直线的一般式方程

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名称 已知条件 标准方程 适用范围
点斜式
斜截式
两点式
截距式
k,y轴上截距b
x轴上截距a
Y轴上截距b
有斜率的直线
有斜率的直线
不垂直于x,y轴的直线
不垂直于x,y轴，不过原点
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的特点，及其适用范围.能不能用一种统一的形式来表示所有的直线？
点斜式：
两点式：
斜截式：
截距式：
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是关于x , y 的二元一次方程，直线与一元二次方程之间存在什么关系？
一元二次方程
点斜式：
两点式：
斜截式：
截距式：
1.平面上任意一条直线都可以用一个关于 x , y 的二元一次方程表示吗？
思考
⑴倾斜角α≠90°，直线的斜率k存在，其方程为y-y0=k(x-x0),是关于x,y的二元一次方程。
⑵倾斜角α=90°，直线的斜率k不存在，其方程为ｘ=ａ，可以看成是关于x,y的二元一次方程（y的系数为0）。
结论：任何一条直线的方程都是关于ｘ,ｙ的二元一次方程。
2.每一个关于 x , y 的二元一次方程都表示一条直线吗？
任意一个关于x，y的一次方程Ax+By+C=0（A，B不同时为零）判断它是否表示一条直线，就看能否把它化成直线方程的某一种形式。
⑴B≠0时，方程化成 这是直线的斜截式，它表示为斜率为 ，纵截距为 的直线。
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时，Ax+By+C=0可化为
当C=0时,它表示为与Y轴平行的直线。
当C=0时它表示为与Y轴重合的直线。
结论：关于 x , y 的二元一次方程，它都表示一条直线。
由思考（1）和思考（2）可知：
1.直线方程都是关于x,y的二元一次方程；
2.关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。
直线与二元一次方程具有什么样的关系？
思考
结论：直线和二元一次方程是一一对应。
我们把关于 x , y 的二元一次方程
Ax+By+C=0
（A，B不同时为零）叫做直线方程的一般式方程，简称一般式。
(1)在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：平行于x轴？与x轴重合？
探究
x
O
y
l
A=0,B≠0,C=0
A=0 , B≠0 ,C≠0
(2)在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：平行于y轴？与y轴重合
x
O
y
l
l
B=0 , A≠0 , C≠0。
A≠0,B=0,C=O
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：过原点？ 与x轴和y轴相交？
x
O
y
l
C=0，A,B不同时为0。
l
A≠0，B≠0
例5：已知直线经过点A(6，-4)，斜率
为-—，求直线的点斜式和一般式方程.
3
4
解：
经过点A（6，-4），斜率为-—的点斜式方
程是：
3
4
y+4= - —（x-6）
3
4
化成一般式得：
4x+3y-12=0.
分析：
将一般式化成斜截式
y= —x+3
2
1
因此直线的斜率为
例6：把直线的一般式方程x-2y+6=0化成斜
截式，求出直线的斜率以及它在x轴与y轴上
的截距，并画出图形.
— ,
2
1
在y轴上的截距为3.
在x-2y+6=0中令y=0，
有x= -6
因此直线在x轴上的截距是
-6.
综上可知，直线与x轴、y轴的交
点为：
A（-6，0），B（0，3）
过A，B两点作直线，得到直线的图形.
x
y
-2
-4
-6
2
4
6
B
A
l
o
练习：
课本P99第1,2,3