别为、，且＋＝(0＜＜，0＜＜)．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）探究直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（1）由题意知，所以
所以椭圆的标准方程为；
（2）①当直线AB斜率不存在时，设为，设点A坐标为，点B坐标为，
由于
所以
∴，
所以直线AB斜率不存在时，不符合题意；
②当直线AB斜率存在时，设方程为，点A坐标为，点B坐标为
联立，得，
显然，直线，不经过点(0，1)，即，
故有，，
化简得，
所以直线AB为
显然当时，上式成立，直线AB过定点(﹣4，﹣3)，
综上，直线AB过定点(﹣4，﹣3)．
2