人教版数学必修4第一章1.2.1 任意角的三角函数（第二课时）解学设计

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
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课题：任意角的三角函数（第二课时）
一、教材分析
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教学内容
《任意角的三角函数》是普通高中课程标准实验教科书（必修4）第一章《三角函数》第二节的内容，课程标准安排本节内容授课时间为三课时，本节课作为第二课时.三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数的相关公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图象和性质，可以说，三角函数线是研究三角函数的有利工具.
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地位与作用
本小节给出了任意角的三角函数的代数定义和几何定义，这里用一个课时学习其几何定义-----三角函数线.三角函数线是三角函数定义的又一种表现形式，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，又为继续学习三角函数的各种性质，如定义域、值域、单调性、最值等提供了另一种工具，具有承上启下的作用.由于本节内容是概念性的基础内容，所以其重要性不言而喻.
二、学情分析
就学生而言，已经学习了三角函数的定义，三角函数在各象限的符号、诱导公式一和单位圆的相关知识，对有向线段的相关知识也有所认知，已经具备了对三角函数线探究的能力.
三、目标分析
依据课程标准的要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：
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知识目标
①理解三角函数线的定义,
理解“有向线段”的定义；
②掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值；
③能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
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能力目标
借助多媒体演示让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和探索的能力；并逐步形成自觉运用几何方法解决代数问题的能力，提高学生抽象概括、形象表述等数学核心素养.●
情感、态度与价值观
激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长.通过数形结合思想的应用，体会到由数转化为形所带来的美感.
四、教学重点、难点
●重点：三角函数线的作法及其简单应用.
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难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数分别用它们的几何形式表示出来.
五、教学方法与教学手段
1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”—问题串导引教学.
2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.
3．教学手段：引导学生学会用三角函数的几何定义解决三角代数问题的方法，学会运用数形结合思想解决三角问题.
六、教学过程
教学环节
教学内容
学生活动
设计意图
复习引入
复习引入：三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么:（1)y叫做α的正弦，记作
sinα，即
sinα=y；（2)x叫做α的余弦，记作
cosα，即
cosα=x；（3)叫做α的正切，记作tanα，即tanα=（x≠0）三角函数在各象限的符号：
学生回答
巩固上节课的学习成果；为本节课的学习做好铺垫.
设置疑问点明主题
以前我们学习指数函数和对数函数时，都是先学习函数的定义，然后画出图象，利用图象来研究函数的性质.三角函数是特殊的函数，当然也是一样的探讨顺序，当我们了解了三角函数的定义后，如何才能精确地画出三角函数的图象呢？那就必须知道三角函数定义的几何表示----三角函数线.
学生思考
用问题情境引出课题，可以增强学生的好奇心,激发学生的求知欲.
实验探索辨析研讨实验探索辨析研讨实验探索辨析研讨
思考1：若角α为第一象限角，能否借助单位圆用几何图形表示角α的正弦值？
利用定义.取角的终边与单位圆的交点为P,过点P作轴的垂线，设垂足为M，则.思考2：若角α为第二、三、四象限角，能否借助单位圆用几何图形表示角α的正弦值？
(动画演示)由图可知，那么能否几何图形表示，这条线段既能表示角α的正弦值的数值，又能体现其在各象限的符号？于是,有向线段MP叫做角的正弦线.即.角α
的终边与x轴重合时，正弦线变成一个点，此时正弦值为0.思考3:哪条有向线段能表示角α的余弦值？.有向线段OM叫做角的余弦线.
角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，此时余弦值为0
．思考4：若角α为第一象限角，用哪条有向线段表示角α的正切值？.思考5：若角α为第四象限角，此时用哪条有向线段表示角α的正切值？.有向线段AT叫做角的正切线.思考6：当角α的终边在坐标轴上，正切线又如何？当角α的终边与x轴重合时，正切线变成一个点，
tanα=0；
当角α的终边与y轴重合时，正切线不存在，tanα不存在.
学生回答动画演示学生观察学生思考学生回答学生回答教师引导学生回答学生回答
概念引入，指导学生学会用三角函数的几何定义解决三角函数的代数问题的方法，引导学生建立有向线段（的数量）与三角函数值之间的对应.通过类比正弦线、快速的寻找出余弦函数值的几何形式--余弦线.通过类比正弦线、余弦线，寻找出正切函数值的几何形式--正切线.但要注意始终是以A（1,0）为切点做单位圆的切线，这样做到“以不变应万变”.类比正弦线、余弦线在坐标轴上的情况得到正切线在坐标轴上的情况.
例题讲
例1
画出下列角的三角函数线，并利用三角函数线
比较它们的三角函数值的大小.
例2
在单位圆中作出符合下列条件的角的集合.
练习：写出满足条件的角α的集合.
教师引导
学生回答
准确掌握三角函数线的作法，并能通过三角函数线直观判断三角函数值得大小.逆向思维,灵活运用三角函数线,并能利用三角函数线求解三角方程及三角不等式(组）.
总结归纳
一、知识总结：1.三角函数线的定义，会画任意角的三角函数线；2.利用三角函数线比较三角函数值的大小；3.利用三角函数线解三角方程及三角不等式（组）.二、思想方法：数形结合的思想；
类比、归纳的方法.
通过回顾本节课的学习内容，形成知识体系，培养学生自我归纳、总结的能力.
课后作业
P17
练习：1，2.P21习题1.2A组：5，7.
进一步巩固知识.
七、教学反思
关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是先交待三种三角函数线，再讲应用；另一个设想是，先指出正弦线、余弦线及它们的应用，然后再引入正切线及三线综合运用.本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维的培养．我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，让学生去猜、去找三角函数的几何形式，而不是教师包办代替．
数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面.将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用.通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．可以说有了三角函数线，有关三角函数的问题都能解决，至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好,而函数的周期性等，用图像更为直观.
本节课还是有许多的不足之处，比如：没能大胆放开手让学生进行自主活动，学生的探究活动还是过少，如果三角函数线的寻找过程能让学生分组讨论得到，本节课将会更加充实.
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