2020-2021学年湘教新版八年级下册《第1章 直角三角形》单元测试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湘教新版八年级下册《第1章
直角三角形》单元测试卷
一．选择题
1．直角三角形的两条直角边分别12cm和16cm，斜边为20cm，则斜边上的高为（　　）
A．8cm
B．10cm
C．9.1cm
D．9.6cm
2．直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长（　　）
A．4cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
3．下面的三角形中：①△ABC中，∠C＝∠A﹣∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③△ABC中，a：b：c＝3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17、其中是直角三角形的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．下列各组数是勾股数的为（　　）
A．2，4，5
B．8，15，17
C．11，13，15
D．4，5，6
5．现有两根木棒，长度分别为30cm和40cm，若要订成一个直角三角形框架，那么所需的第三根木棒的长度可以是（　　）
A．30cm
B．40cm
C．50cm
D．以上都不对
6．如果一个等腰直角三角形的面积为2，则斜边长为（　　）
A．2
B．4
C．
D．
7．把一个平角三等分，则两旁两个角的角平分线所构成的角为（　　）
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
8．如果三角形的一个角的平分线也是中线，则该三角形是（　　）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．等腰三角形
D．任意三角形
9．如（1）图，由已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE可证得AC⊥CE，若将CD沿CB方向平移到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余条件不变，则这四种情况下，结论AC1⊥C2E仍然成立的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，△ABC为等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB交BC于点E，OF∥AC交BC于点F，图中等腰三角形共有（　　）
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
二．填空题
11．如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，则DE与DC的关系是　
　．
12．三角形的三条中线，三条角平分线，三条高　
　，其中直角三角形的高线交点为直角三角形的　
　，钝角三角形三条高的交点在　
　．
13．如图所示，O是直线AB上一点，∠AOD＝∠BOF＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中与∠COD相等的角有　
　个．
14．底角等于顶角一半的等腰三角形是　
　三角形，画出此三角形斜边上的高，这时图中有　
　个等腰三角形．
15．如图，台风过后，琼岛小学的旗杆在B处折断，旗杆顶部A落在离旗杆底部8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在离底部　
　米处断裂．
16．在△ABC中，∠C＝90°，AC+BC＝17．AB边上中线为6.5，则S△ABC＝　
　．
17．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠B﹣∠A＝10°，则∠B＝　
　．
18．请写出三组以整数为边长的直角三角形的三边长：　
　，　
　，　
　．
19．如果一个三角形的内角比为1：2：3，它的最大边为a，那么它的最小边是　
　．
20．在△ABC中，D为AB的中点，且CD＝AD＝BD，那么∠ACB＝　
　度．
三．解答题
21．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？
22．已知∠AOB＝50°，∠BOD＝3∠AOB，OC平分∠AOB，OM平分∠AOD，求∠MOC的度数．
23．根据三角形的三边a，b，c的长，判断三角形是不是直角三角形：
（1）a＝11，b＝60，c＝61
（2）a＝，b＝1，c＝．
24．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD⊥AC，CE⊥AB，D、E分别为垂足，那么△BCD与△CBE全等吗？为什么？
25．在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．
26．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AB＝2AC，求证：△ABC是直角三角形．
27．如图，已知M是Rt△ABC斜边AB的中点，CD＝BM，DM与CB的延长线交于点E．
求证：∠E＝∠A．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：直角三角形面积＝×一直角边长×另一直角边长＝×斜边长×斜边的高，
代入题中条件，即可得：斜边高＝9.6cm．
故选：D．
2．解：设斜边长为x，则直角边为（x﹣2）cm，
由勾股定理得，x2＝（x﹣2）2+62，
解得x＝10，
所以，它的斜边长为10cm．
故选：C．
3．解：①∵△ABC中，∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠C+∠B＝∠A，
∵∠C+∠A+∠B＝180°，
∴2（∠B+∠C）＝180°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∴x+2x+3x＝180°，
∴x＝30°，
∴∠C＝3x＝3×30°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵△ABC中，a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3x，则b＝4x，c＝5x，
∴a2+b2+c2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴△ABC是直角三角形；
④∵△ABC中，三边长分别为8，15，17，
∴82+152＝289＝172，
∴△ABC是直角三角形．
故选：D．
4．解：A、22+42＝20≠52，故不是；
B、82+152＝289＝172，故是勾股数；
C、112+132＝290≠152，故不是；
D、42+52＝41≠62，故不是；
故选：B．
5．解：两根木棒的长度分别为40cm和30cm，若要做一个直角三角形的框架，则：
若40cm和30cm木棒作为直角边，则第三边为斜边，它的长为＝50cm；
若30cm的木棒为直角边，40cm的木棒为斜边，则第三边为直角边，它的长为＝10cm．
