北师大版八年级下册数学 1.4角平分线 同步练习 (word含解析）

1.4角平分线
同步练习
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（　　）
A．15
B．30
C．12
D．10
2．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5.5
3．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（　　）
A．5
B．6
C．3
D．4
4．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
5．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地内修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？可供选择的位置有（　　）处．
A．一
B．二
C．三
D．四
6．如图，点O是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在∠A的平分线上；②点O到△ABC的三边的距离相等；③OB＝OC．以上结论正确的有（　　）
A．②③
B．①②
C．①③
D．①②③
7．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1（　　）S2+S3．
A．＞
B．＝
C．＜
D．无法确定
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　）
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3
D．S△AEB＝S△EDB
9．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（　　）
A．15
B．12
C．10
D．14
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④
B．①②③
C．②④
D．①③
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若AB＝12，CD＝4，则△ABD的面积为　
　．
12．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，BD为△ABC的角平分线，则点D到边AB的距离为　
　．
13．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点
E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为　
　cm2．
14．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为　
　cm2．
15．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB的周长为20，则△ABC的面积是　
　．
三．解答题（共3小题）
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
17．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．
（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
18．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝×10×3＝15．
故选：A．
2．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵△ABD的面积为9，AB＝6，
∴DE＝，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴DE＝3，
∴DP≥3，
故选：A．
3．解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，
∴PE＝PD＝6，
∴点P到边OB的距离为6．
故选：B．
4．解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
5．解：∵度假村到三条公路的距离相等，
∴度假村在三条公路AB，AC，BC所组成的角的平分线上，
∵△ABC的三条角平分线相交于一点，
∴度假村可供选择的位置有一处，
故选：A．
6．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵BO平分∠DBC，OD⊥BD，OE⊥BC，
∴OD＝OE，
同理可得OE＝OF，
∴OD＝OF，
∴点O在∠A的平分线上，所以①正确；
OD＝OE＝OF，所以②正确；
∵不能确定∠ABC＝∠ACB，
∴不能确定∠OBE＝∠OCE，
∴不能确定OB＝OC，所以③错误．
故选：B．
7．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵P是△ABC的三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1＝?AB?PD，S2＝?BC?PF，S3＝?AC?PE，
∴S2+S3＝?（AC+BC）?PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
8．解：A．∵AE＝DE，
∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；
B．∵BD平分∠EBC，
∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；
C．∵BD平分∠EBC，
∴∠2＝∠3，
但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；
D．∵SAEB＝AE×BC，S△EDB＝DE×BC，AE＝DE，
∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：
∵BD是AC边上的高，
∴ED⊥AC，
又∵AE平分∠CAB，DE＝3，
∴EF＝3，
∵AB＝8，
∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．
故选：B．
10．解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
二．填空题
11．解：作DH⊥AB于D，如图，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝4，
∴S△ABD＝AB×DH＝×12×4＝24．
故答案为：24．
12．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝R，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴S△ABC＝＝＝24，
∴S△ABD+S△DBC＝24，
∵AB＝6，BC＝8，
∴R+＝24，
解得：R＝，
即DF＝，
∴点D到边AB的距离是，
故答案为：．
13．解：作DF⊥BC于F，
∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），
故答案为：6．
14．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，
∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，
∴PF＝PG＝PE＝3，
∵S△BPC＝7.5，
∴BC?3＝7.5，
解得BC＝5，
∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+AC+BC＝14，
∴AB+AC＝9，
∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP
＝（AB+AC﹣BC）×3
＝×（9﹣5）×3
＝6（cm2）．
故答案为：6．
15．解：作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，
∵点P是△ABC三条角平分线的交点，
∴PE＝PF＝PD＝5，
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝PD?AB+PE?BC+PF?AC
＝（AB+BC+AC）
＝×20
＝50，
故答案为：50．
三．解答题（共3小题）
16．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
17．（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，
∵BP平分∠ABC，
∴PH＝PQ＝8，
即点P到直线BC的距离为8cm；
（2）证明：∵PC平分∠ACE，
∴PD＝PQ，
而PH＝PQ，
∴PD＝PH，
∴点P在∠HAC的平分线上．
18．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FEA＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．