故选：C．
6．解：设等腰直角三角形一个直角边为x，
则x×x×＝2，解得x＝2，
由勾股定理得斜边长为2．
故选：C．
7．解：
根据已知OE，OF是平角的三等分线，则∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，
又∵OE，OF是∠AOC与∠BOD的平分线．
∴∠COE＝∠DOF＝30°，
∴∠EOF＝∠COE+∠COD+∠DOF＝120°．
故选：B．
8．解：如图，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC，∠E＝∠CAD，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠E＝∠BAD，
∴AB＝BE，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：C．
9．解：由题意可得，△ABC≌△CDE，∠ECD+∠ACB＝90°，
而（2），（3），（4），（5）均满足∠EC2D+∠AC1B＝90°
∴（2），（3），（4），（5）均成立
故选：D．
10．解：∵△ABC为正三角形，∴△ABC为等腰三角形；
∵OB，OC为角平分线，∴∠OBC＝∠OCB，∴△BOC为等腰三角形；
∵OE∥AB，∴∠ABO＝∠BOE＝∠OBE，∴△BOE为等腰三角形；
同理，△COF为等腰三角形；
∠OEF＝∠OFE，∴△EOF为等腰三角形．
所以题中共有5个等腰三角形
故选：B．
二．填空题
11．解：利用角平分线的性质可得：相等．
故填：相等．
12．解：三角形的三条中线，三条角平分线，三条高分别各交于一点，其中直角三角形的高线交点为直角三角形的直角顶点，钝角三角形三条高所在直线的交点在三角形的外部，
故本题答案为：分别各交于一点；直角顶点；三角形的外部．
13．解：∵∠AOD＝120°，∠AOC＝90°
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝30°，
∠BOD＝180﹣∠AOD＝60°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE＝30°，
∴∠COD＝∠BOE＝∠DOE．
又∠COF＝∠BOF﹣∠BOC＝30°，
∴图中与∠COD相等的角有3个．
14．解：设等腰三角形的底角为x，则该等腰三角形的三个内角分别是x、x、2x，
由三角形的内角和定理知，x+x+2x＝180°，
解得，x＝45°，
故该等腰三角形的三个内角是45°、45°、90°，
故该等腰三角形是等腰直角三角形．
如图，AD是等腰直角三角形斜边上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴∠B＝∠BAD＝45°，
∴△BAD是等腰三角形，
同理，△CAD是等腰三角形．
故作高后有3个等腰三角形．
15．解：设旗杆未折断部分长为x米，则折断部分的长为（16﹣x）m，
根据勾股定理得：x2+82＝（16﹣x）2，
可得：x＝6m，即距离地面6米处断裂，
故答案为：6．
16．解：∵∠C＝90°，AB边上中线为6.5，
∴AB＝2×6.5＝13，
∴AC2+BC2＝AB2＝132＝169，
∵AC+BC＝17，
∴AC2+2AC?BC+BC2＝289，
∴AC?BC＝60，
∴Rt△ABC的面积＝AC?BC＝30．
故答案为：30．
17．解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝180°﹣90°＝90°，
∵∠B﹣∠A＝10°，
∴2∠B＝100°，
∴∠B＝50°，
故答案为：50°．
18．解：三组以整数为边长的直角三角形的三边长可以是：3，4，5；6，8，10；5，12，13．
故答案为：3，4，5；6，8，10；5，12，13．
19．解：设三角形的三个内角分别为k、2k、3k，
根据题意得，k+2k+3k＝180°，
解得k＝30°，
3k＝3×30°＝90°，
∵最大边为a，
∴它的最小边是．
故答案为：．
20．解：已知D为AB的中点，即CD为AB边的中线，CD＝AD＝BD＝AB，因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，则∠ACB＝90°，故填90．
三．解答题
21．解：如图所示，直角三角形的两条直角边分别是OA＝20×＝40km，OB＝15×2＝30km．
再根据勾股定理，得两条船相距AB＝＝50km．
22．解：①如图1，∵∠AOB＝50°，∠BOD＝3∠AOB，
∴∠BOD＝150°．
∴∠AOD＝150°﹣50°＝100°．
∵OC平分∠AOB，OM平分∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOB＝25°，∠AOM＝∠AOD＝50°，
∴∠MOC＝∠AOC+∠AOM＝75°；
②如图2，∵∠AOB＝50°，∠BOD＝3∠AOB，
∴∠BOD＝150°．
∴∠AOD＝360°﹣50°﹣150°＝160°．
∵OC平分∠AOB，OM平分∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOB＝25°，∠AOM＝∠AOD＝80°，
∴∠MOC＝∠AOM+∠AOC＝105°；
综上所述，∠MOC的度数是75°或105°．
23．解：（1）112+602＝612，故是直角三角形；
（2）（）2+12＝≠（）2，故不是直角三角形．
24．解：△BCD≌△CBE．理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°．
又∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，
∴△BCD≌△CBE．
25．解：方法1：由题意知：AB+AC+BC＝34，AB+AD+BD＝30，
∵AB＝AC，BD＝BC，
∴
②×2得：2AB+2AD+BC＝60③，
③﹣①得：2AD＝26，
∴AD＝13cm．
方法2：∵AB＝AC，D是中点，且AB+AC+BC＝34，
∴BD＝BC，AB＝（AB+AC），
∴AB+BD＝（AB+AC）+BC＝（AB+AC+BC）＝17cm（周长的一半）．
∵AB+BD+AD＝30cm，
AD＝30﹣17＝13cm．
26．证明：如图，作线段AB的垂直平分线，垂足为D，且与BC相交于点E，易证△AED≌△BED．
∴AD＝AB＝×2AC＝AC，∠B＝∠EAD．
∵∠BAC＝2∠B，∠EAD+∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠EAD．
在△AEC和△AED中，AE＝AE，∠EAC＝∠EAD，AC＝AD，
∴△AEC≌△AED．
∴∠C＝∠EDA．
∵∠EDA＝90°，
∴∠C＝90°．
故△ABC是直角三角形．
27．证明：∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，∴AM＝BM，
∵CD＝BM，∴CD＝AM．
∵CM是ABC的中线，
∴CD＝CM＝BM，
∴△CDM是等腰三角形，∠MCB＝∠MBC，∠CDM＝∠CMD．
∵∠CDM＝∠A+∠AMD，∠CMD＝∠MCB+∠E＝∠BME+2∠E，
即∠A+∠AMD＝∠BME+∠E+∠E，
∴∠A＝2∠E．
即∠E＝∠A．